10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
学
习
任
务
核
心
素
养
1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．(重点)2．理解随机事件与样本点的关系．(重点、难点)
1．通过对随机事件、必然事件、不可能事件概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过写出试验的样本空间，培养数学建模素养．
观察几幅图片：
事件一：常温下石头在一天内被风化．
事件二：木柴燃烧产生热量．
事件三：射击运动员射击一次中十环．
问题：以上三个事件一定会发生吗？
知识点1 有限样本空间
1．随机试验的概念和特点
(1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示．
(2)随机试验的特点：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间
定义
字母表示
样本点
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点
用ω表示样本点
样本空间
全体样本点的集合称为试验E的样本空间
用Ω表示样本空间
有限样本空间
如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间
Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
观察随机试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的吗？
[提示] 不一定，也可能是无限的．如在实数集中，任取一个实数．
1．下列现象中，是随机现象的有( )
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆．
②若a为整数，则a＋1为整数．
③发射一颗炮弹，命中目标．
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C [当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，其余3个均为随机现象．]
2．从数字1,2,3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝________．
{12,13,23} [从数字1,2,3中任取两个数字，共有3个结果：(1,2)，(1,3)，(2,3)，所以Ω＝(1,2)，(1,3)，(2,3)．]
知识点2 随机事件
随机事件
我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能事件
空集?不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称?为不可能事件
3．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是( )
A．3件都是正品
B．至少有1件次品
C．3件都是次品
D．至少有1件正品
D [将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间Ω＝{(1,1,0)，(1,0,0)，(1,1,1)}，因此至少有1件正品为必然事件．]
4．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；
②“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”；
③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”．
其中________是随机事件；________是不可能事件．(填上事件的编号)
①③ ② [因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以②是不可能事件．]
类型1 事件类型的判断
【例1】 下列事件：①任取一个整数，被2整除；②小明同学在某次数学测试中成绩一定不低于120分；③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍．其中随机事件的个数是( )
A．1 B．3 C．0 D．4
B [①②③均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，④是一定发生的事件，为必然事件．故选B．]
判断一个事件是哪类事件要看两点
一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；
二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
1．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签．
[解] (1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
类型2 确定试验的样本空间
样本点、样本空间
【例2】 指出下列试验的样本空间：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差．
1．如何确定试验的样本空间？
[提示] 确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．
2．写试验的样本空间要注意些什么？
[提示] 要考虑周全，应想到试验的所有可能的结果，避免发生遗漏和出现多余的结果．
[解] (1)样本空间Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}．
(2)由题意可知：
1－3＝－2,3－1＝2，
1－6＝－5,6－1＝5，
1－10＝－9,10－1＝9，
3－6＝－3,6－3＝3，
3－10＝－7,10－3＝7，
6－10＝－4,10－6＝4．
即试验的样本空间Ω＝{－2,2，－5,5，－9,9，－3,3，－7,7，－4,4}．
1．求本例(2)中试验的样本点的总数．
[解] 样本点的总数为12．
2．求本例(2)中满足“两个数的差大于0”的样本点有哪些？
[解] 满足“两个数的差大于0”的样本点有：2,5,9,3,7,4，共6个．
3．在本例(1)中，从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，记下颜色后放回，连续取两次，指出试验的样本空间．
[解] 样本空间Ω＝{(红球，红球)，(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，白球)，(白球，红球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑球，红球)}．
4．在本例(2)中，从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)分别作为平面内点的纵、横坐标，指出试验的样本空间．
[解] 由题意可知：样本空间Ω＝{(1,3)，(1,6)，(1,10)，(3,1)，(3,6)，(3,10)，(6,1)，(6,3)，(6,10)，(10,1)，(10,3)，(10,6)}．
事件与样本空间
【例3】 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)(不考虑指针落在分界线上的情况)．
① ②
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出事件A：“x＋y＝5”和事件B：“x<3且y>1”的集合表示；
(3)说出事件C＝{(1,4)，(2,2)，(4,1))，D＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)}所表示的含义．
[解] (1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)事件A＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}；
事件B＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}．
(3)事件C表示“xy＝4”，事件D表示“x＝y”．
随机事件与样本空间问题的解题策略
(1)用样本点表示随机事件，首先弄清试验的样本空间，不重不漏列出所有的样本点．然后找出满足随机事件要求的样本点，从而用这些样本点组成的集合表示随机事件．
(2)随机事件可以用文字表示，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的本质，且更便于今后计算事件发生的概率．
2．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．
(1)写出样本空间；
(2)用集合表示事件“甲赢”；
(3)用集合表示事件“平局”．
[解] (1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．
(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．
(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．
1．下列事件不是随机事件的是( )
A．东边日出西边雨
B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷
D．梅子黄时日日晴
B [B是必然事件，其余都是随机事件．]
2．(多选题)下列试验是随机事件的是( )
A．当x是实数时，x－|x|＝2
B．某班一次数学测试，及格率低于75%
C．从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数
D．体育彩票某期的特等奖号码
BCD [由随机事件的定义知BCD是随机事件．]
3．依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是( )
A．第一枚是3点，第二枚是1点
B．第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．两枚都是2点
B [依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点．故选B．]
4．在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是( )
A．必然事件
B．不可能事件
C．随机事件
D．以上选项均有可能
A [从1,2,3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，
∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，
∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件．故选A．]
5．从a，b，c，d中任取两个字母，写出该试验的样本空间及其包含的样本点数．
[解] 该试验的结果中，含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；不含a，b，含c的有cd，∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，即该试验的样本点数为6．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)随机试验的概念、特点是什么？
(2)样本点、样本空间及随机事件的定义是什么？
(3)如何区分随机事件、必然事件和不可能事件？
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-10.1.2 事件的关系和运算
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1．了解随机事件的并、交与互斥的含义．(重点)2．能结合实例进行随机事件的并、交运算．(重点、难点)
1．通过对随机事件的并、交与互斥的含义的学习，培养数学抽象素养．2．通过随机事件的并、交运算，培养数学运算素养．
在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数不大于3}，D3＝{出现的点数不大于5}，E＝{出现的点数小于5}，F＝{出现的点数大于4}，G＝{出现的点数为偶数)，H＝{出现的点数为奇数}．
问题：在上述事件中，(1)事件C1与事件C2的并事件是什么？(2)事件D2与事件G及事件C2间有什么关系？(3)事件C1与事件C2间有什么关系？(4)事件E与事件F间有什么关系？
知识点 事件的关系和运算
1．包含关系
定义
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
含义
A发生导致B发生
符号表示
B
?A(或A?B)
图形表示
特殊情形
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B
2．并事件(和事件)
定义
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
含义
A与B至少一个发生
符号表示
A∪B(或A＋B)
图形表示
3．交事件(积事件)
定义
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
含义
A与B同时发生
符号表示
A∩B(或AB)
图形表示
4．互斥(互不相容)
定义
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝?，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义
A与B不能同时发生
符号表示
A∩B＝?
图形表示
5．互为对立
定义
一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为
含义
A与B有且仅有一个发生
符号表示
A∩B＝?，A∪B＝Ω
图形表示
(1)一粒骰子掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？
(2)命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”什么关系？(指充分性与必要性)
[提示] (1)A＝C∩D．
(2)根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．
( )
(2)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．
( )
(3)事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件．
( )
[答案] (1)×
(2)√
(3)×
2．许洋说：“本周我至少做完3套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为( )
A．至多做完3套练习题
B．至多做完2套练习题
C．至多做完4套练习题
D．至少做完3套练习题
B [至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题．]
3．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C [A中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C．]
类型1 事件关系的判断
【例1】 对一箱产品进行随机抽查检验，如果查出2个次品就停止检查，最多检查3个产品．
写出该试验的样本空间Ω，并用样本点表示事件：A＝{至少有2个正品}，B＝{至少1个产品是正品}；并判断事件A与事件B的关系．
[解] 依题意，检查是有序地逐个进行，至少检查2个，最多检查3个产品．如果用“0”表示查出次品，用“1”表示查出正品，那么样本点至少是一个二位数，至多是一个三位数的有序数列．样本空间Ω＝{00,010,011,100,101,110,111}．
A＝{011,101,110,111}．
B＝{010,011,100,101,110,111}，
所以A?B．
包含关系、相等关系的判定
(1)事件的包含关系与集合的包含关系相似．
(2)两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有( )
A．A?B
B．A?B
C．A＝B
D．A与B之间没有关系
A [由事件的包含关系知A?B．]
类型2 事件的运算
【例2】 (对接教材P232例6)在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C．
1．事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是如何构成的？
[提示] 事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是由在事件A中，或者在事件B中的样本点构成的．
2．事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是如何构成的？
[提示] 事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是由既在事件A中，也在事件B中的样本点构成的．
3．“事件B包含事件A”“事件A与事件B的并事件”“事件A与事件B的交事件”分别对应集合中的哪些关系或运算？
[提示] “事件B包含事件A”对应于集合A是集合B的子集；“事件A与事件B的并事件”对应集合A和集合B的并集，“事件A与事件B的交事件”对应集合A与集合B的交集．
[解] 在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6．
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C；事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)A∩B＝?，
A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1,3或4}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1,2,4或6}．
B∩D＝A4＝{出现点数4}．
B∪C＝
A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1,3,4或5}．
1．在例2的条件下，求A∩C，A∪C，B∩C．
[解] A∩C＝A＝{出现1点}，A∪C＝C＝{出现点数1,3或5}，
B∩C＝A3＝{出现点数3}．
2．用事件Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)表示下列事件：
①B∪D；②C∪D．
[解] B∪D＝{出现点数2,3,4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6．
C∪D＝{出现点数1,2,3,4,5,6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6．
事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
[解] (1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B．
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A．
类型3 互斥事件与对立事件
【例3】 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；(2)B与C；(3)B与D；(4)B与E；(5)A与E．
[解] (1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)由于事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．
(5)事件A“只订甲报”与事件E“一种报纸也不订”不可能同时发生，故A与E是互斥事件．但A与E不是必有一个发生，比如“只订乙报”，故A与E不是对立事件．
互斥事件、对立事件的判定方法
(1)从发生的角度看
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生．即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例．
(2)从事件个数的角度看
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．
3．2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B( )
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件
D．既不是互斥事件也不是对立事件
A [事件A与事件B不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件．]
4．从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系：
(1)至少有1个白球，都是白球；
(2)至少有1个白球，至少有1个红球；
(3)至少有1个白球，都是红球．
[解] 给两个红球编号为1,2，给两个白球编号为3,4，从口袋中任取两个球，用(x，y)表示取出的两个球，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，设A＝“至少有1个白球”，则A＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}．
(1)设B＝“都是白球”，B＝{(3,4)}，所以B?A．即A和B不是互斥事件．
(2)设C＝“至少有一个红球”，
则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，
因为A∩C＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，
所以A和C不互斥．
(3)设D＝“都是红球”，则D＝{(1,2)}，
因为A∪D＝Ω，A∩D＝?，所以A和D为对立事件．
1．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述各对事件中，是对立事件的是( )
A．① B．②④ C．③ D．①③
C [从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．]
2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件
B．互斥但不对立事件
C．不可能事件
D．以上说法都不对
B [因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件加起来并不是总体事件，所以它们不是对立事件．]
3．(多选题)在一次随机试验中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A＋B＋C＋D是必然事件，则下列说法正确的是( )
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，但不是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
BD [由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是必然事件，故事件的关系如图所示．由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，故B，D中的说法正确．]
4．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．
② [①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)事件间的关系有哪些？如何辨析？
(2)互斥事件与对立事件有什么区别和联系？
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1
-10.1.3 古典概型
学
习
任
务
核
心
素
养
1．结合具体实例，理解古典概型．(重点)2．能计算古典概型中简单随机事件的概率．(重点、难点)
1．通过对古典概型概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过计算古典概型的概率，培养数学建模、数学运算素养．
据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况不佳，只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜．于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”．骰子停定，正好重四．唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱用的．因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色．
问题：您能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？若同时掷两颗骰子，朝上的点数有多少种不同的结果，你能写出对应的样本空间吗？点数之和不大于7这一事件包含哪几个样本点？你能求出对应事件的概率吗？这个事件对应的概率是什么类型的概率？求解此类概型的概率的方法是什么？
知识点1 概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
知识点2 古典概型的定义
试验具有如下共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？
(2)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？
[提示] (1)不属于古典概型．因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．
(2)不一定是古典概型．还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何一个事件都是一个样本点．
( )
(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．
( )
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．下列试验是古典概型的有________．(填序号)
(1)在适宜的条件下，种下一粒种子观察它是否发芽；
(2)口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球；
(3)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表．
(3) [(1)这个试验的结果只有两个：“发芽”与“不发芽”，具备了有限性．而“发芽”与“不发芽”这两个结果出现的可能性不一定相等，即不一定具备等可能性，因此该试验不一定是古典概型．
(2)属于有放回抽样，依次摸出的球可以重复，所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型．
(3)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果，因此该试验是古典概型．]
知识点3 古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )
A． B． C． D．1
C [从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝．]
4．从3男3女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．
[用A，B，C表示3名男同学，用a，b，c表示3名女同学，则从6名同学中选出2人的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事件“2名都是女同学”包含样本点的个数为3，故所求的概率为＝．]
类型1 古典概型的判断
【例1】 下列是古典概型的是( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
C [A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．]
判断一个试验是否为古典概型的依据是什么？
[提示] 判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．
1．下列试验是古典概型的为________．(填序号)
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
①②④ [①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．]
类型2 较简单的古典概型问题
【例2】 (对接教材P236例9)某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．
[解] 只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则6听中选2听试验的样本空间为Ω＝{
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点．有1听不合格的样本点有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个；有2听不合格的样本点有(5,6)，共1个，
所以检测出不合格产品的概率为＝．
求解古典概率“四步”法
2．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
[解] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6．任取2道题，这个试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性是等可能的，可用古典概型来计算概率．
用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6个样本点，所以P(A)＝＝．
(2)由(1)知试验的样本空间共有15个样本点，用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件，则B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共包含8个样本点，所以P(B)＝．
类型3 较复杂的古典概型问题
【例3】 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
[解] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，
则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16．
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个，
即A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)}．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为．
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C．
则事件B包含的样本点共6个，即B＝{(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
所以P(B)＝＝．
事件C包含的样本点共5个，即C＝{(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}．
所以P(C)＝．因为＞，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
1．在例3中求小亮获得玩具或水杯的概率．
[解] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16．
记“小亮获得玩具或水杯”为事件E，则事件E包含的样本点个数共11个，
即E＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
所以P(E)＝．
2．将例3中奖励规则改为：①若3≤x＋y≤5，则奖励玩具一个；②其余情况没有奖，求小亮获得玩具的概率．
[解] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，
则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16．
记“3≤x＋y≤5”为事件D，则事件D包含的样本点个数共9个，
即D＝{(1,2)，(2,1)，(2,2)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)}，所以P(D)＝．
解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：
?1?试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性.
?2?计算基本事件的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件.
3．某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工．
(1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率；
(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的这2名职工来自同一工厂的概率．
[解] 记甲厂派出的2名男职工为A1，A2，女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B1，B2,2名女职工为b1，b2．
(1)从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共12种．
其中选出的2名职工性别相同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共6种．
故选出的2名职工性别相同的概率为＝．
(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名，不同的结果有(A1，A2)，(A1，a)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共21种．
其中选出的2名职工来自同一工厂的有(A1，A2)，(A1，a)，(A2，a)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，其9种．
故选出的2名职业来自同一工厂的概率为＝．
1．下列试验是古典概型的是( )
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
C [根据古典概型的两个特征进行判断．A项中两个基本事件不是等可能的，B项中基本事件的个数是无限的，D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C项符合古典概型的两个特征．]
2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
A． B． C． D．
C [样本空间的样本点为：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率是P＝＝．]
3．标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A．
B．
C．
D．
A [如图：
基本事件的总数为20，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的基本事件有10个，故所求概率P＝＝．故选A．]
4．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹王中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( )
A．
B．
C．
D．
A [设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上、中、下三个等次的马分别记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题意，其中Ab，Ac，Bc是田忌获胜，则田忌获胜的概率为＝．故选A．]
5．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝(m，n)，q＝(2,6)，则向量p与q共线的概率为________．
[∵试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6×6＝36种结果，
满足条件的事件是使向量p＝(m，n)与q＝(2,6)共线，即6m－2n＝0，∴n＝3m，
满足这种条件的有(1,3)，(2,6)，共有2种结果，
∴向量p与q共线的概率P＝＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)如何判断一个试验是不是古典概型？古典概型的特征有哪些？
(2)古典概型的概率公式是什么？
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-10.1.4 概率的基本性质
学
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1．通过实例，理解概率的性质．(重点、易混点)2．掌握随机事件概率的运算法则．(难点)
1．通过对概率性质的学习，培养数学抽象素养．2．通过利用随机事件概率的运算法则求解随机事件的概率，培养数学运算素养．
甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3．
问题：甲获胜的概率是多少？
知识点 概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0．
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0．
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5 如果A?B，那么P(A)
≤P(B)．
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
(1)设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？
(2)从某班任选6名同学作为志愿者参加市运动会服务工作，记
“其中至少有3名女同学”为事件A，那么事件A的对立事件是什么？
[提示] (1)不一定．当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
(2)事件A的对立事件是“其中至多有2名女同学”．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1．
( )
(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件．
( )
(3)某班统计同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”．
( )
[答案] (1)×
(2)×
(3)×
2．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为( )
A．0.2 B．0.8 C．0.4 D．0.1
B [乙获胜的概率为1－0.2＝0.8．]
3．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝．]
4．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则P(A∩B)＝________．
0.3 [因为P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)－P(A∩B)，
所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3．]
类型1 互斥事件、对立事件的概率公式
及简单应用
【例1】 备战奥运会射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：
命中环数
10环
9环
8环
7环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该选手射击一次，
(1)命中9环或10环的概率；
(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．
[解] 记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7,8,9,10)．
(1)因为A9与A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60．
(2)记“至少命中8环”为事件B，则B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10两两互斥，
所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78．
(3)记“命中不足8环”为事件C．则事件C与事件B是对立事件．
所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22．
互斥事件、对立事件的概率公式的应用
(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．
(2)当直接计算符合条件的事件个数比较繁琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．
1．在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07．求：
(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；
(2)小王数学考试及格的概率(60分以上为合格，包含60分)．
[解] 设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥．
(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A＋B，
所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69．
(2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，
所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93．
类型2 互斥事件、对立事件的概率公式的综合应用
【例2】 有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时，
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率．
1．若事件A和事件B为互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？
[提示] P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．若事件A和事件B不是互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？
[提示] P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
3．若事件A和事件B是对立事件，那么P(A)，P(B)有什么关系？
[提示] P(A)＋P(B)＝1．
[解] 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：
如图所示，样本点的总数为24．
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，
则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝．
(2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，
则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝＝．
求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．
[解] 由本例解析可知，设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，
所以P(C)＝＝．
1．当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．
2．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．
类型3 概率与统计的综合应用问题
【例3】 某高校为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求了这200名学生每周阅读时间的中位数a(精确到0.01)；
(2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间在[6.5,7.5)，[7.5,8.5)内的学生中抽取6名参加座谈会．
(ⅰ)你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；
(ⅱ)从这6名学生中随机抽取2人，求至多有1人每周阅读时间在[7.5,8.5)内的概率．
[解] (1)∵0.03＋0.1＋0.2＋0.35＝0.68＞0.5，∴中位数a∈[8.5,9.5)，由0.03＋0.1＋0.2＋(a－8.5)×0.35＝0.5，解得a＝＋8.5≈8.99．
(2)(ⅰ)应从每周阅读时间在[6.5,7.5)内的学生中抽取2名，从每周阅读时间在[7.5,8.5)内的学生中抽取4名．
理由：每周阅读时间在[6.5,7.5)内与每周阅读时间在[7.5,8.5)内是差异明显且不重叠的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层随机抽样的方法抽取样本，
∵两者频率分别为0.1,0.2，∴应按照1∶2的比例进行名额分配．
(ⅱ)设从每周阅读时间在[6.5,7.5)内的学生中抽取的2人为A1，A2，从每周阅读时间在[7.5,8.5)内的学生中抽取的4人为B1，B2，B3，B4，从这6人中随机抽取2人的所有样本点有15个，分别为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)．设“至多有1人每周读书时间在[7.5,8.5)内”为事件A，则A中有9个样本点，分别为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)．
∴至多有一人每周阅读时间在[7.5,8.5)内的概率为P(A)＝＝．
解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
2．已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位：百人)的关系有如下规定：当n∈[0,100)时，拥挤等级为“优”；当n∈[100,200)时，拥挤等级为“良”；当n∈[200,300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：
(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
游客数量(单位：百人)
[0,100)
[100,200)
[200,300)
[300,400]
天数
a
10
4
1
频率
b
(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．
[解] (1)游客人数在[0,100)范围内的天数共有15天，故a＝15，b＝＝，游客人数的平均值为50×＋150×＋250×＋350×＝120(百人)．
(2)从5天中任选2天，试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共10个样本点，其中游客拥挤等级均为“优”的有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3个，故所求概率为．
1．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a，b，c}的子集的概率是，则该子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是( )
A． B． C． D．
C [该子集恰是{a，b，c}的子集的概率为P＝1－＝．]
2．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P(A∪B)＝( )
A．
B．
C．
D．
B [抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝，故选B．]
3．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25，则不命中靶的概率是________．
0.10 [“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90．
因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10．]
4．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为________．
0.96 [设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，则甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B．
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)概率的基本性质有哪些？
(2)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)与P(A∪B)＝P(A)＋P(B)有什么关系？各自的适用条件是什么？
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-10.2 事件的相互独立性
学
习
任
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核
心
素
养
1．结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．(重点、易混点)2．结合古典概型，利用独立性计算概率．(重点、难点)
1．通过学习两个随机事件独立性的含义，培养数学抽象素养．2．通过利用随机事件的独立性计算概率，培养数学运算素养．
3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”．
问题：上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？事件A和事件B相互独立吗？
知识点 事件的相互独立性
1．相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，则事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立，事件与事件相互独立．
(1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？
[提示] (1)对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立．
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．
( )
(2)必然事件与任何一个事件相互独立．
( )
(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立．
( )
[答案] (1)√
(2)√ (3)×
2．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是( )
A．A与B，A与C均相互独立
B．A
与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
A [由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A．]
3．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是( )
A．0.64 B．0.56 C．0.81 D．0.99
C [设Ai表示“第i题做对”，i＝1,2，则P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81．]
4．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．
[由题意知P＝×＋×＝．]
类型1 独立性的判断
【例1】 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
[解] (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为Ω1＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共有4个样本点，由等可能性知概率均为．
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝．
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为Ω2＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，共有8个样本点，由等可能性知概率均为．
这时A＝{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，B＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，AB＝{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝．
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．
所以事件A与B是相互独立的．
判断两个事件是否相互独立的方法有哪些？
[提示] (1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立．
(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率是否有影响，若没有影响就是相互独立事件．
1．判断下列各对事件是不是相互独立事件．
(1)甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”；
(3)一个布袋里有大小完全相同的3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回，再从中任意取1个球是红球”．
[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
(2)由于把取出的水果又放回筐内，故“从中任意取出1个，取出的是苹果”这一事件是否发生对“再从筐内任意取出1个，取出的是梨”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
(3)不放回地取球，前者的发生影响后者发生的概率，所以二者不是相互独立事件．
类型2 相互独立事件概率的计算
【例2】 (对接教材P248例2)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响．求：
(1)3人同时被选中的概率；
(2)3人中恰有1人被选中的概率．
[解] 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
(1)3人同时被选中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝．
(2)3人中恰有1人被选中的概率P2＝P(A
∪
B∪
C)＝××＋××＋××＝．
1．本例条件不变，求3人中至少有1人被选中的概率．
[解] 法一：3人中有2人被选中的概率P3＝P(AB∪AC∪BC)＝××＋××＋××＝．
由本例第(1)(2)问可知，3人中至少有1个被选中的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．
法二：3人均未被选中的概率P＝P(
)＝××＝．
因为“3人中至少有1人被选中”与“3人均未被选中”是相互对立事件，所以“3人中至少有1人被选中”的概率为1－＝．
2．若本例条件“3人能被选中的概率分别为，，”变为“甲、乙两人恰有一人被选中的概率为，两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为”，求恰好有2人被选中的概率．
[解] 设甲、乙两人恰有一人被选中为事件A，甲、乙都被选中为事件B，丙被选中为事件C，则恰好有2人被选中的概率P＝P(A)P(C)＋P(B)P()＝×＋×＝．
用相互独立事件的乘法公式解题的步骤
(1)用恰当的字母表示题中有关事件．
(2)根据题设条件，分析事件间的关系．
(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)．
(4)利用乘法公式计算概率．
2．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
[解] (1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A，则P(A)＝××＝．
(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C，
则P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝×＋×＋×＝．
类型3 相互独立事件的概率的综合应用
【例3】
三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路．
(1)在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
(2)三个元件连成怎样的电路，才能使电路不发生故障的概率最大？
如果事件A，B相互独立，事件AB的对立事件是
吗？
[提示] 如果事件A，B相互独立，事件AB的对立事件是
∪B∪A.
[解] (1)电路不发生故障包括三种情况，
一是三个元件都正常工作，
二是T1正常工作，T2正常工作，T3不能正常工作，
三是T1正常工作，T2不能正常工作，T3正常工作，
这三种情况是互斥的，每一种情况里三个元件是否正常工作是相互独立的，
∴电路不发生故障的概率P＝××＋××＋××＝．
(2)把T2或T3与T1的位置互换，所得电路不发生故障的概率P′＝××＋××＋××＝．
∵＞，∴把T2或T3与T1的位置互换，即T1与T2(T3)并联后再与T3(T2)串联，这样的电路能使电路不发生故障的概率最大．
事件间的独立性关系
已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有
事件
表示
概率
A，B同时发生
AB
P(A)P(B)
A，B都不发生
P()P()
A，B恰有一个发生
(A
)∪(B)
P(A)P()＋P()P(B)
A，B中至少有一个发生
(A
)∪(B)
∪(AB)
P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B)
A，B中至多有一个发生
(A
)∪(B)
∪(
)
P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()
3．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
(1)求P；
(2)求电流能在M与N之间通过的概率．
[解] 记事件Ai表示“电流能通过Ti”，i＝1,2,3,4，
事件A表示“T1，T2，T3中至少有一个能通过电流”，
事件B表示“电流能在M与N之间通过”．
(1)＝1
2
3，A1，A2，A3相互独立，
所以P()＝P(1
2
3)＝P(1)P(2)P(3)＝(1－P)3．
又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，
所以(1－P)3＝0.001，解得P＝0.9．
(2)因为B＝A4＋4A1A3＋4
1A2A3，
所以P(B)＝P(A4)＋P(4A1A3)＋P(4
1A2A3)
＝P(A4)＋P(4)P(A1)P(A3)＋P(4)P(1)P(A2)P(A3)
＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9
＝0.989
1．
1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
A [对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．]
2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是( )
A． B． C． D．
C [两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝．]
3．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
0.98 [至少有一个准时响的概率为1－(1－0.90)×(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98．]
4．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和．在同一时间内，求：
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为________；
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为________．
(1) (2) [记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝．
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P(
)＝1－P()P()＝1－×＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)相互独立事件的定义是什么？具有哪些性质？
(2)相互独立事件与互斥事件有什么区别？
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-10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
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结合实例，会用频率估计概率．(重点、难点)
1．通过对频率和概率联系和区别的学习，培养数学抽象素养．2．通过利用随机事件的频率估计其概率，培养数学运算素养．
小刚抛掷一枚硬币100次，出现正面朝上48次．
问题：(1)你能计算出正面朝上的频率吗？
(2)抛掷一枚硬币一次，出现正面朝上的概率是多少？
知识点 频率的稳定性
1．频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
2．频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
频率和概率有什么区别和联系？
[提示] 区别：
(1)在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)概率是度量随机事件发生的可能性大小的量．
(3)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性．
联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机事件的频率和概率不可能相等．
( )
(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化．
( )
(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的( )
A．概率为
B．频率为
C．频率为8
D．概率接近于8
B [做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为．如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率，故＝为事件A的频率．]
3．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共12道选择题，某同学说：“每个选项正确的概率是，若每题都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确”．这句话( )
A．正确
B．错误
C．有一定道理
D．无法解释
B [从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，是指这个事件发生的概率，实际上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，12个正确．因此该同学的说法是错误的．]
4．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有________个．
16 [由题意得80×(1－80%)＝80×20%＝16个．]
类型1 频率和概率的区别和联系
【例1】 下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
D [一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张、五张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．]
理解概率与频率应关注的三个方面
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
1．“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
D [某彩票的中奖率为，意味着中奖的可能性为，可能中奖，也可能不中奖．]
类型2 用随机事件的频率估计其概率
【例2】 某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1
000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
[0，900)
[900，1
100)
[1
100，1
300)
[1
300，1
500)
[1
500，1
700)
[1
700，1
900)
[1
900，＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1
500小时的概率．
[解] (1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，
0．165,0.042．
(2)样本中使用寿命不足1
500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600．
所以样本中使用寿命不足1
500小时的频率是＝0.6，
即灯管使用寿命不足1
500小时的概率约为0.6．
1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
2．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔偿金额(元)
0
1
000
2
000
3
000
4
000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额为2
800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4
000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4
000元的概率．
[解] (1)设A表示事件“赔付金额为3
000元”，B表示事件“赔付金额为4
000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12，
由于投保金额为2
800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3
000元和4
000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27．
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4
000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1
000＝100(位)，而赔付金额为4
000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4
000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24．
类型3 游戏的公平性
【例3】 (对接教材P253例2)某校高二年级(1)、(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
1．判断某种游戏规则是否公平的标准是什么？
[提示] 如果参加比赛的双方获胜(或失败)的概率是一样的，那么就说明这个游戏规则是公平的；否则就是不公平的．
2．小明和小红通过抓阄决定谁代表班级参加学校举行的演讲比赛，规则如下：在一个不透明的盒子里有三个质地完全相同的小卡片，上面分别写有“参加”“不参加”“谢谢参与”，小明和小红分别从中摸取一个小卡片，摸到“参加”者代表班级参加学校举行的演讲比赛．这个游戏规则公平吗？请说明理由．
[提示] 公平．因为每个人摸到“参加”的概率都是．
[解] 该方案是公平的，理由如下：
各种情况如表所示：
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
1．在例3中，若把游戏规则改为：两人各自转动转盘一次，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？
[解] 不公平．因为乘积出现奇数的概率为＝，而出现偶数的概率为＝．
2．若在例3中，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的数字相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“不是4的整数倍数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
[解] (1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B．猜“不是4的整数倍”，这是因为“不是4的整数倍”的概率为＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B．
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A是猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性．
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．
3．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
[解] (1)分别用2,3,4,4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有情况为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况．
(2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到的牌的数字比3大的概率是．
(3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，因此甲胜的概率为，乙胜的概率为．
因为＜，所以此游戏不公平．
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
C [必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0,1]之间，故A错，B，D混淆了频率与概率的概念，故B，D错．]
2．给出下列3种说法：
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
A [由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确．]
3．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8
000件产品中合格品的件数可能为( )
A．160
B．7
840
C．7
998
D．7
800
B [次品率为2%，故次品约8
000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7
840．]
4．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )
A．0.45,0.45
B．0.5,0.5
C．0.5,0.45
D．0.45,0.5
D [出现正面朝上的频率是＝0.45，出现正面朝上的概率是0.5．故选D．]
5．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20
000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
0.03 [在一年内挡风玻璃破碎的频率为＝＝0.03，用频率来估计挡风玻璃破碎的概率．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)什么是频率的稳定性？有什么作用？
(2)频率与概率有什么区别和联系？
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-
1
-10.3.2 随机模拟
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解随机数的意义．2．会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率．3．理解用模拟方法估计概率的实质．(重点、难点)
1．通过利用随机模拟的方法估计事件的概率，培养数学建模素养．2．通过学习事件概率的计算，培养数学运算素养．
在求解频率与概率的关系时需要做大量的重复试验去验证，既费时又费力，有没有更好的其他办法可以替代试验呢？
问题：如何产生随机数？
知识点 随机模拟
1．产生随机数的方法
(1)利用计算器或计算机软件产生随机数．
(2)构建模拟试验产生随机数．
2．蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法．
用频率估计概率时，用计算机模拟试验产生随机数有什么优点？
[提示] 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法真正进行．因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法，它可以在短时间内多次重复地来做试验，不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，则可以用4,5,6,7,8,9来代表正面．
( )
(2)用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值．
( )
[答案] (1)× (2)√
2．掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组( )
A．1 B．2 C．9 D．12
B [由于掷两枚骰子，所以产生的整数值随机数中，每2个数字为一组．]
3．下列不能产生随机数的是( )
A．抛掷骰子试验
B．抛硬币
C．计算器
D．正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5，抛掷该正方体
D [D项中，出现2的概率为，出现1,3,4,5的概率均是，则D项不能产生随机数．]
类型1 随机数的产生方法
【例1】 要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？
[解] 法一：可以把25个大小形状相同的小球分别标上1,2,3，…，24,25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数．
法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：
(1)选定A1格，输入“＝RANDBETWEEN(1,25)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；
(2)选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，这样我们就很快得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验．
随机数产生的方法比较
方法
抽签法
用计算器或计算机产生
优点
保证机会均等
操作简单，省时、省力
缺点
耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性
由于是伪随机数，故不能保证完全等可能
1．某校高一年级共20个班，1
200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
[解] 要把1
200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成．
(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机．
(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同)．
(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1
200名学生的考试号0
001,0
002，…，1
200，然后0
001～0
030为第一考场，0
031～0
060为第二考场，依次类推．
类型2 简单的随机模拟试验的应用
【例2】 一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．
[解] 用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数．因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组．如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571 561 156 567 732 375
716 116 614 445 117 573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为＝0.1．
在设计随机模拟试验时，注意以下两点
(1)要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正地模拟随机事件．
(2)注意用不同的随机数来表示不同的随机事件的发生．
2．在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取一支，用模拟方法求取到一级品的概率．
[解] 设事件A：“取到一级品”．
(1)用计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)或计算器产生1到10之间的整数随机数，分别用1,2,3,4,5,6,7表示取到一级品，用8,9,10表示取到二级品．
(2)统计试验总次数N及其中出现1至7之间数的次数N1．
(3)计算频率fn(A)＝，即为事件A的概率的近似值．
类型3 较复杂的随机模拟试验的应用
【例3】 种植某种树苗，成活率为0.9，请采用随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率．写出模拟试验的过程，并求出所求概率．
1．若事件A发生的概率为0.6，如何设计模拟试验的随机数？
[提示] 产生10个随机数0到9，可以用数字0,1,2,3,4,5表示事件A发生，用数字6,7,8,9表示事件不发生．
2．若某随机试验连续进行4次，如何设计随机数？
[提示] 产生4组随机数，代表4次随机试验．
[解] 先由计算机随机函数RANDBETWEEN(0,9)，或计算器的随机函数RANDI(0,9)产生0到9之间取整数值的随机数，指定1至9的数字代表成活，0代表不成活，再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果，经随机模拟产生随机数，例如，如下30组随机数：
69801 66097 77124 22961 74235 31516
29747 24945 57558 65258 74130 23224
37445 44344 33315 27120 21782 58555
61017 45241 44134 92201 70362 83005
94976 56173 34783 16624 30344 01117
这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为＝0.3．
利用随机模拟估计概率应关注三点
用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件．
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
3．一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的，如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．(已知计算机或计算器做模拟试验可以模拟每次猜对的概率是25%)
[解] 利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数，我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%，因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组，例如，产生25组随机数：
330130 302220 133020 022011 313121 222330
231022 001003 213322 030032 100211 022210
231330 321202 031210 232111 210010 212020
230331 112000 102330 200313 303321 012033
321230
就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003,030032,210010,112000，即共有4组数，我们得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为＝0.16．
1．利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2．小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为( )
A． B． C． D．
A [抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共四种，其中随机数之和为3的情况有(1,2)，(2,1)两种，故所求概率为＝．]
2．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6．因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数：
034
743
738
636
964
736
614
698
637
162
332
616
804
560
111
410
959
774
246
762
428
114
572
042
533
237
322
707
360
751
据此估计乙获胜的概率约为________．(保留3位有效数字)
0.367 [产生30组随机数，就相当于做了30次试验．如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707，共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为≈0.367．]
3．抛掷两颗相同的骰子，用随机模拟方法估计“上面点数的和是6的倍数”的概率时，用1,2,3,4,5,6分别表示上面的点数是1,2,3,4,5,6，用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个，每组第i个数组成一组，共组成60组数，其中有一组是16，这组数表示的结果是否满足上面点数的和是6的倍数：________(选填“是”或“否”)．
否 [16表示第一颗骰子向上的点数是1，第二颗骰子向上的点数是6，则上面点数的和是1＋6＝7，不表示和是6的倍数．]
4．盒中有大小、形状相同的5个白球、2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：
(1)任取一球，得到白球；
(2)任取三球，都是白球．
[解] 用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球．
(1)步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n；
②统计这n组数中小于6的组数m；
③任取一球，得到白球的概率估计值是．
(2)步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每三个数一组(每组数字不重复)，统计组数a；
②统计这a组数中，每个数字均小于6的组数b；
③任取三球，都是白球的概率估计值是．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)产生随机数的方法有哪些？
(2)如何用随机模拟的方法估计概率？
“黄金72小时”中的概率
当地震等地质灾害发生后，在媒体上经常可以看到“黄金72小时”这几个字．你知道它表示的是什么意思吗？
医学研究和统计表明，在没有食物尤其是没有水的条件下，生命的存续期一般不会超过3天．国际救援界认为，在地震等地质灾害发生后的72小时内，被救出人员的存活率随时间的消逝呈递减趋势：第一天(即21小时内)，存活率约为90%；第二天，存活率为50%—60%；第三天，存活率为20%—30%．再往后的话，存活率将进一步减少．
这里的存活率可以用概率来理解：被救出的人员，如果是在24小时内被发现的，那么该人员生还的概率为90%；如果是在第24—48小时内被发现的，那么生还的概率为50%—60%；如果是第48—72小时内发现的，那么生还的概率为20%—30%．这就意味着，当地震等地质灾害发生后，应该“与时间赛跑”，利用各种手段和机会尽可能早地发现被困人员．
需要注意的是，概率描述的只是事件发生的可能性大小，发生的可能性小(即概率小)并不代表不会发生．统计数据表明，地震六天后，被埋人员生还的概率几乎为零．但是这样的事例并不是没有：2005年巴基斯坦7.6级地震中，一名青年被埋27天后获救生还；2008年我国汶川地震中，一位60岁的老人被困11天后获救生还；等等．因此，几乎所有的救援工作，在“黄金72小时”之外都会继续，以便发现更多生命的奇迹．
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1
-概率
类型1 随机事件与概率
1．近几年高考突出考查了以频率估计概率，对概率加法公式及对立事件发生的概率考查较少．这三个知识点是概率知识的基础，应重点把握．
2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．
【例1】 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1
000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解] (1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝．
故事件A，B，C的概率分别为，，．
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C．
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝．
故1张奖券的中奖概率为．
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝．
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为．
1．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？
[解] 从袋中选取一个球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为事件A，B，C，D，则有P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，．
类型2 古典概型
1．古典概型是每年高考的必考点，可以单独考查，也可以与统计中的直方图综合考查．计算时，掌握必要的计数方法(如列举法、树状图等)，并合理利用互斥事件、对立事件的概率公式，进行概率计算．
2．求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件A包含的样本点的个数，这就需要正确求出试验的样本空间，样本空间的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．
【例2】 袋中有形状、大小都相同的4个小球，
(1)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；
(2)若4个小球颜色相同，标号分别为1,2,3,4，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率；
(3)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．
[解] (1)设取出的2只球颜色不同为事件A．
试验的样本空间Ω＝
{(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)}，共6个样本点，事件A包含5个样本点，故P(A)＝．
(2)试验的样本空间Ω＝
{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B，则B包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，
所以P(B)＝＝．
(3)试验的样本空间Ω＝{(白，白)，(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，红)，(红，白)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄1)，(黄1，白)，(黄1，红)，(黄1，黄2)，(黄2，黄2)，(黄2，白)，(黄2，红)，(黄2，黄1)}，共16个样本点，其中颜色相同的有6个，故所求概率为P＝＝．
2．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；
(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．
[解] (1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．
a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3,1)，(6,2)，
所以事件a⊥b的概率为＝．
(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，共有6种：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，其概率为＝．
类型3 事件的相互独立性
1．高考对相互独立事件的考查主要是判断相互独立事件、计算相互独立事件的概率，多出现在解答题，难度中等．
2．相互独立事件中求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和．
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
【例3】 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1到5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥2”的事件概率．
[解] (1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，观众甲选出3名歌手的样本空间Ω＝{(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)}，事件A包含2个样本点，则P(A)＝，
设B表示事件“观众乙选中3号歌手”，
观众乙选出3名歌手的样本空间
Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，事件B包含6个样本点，则P(B)＝＝．
∵事件A与B相互独立，A与相互独立，则A表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．∴P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·[1－P(B)]＝×＝．
即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是．
(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝P(B)＝，
依题意，A，B，C相互独立，，，相互独立，
且AB，AC，BC，ABC彼此互斥．
又P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝，
∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝．
3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数为奇数”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )
A． B． C． D．
D [P(A)＝，P(B)＝，P()＝，P()＝．
A，B中至少有一件发生的概率为1－P()·P()＝1－×＝，故选D．]
4．(2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
[依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入盒子的概率为×＝，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－＝．]
类型4 概率与统计的综合应用
1．此类问题多涉及古典概型、互斥事件、对立事件以及频率分布直方图等内容，既有选择题，也有解答题．
2．破解概率与统计图表综合问题的三个步骤
第一步：会读图，能读懂已知统计图表所隐含的信息，并会进行信息提取．
第二步：会转化，对文字语言较多的题目，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言间的转化．
第三步：会运算，对统计图表所反馈的信息进行提取后，结合古典概型的概率公式进行运算．
【例4】 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
[解] (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006．
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4．
(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2．
从这5名受访职工中随机抽取2人，试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，共10个样本点．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即(B1，B2)，故所求的概率为．
5．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区
A
B
C
数量/件
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
[解] (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×＝1,150×＝3,100×＝2．
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2．
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2．
则从6件样品中抽取2件商品，试验的样本空间Ω＝{(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共15个样本点．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共4个，所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为．
1．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
B [设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4．故选B．]
2．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A．
B．
C．
D．
B [设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．
故恰有2只测量过该指标的概率为＝．故选B．]
3．(2020·全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )
A．
B．
C．
D．
A [根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O，A，B，C，D中任取3点，取到的3点共线的概率为＝，故选A．]
4．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
0.18 [记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18．]
5．(2020·全国卷Ⅰ)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
[解] (1)由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.4；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.28．
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
65
25
－5
－75
频数
40
20
20
20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为＝15．
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
70
30
0
－70
频数
28
17
34
21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
＝10．
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务．
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