(共31张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时
直角三角形的性质和判定
1.1
直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第1章
直角三角形
1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）
学习目标
2.掌握直角三角形的判定及推论.（难点）
3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）
导入新课
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”
老二很纳闷.你知道其中的道理吗？
内角三兄弟之争
情境引入
老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的.
在这个家里，我是永远的老大.
问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度?
30°+60°=90°
45°+45°=90°
讲授新课
直角三角形的两个锐角互余
一
问题引导
问题2：如图，在Rt△ABC中，
∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
在Rt△ABC中，因为
∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A
+∠B+∠C=90°,即
∠A
+∠B=90°.
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．
应用格式：
在Rt△ABC
中，
∵ ∠C
=90°，
∴ ∠A
+∠B
=90°．
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC
可以写成Rt△ABC
．
总结归纳
方法一（利用平行的判定和性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.
例1（1）如图?，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A
与∠D有什么关系？
图?
典例精析
解：∠A=∠C.理由如下：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.
（2）如图?，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与
∠C有什么关系？请说明理由.
图?
与图?有哪些共同点与不同点？
例2
如图，
∠C=∠D=90
°,AD,BC相交于点E.
∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90
°-
∠AEC.
在Rt△BDE中,
∠DBE=90
°-
∠BED.
∵
∠AEC=
∠BED，
∴
∠CAE=
∠DBE.
解：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠BEA=∠BDF=90°，
∴∠ABE+∠A=90°，
∠ABE+∠DFB=90°.
∴∠A=∠DFB.
∵∠DFB+∠BFC=180°，
∴∠A+∠BFC=180°.
【变式题】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于点F，∠A与∠BFC又有什么关系？为什么？
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本
图形吗？
基本图形
∠A=∠C
∠A=∠D
总结归纳
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中，
∠A
+∠B=90°
，
那么△ABC
是直角三角形吗？
在△ABC中，因为
∠A
+∠B
+∠C=180°，
又∠A
+∠B=90°，所以∠C=90°.
于是△ABC是直角三角形.
有两个角互余的三角形是直角三角形
二
A
B
C
应用格式：
在△ABC
中，
∵ ∠A
+∠B
=90°，
∴ △ABC
是直角三角形．
有两个角互余的三角形是直角三角形.
总结归纳
典例精析
例3
如图，∠C=90
°,
∠1=
∠2，△ADE是直角三
角形吗？为什么？
A
C
B
D
E
(
(
1
2
解：在Rt△ABC中，
∠2+
∠A=90
°.
∵
∠1=
∠2,
∴∠1
+
∠A=90
°.
即△ADE是直角三角形.
例4
如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是
直角三角形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
问题：
如图，画一个Rt△ABC，
并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD
与线段AB
之间的数量关系，你能得出什么结论？
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
三
我测量后发现
CD
=
AB.
线段CD
比线段AB短.
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
图1-4
如图1-3，
如果中线CD
=
AB，则有∠DCA
=
∠A
.
由此受到启发，在图1-4
的Rt△ABC中，过直角顶点C作射线
交AB于
，使
，
∠
=
∠A
则
.
图1-3
证一证
∴
点D'是斜边上的中点，即CD'
是斜边AB的中线.
∠A
+∠B=90°
，
又∵
，
∴
∴
故得
从而CD与CD'
重合，且
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
性质
例5
已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，且
.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：
∴
∠1=∠A，∠2=∠B
.
∵∠A+∠B+∠ACB
=180°，
即∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.
∴
∠A+∠B
=90°.
∴
△ABC是直角三角形.
例6
如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，
求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝
AB＝
×10＝5，
DF＝AF＝
AC＝
×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF
＝5＋5＋4＋4＝18；
(2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
归纳
如图，在△ABC中,∠ABC
=
90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC
=_____cm;
(2)若∠C
=
30°
,AB
=
5cm,则AC
=_____cm,
BD
=
_____cm.
A
B
C
D
6
10
5
练一练
归纳总结
体现直角三角形斜边上中线的性质的常见图形
1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________.
90°
2.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，
若∠BOD=38°，则∠A=________.
52°
第1题图
第2题图
当堂练习
3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________.
直角三角形
4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另
一个锐角的度数是（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
B
5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
（
）
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A-∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3
D．∠A=∠B=3∠C
D
6.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
CD⊥AB，与∠1互余的角有（ ）
A．∠B
B．∠A
C．∠BCD和∠A
D．∠BCD
C
7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形．
证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形.
8.
如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝
BC，DG＝
BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
归纳
课堂小结
直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(共27张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时
含30°角的直角三角形的性质及其应用
1.1
直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第1章
直角三角形
1.理解和掌握有关30°角的直角三角形的性质和应用;（重点）
2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
（难点）
学习目标
导入新课
问题引入
问题1
如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
分离
拼接
A
B
C
D
A'
C'
问题2
将剪一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
动手：用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.
结论：短直角边=斜边
讲授新课
含30°角的直角三角形的性质
活动探究
A
B
C
D
如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，
因此AB=AD,
∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD=
AB.
合作探究
证明：取线段AB的中点D，连接CD.
∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，
30°
B
C
A
D
∵∠BCA
=90°，且∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CBD为等边三角形，
证法1
证明方法：中线法
证法2
证明：在△ABC
中，
∵ ∠C
=90°，∠A
=30°,
∴ ∠B
=60°．
延长BC
到D，使BD
=AB，连接AD，
则△ABD
是等边三角形．
A
B
C
D
证明方法：倍长法
∴ BC
=
AB．
30°
)
E
A
B
C
证明：
在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵
∠B=
60°
，BE=BC.
∴
△BCE是等边三角形，
∴
∠BEC=
60°，BE=EC.
∵
∠A=
30°，
∴
∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°
=
30°.
∴
AE=EC，
∴
AE=BE=BC，
∴
AB=AE+BE=2BC.
∴BC
=
AB．
证明方法：截半法
证法3
30°
)
知识要点
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一直角等于30°，那么这个直角所对的边等于斜边的一半.
应用格式：
∵ 在Rt△ABC
中，
∠C
=90°，∠A
=30°，
A
B
C
∴ BC
=
AB．
)
30°
(1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的
一半．
(2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.
(3)直角三角形中最小的直角边是斜边的一半.
(4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
√
判一判
例1
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )
A．3cm
B．6cm
C．9cm
D．12cm
典例精析
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
D
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.
例2
已知:等腰三角形的底角为15
°,腰长为20.求腰上的高.
A
C
B
D
15
°
15
°
20
解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15°
(已知),
∴∠DAC=
∠B+
∠ACB=
15°+15°=30°，
)
)
∴CD=
AC=
×20=10.
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．
例3：在A岛周围20海里（1海里=1852m）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向上，且与轮船相距
海里，如图所示.该船如果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？
O
B
D
A
北
东
60°
解：∵∠AOD=30°，
AO=
海里，
∴AD=
AO
=
海里＞20海里，
所以无危险.
解：如图，取线段AB的中点D，连接CD.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=
AB=BD=AD,
即△BDC为等边三角形,
∴∠B=60°.
∵∠B+∠A=90°，
∴∠A=30°.
思考：如图，在Rt△ABC中，如果BC=
AB，那么∠A等于多少？
B
C
A
D
知识要点
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
应用格式：
∵ 在Rt△ABC
中，∠C
=90°，
A
B
C
BC
=
AB．
)
30°
∴∠A
=30°
例4：如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝
BC，求∠DAC的度数．
解：∵AB⊥AC，
∴∠CAB＝90°.
∵AC＝
BC，
∴∠CBA＝30°.
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°.
当堂练习
1.如图，一棵树在一次强台风中，于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(
)
A．6米
B．9米
C．12米
D．15米
B
2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(
)
A．300a元
B．150a元
C．450a元
D．225a元
B
3.如图，在△ABC
中，∠ACB
=90°，CD
是高，∠A
=30°，AB
=4．则BD
=
.
A
B
C
D
1
4.在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:2:3,若AB=10,则BC
=
.
5
5.如图，Rt△ABC中，∠A=
30°，AB+BC=12cm，则AB=______.
A
C
B
8cm
第5题图
6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，求AC的长．
解：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠B=∠EAB=15°，
∴∠AEC=30°，
∵∠C=90°，
∴AC=
AE=
BE=2.5．
7.在
△ABC中,
AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.
证明:∵AB=AC,∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.
∵
D是BC的中点,∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°,
∠BAD=∠DAC=60°.
∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED==90°，
∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.
∴AB=4AE，∴BE=3AE.
A
B
C
D
E
解：∵DE⊥AC,BC
⊥AC,
∠A=30
°，
∴BC=
AB,
DE=
AD.
∴BC=
AB=
×7.4=3.7(m).
又AD=
AB,
∴DE=
AD=
×3.7=1.85
(m).
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
8.如图是屋架设计图的一部分，点D
是斜梁AB
的中点，立柱BC，DE
垂直于横梁AC，AB
=7.4
cm，∠A
=30°，立柱BC、DE
有多长.
9.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,
求证:BP=2PQ.
拓展提升
∴△ADC≌△BEA.
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴
AC=BC=AB
,∠C=∠BAC=60°，
∵CD=AE，
∴∠CAD=∠ABE,∠BAP+∠CAD=60°.
∴∠ABE+∠BAP=60°.
∴∠BPQ=60°.
又∵
BQ⊥AD，
∴BP=2PQ.
∴∠PBQ=30°，
∴∠BQP=90°，
课堂小结
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（反之亦成立）
使用要点
含30°角的直角三角形的性质
找准30
°的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：直角三角形中
