22.1二次函数的图象和性质
22.1.1二次函数
课前预习
1.一般地，形如
y=ax2+bx+c
（a，b，c是常数，
a≠0
）的函数叫做二次函数.其中
x
是自变量，a，b，c分别是函数解析式的
二次项系数
、
一次项系数
、
常数项
2.二次函数必须同时满足三个条件：
（1）函数解析式是
整式
；
（2）化简后自变量的最高次数是
2
；
（3）二次项系数
不等于0
，一次项系数和常数项可以为0，当它们为0时通常省略不写.
课堂练习
知识点1
二次函数的概念
1.若y=（a-3）x2+2x-5是二次函数，则a的取值范围是
a≠3
.
2.下表函数是否为二次函数？如果是二次函数，请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
函数
是否为二次函数
二次项系数
一次项系数
常数项
y=﹣0.5x?+2x﹣3
是
﹣0.5
2
﹣3
y=2x?+7
是
2
0
7
y=﹣x?+x
是
﹣1
1
0
y=(x+1)(x﹣1)
﹣x?
不是
3.已知函数y=（a-2）x2+（b+2）x-3.
（1）当a，b为何值时，这个函数是一次函数？
（2）当a为何值时，这个函数是二次函数？
解：（1）当a=2且b≠-2时，函数为一次函数；
（2）当a≠2时，函数为二次函数.
知识点2
求二次函数的解析式
4.在边长为15
cm的正方形铁片中间剪去一个边长是x
cm的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（单位：cm2）与x（单位：cm）之间的函数关系为
y=-x2+225（0≤x<15）
.
5.国家决定对某药品价格分两次降价，若每次降价的百分率为x，该药品的原价是16元，降价后的价格为y元，则y与x
的函数关系式为（
D
）
A.y=32（1-x）
B.y=32（1+x）
C.y=16（1+x）2
D.y=16（1-x）2
【解析】原价为16，第一次降价后的价格为16（1-x），第二次降价是在第一次降价后的基础上再降价，其价格为16（1-x）（1-x）=16（1-x）2.故选D.
6.如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.
（1）求S关于x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长度为多少米？
解：（1）∵AB=x，3x+BC=24，
∴BC=24-3x.
∴S=AB×BC=x（24-3x）=-3x2+24x.
∴S关于x的函数关系式为S=-3x2+24x；
（2）当S=45时，-3x2+24x=45.
解得
x?=3，x?=5.
又∵BC=24-3x≤10，即x≥，∴x=5.
答：AB的长度为5米.
课时作业
1.函数y=2x2，y=x2-2x，S=πr2的共同点是自变量的最高次数为
2
.
2.将二次函数y=2（x+2）（x-3）化成一般式为
y＝2x2-2x-12
，它的二次项系数为
2
，一次项系数为
-2
，常数项为
-12
.
3.下列函数中，是二次函数的有（
A
）
①y=-x2；②y=-x2；③y=3x2-（3x?+2x-1）；④y=ax2+bx+c.
A.①
B.①②③④
C.①②
D.①③④
【解析】①符合二次函数的定义；②是分式，不符合二次函数的定义；③化简后为y=-2x+1是一次函数，不符合题意；④中a的值不确定，不能确定是否为二次函数.故选A.
4.
若函数y=(3－m)－x+1是二次函数，则m的值为（
B
）
A.3
B.-3
C.±3
D.9
5.已知一个直角三角形两直角边的和为8，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式为（
A
）
A.y=-x2+4x
B.y=-x2+8x
C.y=x2+4x
D.y=x2+8x
6.二次函数y=x2+2x+3中自变量x的取值范围是（
B
）
A.x>0
B.x为一切实数
C.y>2
D.y为一切实数
7.一块矩形的草地，长为8
m，宽为6
m，若将长和宽都增加x
m，设增加的面积为y
m2.
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若要使草地增加的面积为32
m2，长和宽都增加多少m？
解：（1）增加后的长和宽分别是（8+x）m和（6+x）
m.根据题意，得
y=（8+x）（6+x）-6×8=x2+14x.
∴y关于x的函数关系式为y=x2+14x；
（2）根据题意，得x2+14x=32.
解得x?=-16（舍去），x?=2.
∴x=2.
答：长和宽都增加2
m.
8.
某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2
000元.设矩形一边长为x米，面积为S平方米.
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设计费能达到24
000元吗？为什么？
（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
解：（1）矩形的一边为x米，由周长为16米得矩形的另一边长为（8-x）米.根据题意，得
S＝x（8-x）＝-x2＋8x，其中0＜x＜8；
（2）能.
理由如下：当设计费为24
000元时，面积为＝12（平方米）.
根据题意，得-x2＋8x＝12.解得x?＝2，x?＝6.
∴当矩形的边长为2米和6米时，设计费能达到24
000元；
（3）∵S＝-x2＋8x＝-（x-4）2＋16.
∴当x＝4米时，矩形的面积最大，最大面积为16平方米；
此时设计费最多，最多是16×2
000＝32
000元.
9.
星桥中学2018届九年级毕业生有x人.在毕业晚会上，每两人之间握手一次，x人共握手y次，则y与x之间的函数关系式为（
D
）
A.y=x2+1
B.y=x2-x
C.y=
D.y=x2-x
10.如图，正方形ABCD的边长为4
cm，动点P，Q同时沿ABC和ADC的路径向点C以1
cm/s的速度运动.设运动时间为x
s，四边形PBDQ的面积为y
cm2.求y与x（0≤x≤8）之间的函数关系式.
解：当0≤x≤4时，y=S△ABD
-
S△APQ=×4×4-×x×x=-x2+8；
当4＜x≤8时，
y=S△DCB
-
S△CPQ
=×4×4-（8-x）×（8-x）=-x2+8x-24.
综上可知：y与x之间的函数关系式为y=22.1二次函数的图象和性质
22.1.1二次函数
课前预习
1.一般地，形如
（a，b，c是常数，
）的函数叫做二次函数.其中
是自变量，a，b，c分别是函数解析式的
、
、
2.二次函数必须同时满足三个条件：
（1）函数解析式是
；
（2）化简后自变量的最高次数是
；
（3）二次项系数
，一次项系数和常数项可以为0，当它们为0时通常省略不写.
课堂练习
知识点1
二次函数的概念
1.若y=（a-3）x2+2x-5是二次函数，则a的取值范围是
.
2.下表函数是否为二次函数？如果是二次函数，请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
函数
是否为二次函数
二次项系数
一次项系数
常数项
y=﹣0.5x?+2x﹣3
y=2x?+7
y=﹣x?+x
y=(x+1)(x﹣1)
﹣x?
3.已知函数y=（a-2）x2+（b+2）x-3.
（1）当a，b为何值时，这个函数是一次函数？
（2）当a为何值时，这个函数是二次函数？
知识点2
求二次函数的解析式
4.在边长为15
cm的正方形铁片中间剪去一个边长是x
cm的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（单位：cm2）与x（单位：cm）之间的函数关系为
.
5.国家决定对某药品价格分两次降价，若每次降价的百分率为x，该药品的原价是16元，降价后的价格为y元，则y与x
的函数关系式为（
）
A.y=32（1-x）
B.y=32（1+x）
C.y=16（1+x）2
D.y=16（1-x）2
6.如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.
（1）求S关于x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长度为多少米？
课时作业
1.函数y=2x2，y=x2-2x，S=πr2的共同点是自变量的最高次数为
.
2.将二次函数y=2（x+2）（x-3）化成一般式为
，它的二次项系数为
，一次项系数为
，常数项为
.
3.下列函数中，是二次函数的有（
）
①y=-x2；②y=-x2；③y=3x2-（3x2+2x-1）；④y=ax2+bx+c.
A.①
B.①②③④
C.①②
D.①③④
4.
若函数y=(3－m)－x+1是二次函数，则m的值为（
）
A.3
B.-3
C.±3
D.9
5.已知一个直角三角形两直角边的和为8，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式为（
）
A.y=-x2+4x
B.y=-x2+8x
C.y=x2+4x
D.y=x2+8x
6.二次函数y=x2+2x+3中自变量x的取值范围是（
）
A.x>0
B.x为一切实数
C.y>2
D.y为一切实数
7.一块矩形的草地，长为8
m，宽为6
m，若将长和宽都增加x
m，设增加的面积为y
m2.
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若要使草地增加的面积为32
m2，长和宽都增加多少m？
8.
某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2
000元.设矩形一边长为x米，面积为S平方米.
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设计费能达到24
000元吗？为什么？
（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
9.星桥中学2018届九年级毕业生有x人.在毕业晚会上，每两人之间握手一次，x人共握手y次，则y与x之间的函数关系式为（
）
A.y=x2+1
B.y=x2-x
C.y=
D.y=x2-x
10.如图，正方形ABCD的边长为4
cm，动点P，Q同时沿ABC和ADC的路径向点C以1
cm/s的速度运动.设运动时间为x
s，四边形PBDQ的面积为y
cm2.求y与x（0≤x≤8）之间的函数关系式.
