22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
课前预习
1.二次函数y=ax2的图象是一条
，对称轴是
轴，顶点坐标是
.当a>0时，抛物线开口
，在对称轴的左侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，y随x的增大而
，此时抛物线有最
点，即当x=0时，y取得最
值
；当a<0时，抛物线开口
，在对称轴的左侧y随x的增大而
，在对称轴的右侧，y随x的增大而
，此时抛物线有最
点，即当x=0时，y取得最
值
.|a|越大，抛物线的开口越小，|a|相等说明抛物线的开口大小相同.
课堂练习
知识点1
二次函数y=ax2的图象
1.填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值.
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
y=3x2
y=-3x2
y=x2
y=-x2
2.某同学画二次函数y=ax2的图象时，列下列表格：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-
0
-2
（1）将表格中的空格补全；
（2）这个二次函数的解析式为
；
（3）在平面直角坐标系中画出二次函数的图象.
知识点2
二次函数y=ax2的性质
3.已知二次函数y=（m-2）x2的图象开口向上，则m的取值范围是
.
4.下列各点在二次函数y=-2x2图象上的是（
）
A.（-1，2）
B.（-1，-2）
C.（-2，-4）
D.（-2，4）
5.关于函数y=x2的图象，下列说法错误的是（
）
A.它的图象是一条抛物线
B.它的开口向上，且关于y轴对称
C.它的顶点是抛物线的最高点
D.它的顶点在原点处，坐标为（0，0）
课时作业
1.与二次函数y=x2开口大小相同，方向相反的二次函数是
.
2.二次函数y=-0.2x2的图象是一条开口向
的抛物线，对称轴是
，顶点坐标为
.当x=
时，函数有最
值
；当x
0时，y随x的增大而减小.
3.关于函数y=3x2的性质，下列说法正确的是（
）
A.无论x为任何实数，y的值总为正
B.当x值增大时，y的值也增大
C.它的图象关于y轴对称
D.它的图象在第一、第三象限内
4.已知A（-1，y?），B（-2，y?）都在二次函数y=x2上，则y?，y?之间的大小关系是（
）
A.y?>y?
B.y?=y?
C.y?D.不能确定
5.二次函数y=ax2（a＞0）的图象经过点（3，4），则其图象一定经过点（
）
A.（3，-4）
B.（-3，-4）
C.（-3，4）
D.（4，3）
6.
如图，当ab＞0时，函数y=ax2与函数y=bx+a的大致图象是（
）
7.二次函数y=2x2，y=-2x2，y=x2的共同性质是（
）
A.开口向上
B.对称轴是y轴
C.都有最高点
D.y随x的增大而增大
8.已知函数y=（m+2）是关于x的二次函数.
（1）求m的值；
（2）当m为何值时，函数图象的顶点为最低点？
（3）当m为何值时，函数图象的顶点为最高点？
9.在同一个平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y=x2；②y=x2；③y=-x2；④y=-x2.
从图象上对比，说出解析式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响？
10.如图，A，B为抛物线y=x2上的两点，且AB∥x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若AB=2，求图中阴影部分的面积.
11.函数y=ax2（a≠0）的图象与直线y=2x-3交于点（1，b）.
（1）求a和b的值；
（2）x在什么范围时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大？
（3）求抛物线y=ax2与直线y=-2的两个交点及顶点所围成的三角形的面积.22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
课前预习
1.二次函数y=ax2的图象是一条
抛物线
，对称轴是
y
轴，顶点坐标是（0，0）
.当a>0时，抛物线开口
向上
，在对称轴的左侧，y随x的增大而
减小
，在对称轴的右侧，y随x的增大而
增大
，此时抛物线有最
低
点，即当x=0时，y取得最
小
值
0
；当a<0时，抛物线开口
向下
，在对称轴的左侧y随x的增大而
增大
，在对称轴的右侧，y随x的增大而
减小
，此时抛物线有最
高
点，即当x=0时，y取得最
大
值0
.|a|越大，抛物线的开口越小，|a|相等说明抛物线的开口大小相同.
课堂练习
知识点1
二次函数y=ax2的图象
1.填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值.
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
y=3x2
向上
y轴
（0，0）
最小值0
y=-3x2
向下
y轴
（0，0）
最大值0
y=x2
向上
y轴
（0，0）
最小值0
y=-x2
向下
y轴
（0，0）
最大值0
2.某同学画二次函数y=ax2的图象时，列下列表格：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-
-2
-
0
-2
-
（1）将表格中的空格补全；
（2）这个二次函数的解析式为
y=-x2
；
（3）在平面直角坐标系中画出二次函数的图象.
解：（3）函数图象如图所示.
知识点2
二次函数y=ax2的性质
3.已知二次函数y=（m-2）x2的图象开口向上，则m的取值范围是
m>2
.
4.下列各点在二次函数y=-2x2图象上的是（
B
）
A.（-1，2）
B.（-1，-2）
C.（-2，-4）
D.（-2，4）
5.关于函数y=x2的图象，下列说法错误的是（
C
）
A.它的图象是一条抛物线
B.它的开口向上，且关于y轴对称
C.它的顶点是抛物线的最高点
D.它的顶点在原点处，坐标为（0，0）
课时作业
1.与二次函数y=x2开口大小相同，方向相反的二次函数是
y=-x2
.
2.二次函数y=-0.2x2的图象是一条开口向
下
的抛物线，对称轴是
y轴
，顶点坐标为
（0，0）
.当x=
0
时，函数有最
大
值
0
；当x
＞
0时，y随x的增大而减小.
3.关于函数y=3x2的性质，下列说法正确的是（
C
）
A.无论x为任何实数，y的值总为正
B.当x值增大时，y的值也增大
C.它的图象关于y轴对称
D.它的图象在第一、第三象限内
4.已知A（-1，y?），B（-2，y?）都在二次函数y=x2上，则y?，y?之间的大小关系是（
C
）
A.y?>y?
B.y?=y?
C.y?D.不能确定
5.二次函数y=ax2（a＞0）的图象经过点（3，4），则其图象一定经过点（
C
）
A.（3，-4）
B.（-3，-4）
C.（-3，4）
D.（4，3）
6.如图，当ab＞0时，函数y=ax2与函数y=bx+a的大致图象是（
C
）
7.二次函数y=2x2，y=-2x2，y=x2的共同性质是（
B
）
A.开口向上
B.对称轴是y轴
C.都有最高点
D.y随x的增大而增大
8.已知函数y=（m+2）是关于x的二次函数.
（1）求m的值；
（2）当m为何值时，函数图象的顶点为最低点？
（3）当m为何值时，函数图象的顶点为最高点？
解：（1）根据二次函数的定义得
解得
∴m的值为2或-4；
（2）当m=2时，抛物线的开口向上，函数有最小值，函数图象的顶点为最低点；
（3）当m=-4时，抛物线的开口向下，函数有最大值，函数图象的顶点为最高点.
9.在同一个平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y=x2；②y=x2；③y=-x2；④y=-x2.
从图象上对比，说出解析式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响？
解：列表如下
描点、连线，函数图象如图所示
a的绝对值相同，抛物线的形状相同；a的绝对值越大，开口越小.
10.如图，A，B为抛物线y=x2上的两点，且AB∥x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若AB=2，求图中阴影部分的面积.
解：∵AB=2，
∴BC=AB=.
∴点B的横坐标为.代入抛物线的解析式得y=2.
∵AB∥x轴，∴点B与点C的纵坐标相同.
∴OC=2，即圆的半径为2.
由二次函数的对称性得，图中阴影部分的面积等于圆面积的，
即S阴影=π×22=π.
11.函数y=ax2（a≠0）的图象与直线y=2x-3交于点（1，b）.
（1）求a和b的值；
（2）x在什么范围时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大？
（3）求抛物线y=ax2与直线y=-2的两个交点及顶点所围成的三角形的面积.
解：（1）把点（1，b）代入y=2x-3，得b=-1.
∴交点坐标为（1，-1）.
把（1，-1）代入y=ax2，得a=-1.
∴a=-1，b=-1；
（2）由（1）得y=-x2，当x≤0时，y随x的增大而增大；
（3）根据题意，得
解得或
∴两交点坐标分别为（-，-2），（，-2）.
故S△=×2×2=2.
