22.1.4二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
第1课时
二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
课前预习
1.把二次函数y=ax2+bx+c配方得y=a（x+
）2+
.二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线，顶点是
（-，）
，对称轴是
x=-
，其图象可以通过对抛物线y=ax2平移得到.
2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在a＞0时，当x
＜-
时，y随x的增大而减小，当x
＞-
时，y随x的增大而增大；在a＜0时，当x
＜-
时，y随x的增大而增大，当x
＞-
时，y随x的增大而减小.
课堂练习
知识点1
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是
（1，2）
.
2.
已知函数y＝2x2-8x＋9，当y随x的增大而减少时，则自变量x的取值范围是
x＜2
.
3.
已知抛物线y＝-x2＋2x＋2.
（1）在如图所示的平面直角坐标系内画出该抛物线的图象；
（2）求该抛物线的对称轴、顶点坐标.
解：（1）先列表如下
描点、连线，得到抛物线y＝-x2＋2x＋2如图所示；
（2）抛物线的对称轴是x＝1，顶点是（1，3）.
知识点2
二次函数y=ax2+bx+c的图象和系数的关系
4.
如图，直线x＝6是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的一条对称轴，当函数值y随自变量x的增大而增大时，自变量x的取值范围是
x＞6（或x≥6）
.
5.(2018
玉溪月考）已知抛物线y=ax2+bx，当a>0，b<0时，它的图象经过（
B
）
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限
D.第一、二、三、四象限
6.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方，那么下列判断中正确的是（
D
）
A.a<0，b<0
B.a>0，b<0
C.a<0，b>0
D.a<0，c<0
课时作业
1.
抛物线y＝-x2＋6x的顶点坐标是
（3，9）
.
2.
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2）和（4，2），则此抛物线的对称轴是直线
x=
.
3.用“描点法”画某个二次函数图象时，列了如下表格：
x
...
3
4
5
6
7
8
...
y
...
7.5
5
3.5
3
3.5
5
...
根据表格中的信息，该二次函数在x=9时，y=
7.5
.
4.二次函数y=x2-4x+5的最小值是（
B
）
A.-1
B.1
C.3
D.5
5.二次函数y＝ax2＋bx-1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b的值为（
B
）
A.-3
B.-1
C.2
D.5
6.二次函数y＝x2－2x＋4化成y＝a(x－h)2＋k的形式，下列变形正确的是（
B
）
A.y＝(x＋1)2＋2
B.y＝(x－1)2＋3
C.y＝(x－2)2＋2
D.y＝(x－2)2＋4
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
...
-1
0
1
2
...
y
...
0
3
4
3
...
那么关于它的图象，下列判断正确的是（
B
）
A.开口向上
B.与x轴的另一个交点是（3，0）
C.与y轴交于负半轴
D.在直线x=1左侧部分是下降的
【解析】由已知得二次函数的对称轴为x=1，顶点为（1，4），最大值为4，与y轴交点为（0，3）.所以抛物线开口向下，与x轴的另一个交点是（3，0），与y轴交于正半轴，在直线x=1左侧部分是上升的.故选B.
8.
将抛物线y＝x2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数图象为y＝（x-1）2-4，则b，c的值依次是（
A
）
A.2，0
B.1，-4
C.-6，2
D.2，-6
【解析】题目逆推为“函数y＝（x-1）2-4先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到y＝x2＋bx＋c，求b，c的值”，通过平移得y＝（x-1+2）2-4+3=（x+1）2-1=x2＋2x，∴一次项系数和常数项分别为2和0.故选A.
9.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（
C
）
10.
已知二次函数y＝x2-4x＋3.
（1）求这个二次函数的图象的顶点C的坐标，并指出当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围；
（2）求这个二次函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积.
解：（1）∵y＝x2-4x＋3＝（x-2）2-1.
∴顶点C（2，-1）.
∵二次项系数1＞0，图象开口向上，
∴当y随x的增大而增大时，自变量x＞2；
（2）令y＝0得x2-4x＋3＝0.
解得x?＝1，x?＝3.
∵点A，B的坐标分别为A（1，0）和B（3，0）.
∴S△ABC＝×AB·|-1|＝×2×1＝1.
11.【核心素养·问题解决】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y?=x?经过平移得到抛物线y?=（x-1）2-1，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为
1
.
【解析】如图所示，直线x=1交x轴于点B，抛物线y
?的顶点记作点C（1，-1），过C作CA⊥y轴，由抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形OACB的面积，即S阴影=1×1=1.22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
课前预习
1.把二次函数y=ax2+bx+c配方得y=a（x+
）2+
.二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线，顶点是
，对称轴是
，其图象可以通过对抛物线y=ax2平移得到.
2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在a＞0时，当x
时，y随x的增大而减小，当x
时，y随x的增大而增大；在a＜0时，当x
时，y随x的增大而增大，当x
时，y随x的增大而减小.
课堂练习
知识点1
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是
（1，2）
.
2.
已知函数y＝2x2-8x＋9，当y随x的增大而减少时，则自变量x的取值范围是
.
3.
已知抛物线y＝-x2＋2x＋2.
（1）在如图所示的平面直角坐标系内画出该抛物线的图象；
（2）求该抛物线的对称轴、顶点坐标.
知识点2
二次函数y=ax2+bx+c的图象和系数的关系
4.
如图，直线x＝6是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的一条对称轴，当函数值y随自变量x的增大而增大时，自变量x的取值范围是
.
5.
已知抛物线y=ax2+bx，当a>0，b<0时，它的图象经过（
）
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限
D.第一、二、三、四象限
6.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方，那么下列判断中正确的是（
）
A.a<0，b<0
B.a>0，b<0
C.a<0，b>0
D.a<0，c<0
课时作业
1.
抛物线y＝-x2＋6x的顶点坐标是
.
2.
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2）和（4，2），则此抛物线的对称轴是直线
.
3.用“描点法”画某个二次函数图象时，列了如下表格：
x
...
3
4
5
6
7
8
...
y
...
7.5
5
3.5
3
3.5
5
...
根据表格中的信息，该二次函数在x=9时，y=
.
4.二次函数y=x2-4x+5的最小值是（
）
A.-1
B.1
C.3
D.5
5.
二次函数y＝ax2＋bx-1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b的值为（
）
A.-3
B.-1
C.2
D.5
6.二次函数y＝x2－2x＋4化成y＝a(x－h)2＋k的形式，下列变形正确的是（
）
A.y＝(x＋1)2＋2
B.y＝(x－1)2＋3
C.y＝(x－2)2＋2
D.y＝(x－2)2＋4
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
...
-1
0
1
2
...
y
...
0
3
4
3
...
那么关于它的图象，下列判断正确的是（
）
A.开口向上
B.与x轴的另一个交点是（3，0）
C.与y轴交于负半轴
D.在直线x=1左侧部分是下降的
8.
将抛物线y＝x2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数图象为y＝（x-1）2-4，则b，c的值依次是（
）
A.2，0
B.1，-4
C.-6，2
D.2，-6
9.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（
）
10.
已知二次函数y＝x2-4x＋3.
（1）求这个二次函数的图象的顶点C的坐标，并指出当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围；
（2）求这个二次函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积.
11.【核心素养·问题解决】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y?=x?经过平移得到抛物线y?=（x-1）2-1，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为
.
