21.3实际问题与一元二次方程
第3课时
一元二次方程与几何图形问题
课前预习
1.求不规则几何图形的面积，通常通过割补平移等方法，用
表示出几何图形的面积，再求解.
2.求规则几何图形的面积，先找出未知量与
的内在联系，再根据面积公式列出一元二次方程.
课堂练习
知识点1
一般图形的面积
1.一个直角三角形的两条直角边相差5
cm，面积是7
cm2，这两条直角边长分别是
.
2.如图，一块长和宽分别为60
cm和40
cm的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800
cm2.设截去小正方形的边长为x
cm，则所列方程为
.
3.某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（
）
A.x（x-11）＝180
B.2x＋2（x-11）＝180
C.x（x＋11）＝180
D.2x＋2（x＋11）＝180
知识点2
边框与通道问题
4.在一块长为35
m，宽为26
m的矩形绿地上有宽度相同的两条路，如图所示，其中绿地的面积为850
m2，则小路的宽为
m.
5.如图，某小区有一块长为18
m，宽为6
m的矩形空地，计划其中修建两块相同的矩形绿地，他们的面积之和为60
m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行道，若设人行道的宽为x
m，则可列出关于x的方程为（
）
A.x2+9x-8=0
B.x2-9x-8=0
C.x2-9x+8=0
D.2x2-9x+8=0
课时作业
1.一块矩形场地的面积是120
m2，如果它的长减少2
m，那么场地就变成正方形，则场地的长是
m.
2.如图，在一块长为22
m，宽为17
m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300
m2.设道路宽为x
m，则根据题意可列方程（不用化简）为
.
3.如图所示，在一幅长80
cm，宽50
cm
的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图.如果要使整幅挂图的面积是5
400
cm2
，设金色纸边的宽为x
cm，那么
x满足的方程是（
）
A.x2+130x-1
400=0
B.x2+65x-350=0
C.x2-130x-1
400=0
D.x2-65x-350=0
4.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1
m，另一边减少了2
m，剩余空地的面积为18
m2，求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x
m，则可列方程为（
）
A.（x+1）（x+2）=18
B.x?-3x+16=0
C.（x-1）（x-2）=18
D.x?+3x+16=0
5.如图，要设计一幅宽20
cm，长30
cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶1，如果要使彩条所占面积是图案面积的，则竖彩条宽度为（
）
A.1
cm
B.2
cm
C.2
cm或19
cm
D.1
cm或19
cm
6.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3
m宽的空地，其它三侧内墙各保留1
m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少
m时，蔬菜种植区域的面积是288
m2？
7.
如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15
m的住房墙，另外三边用27
m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1
m宽的门，所围矩形猪舍的长，宽分别为多少米时，猪舍面积为96
m2？
8.如图，在长为33米，宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（
）
A.1米
B.2米
C.3米
D.4米
9.【核心素养·勇于探究】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，直角边AB，BC的长（AB＜BC）是方程
x2-7x＋12＝0的两个根.点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）.
（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP的长为时，运动时间t的值；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由.21.3实际问题与一元二次方程
第3课时
一元二次方程与几何图形问题
课前预习
1.求不规则几何图形的面积，通常通过割补平移等方法，用
代数式
表示出几何图形的面积，再求解.
2.求规则几何图形的面积，先找出未知量与
已知量
的内在联系，再根据面积公式列出一元二次方程.
课堂练习
知识点1
一般图形的面积
1.一个直角三角形的两条直角边相差5
cm，面积是7
cm2，这两条直角边长分别是
2
cm和7
cm
.
2.如图，一块长和宽分别为60
cm和40
cm的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800
cm2.设截去小正方形的边长为x
cm，则所列方程为
（60-2x）（40-2x）=800
.
3.某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（
C
）
A.x（x-11）＝180
B.2x＋2（x-11）＝180
C.x（x＋11）＝180
D.2x＋2（x＋11）＝180
知识点2
边框与通道问题
4.在一块长为35
m，宽为26
m的矩形绿地上有宽度相同的两条路，如图所示，其中绿地的面积为850
m2，则小路的宽为
1
m.
5.如图，某小区有一块长为18
m，宽为6
m的矩形空地，计划其中修建两块相同的矩形绿地，他们的面积之和为60
m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行道，若设人行道的宽为x
m，则可列出关于x的方程为（
C
）
A.x2+9x-8=0
B.x2-9x-8=0
C.x2-9x+8=0
D.2x2-9x+8=0
课时作业
1.一块矩形场地的面积是120
m2，如果它的长减少2
m，那么场地就变成正方形，则场地的长是
12
m.
2.如图，在一块长为22
m，宽为17
m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300
m2.设道路宽为x
m，则根据题意可列方程（不用化简）为
（22-x）（17-x）=300
.
3.如图所示，在一幅长80
cm，宽50
cm
的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图.如果要使整幅挂图的面积是5
400
cm2
，设金色纸边的宽为x
cm，那么
x满足的方程是（
B
）
A.x2+130x-1
400=0
B.x2+65x-350=0
C.x2-130x-1
400=0
D.x2-65x-350=0
4.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1
m，另一边减少了2
m，剩余空地的面积为18
m2，求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x
m，则可列方程为（
C
）
A.（x+1）（x+2）=18
B.x?-3x+16=0
C.（x-1）（x-2）=18
D.x?+3x+16=0
5.如图，要设计一幅宽20
cm，长30
cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶1，如果要使彩条所占面积是图案面积的，则竖彩条宽度为（
A
）
A.1
cm
B.2
cm
C.2
cm或19
cm
D.1
cm或19
cm
6.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3
m宽的空地，其它三侧内墙各保留1
m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少
m时，蔬菜种植区域的面积是288
m2？
解：设矩形温室的宽为x
m，则长为2xm.根据题意，得
（x-2）（2x-4）=288.
解方程，得x?=-10（舍去），x?=14.
∴2x=28
m.
答：当矩形温室的长为28
m，宽为14
m时，蔬菜种植区域的面积是288
m2.
7.
如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15
m的住房墙，另外三边用27
m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1
m宽的门，所围矩形猪舍的长，宽分别为多少米时，猪舍面积为96
m2？
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x
m，则平行于墙的一边的长为（27-2x+1）m.根据题意，得x（27-2x+1）=96.
化简，得x2-14x+48=0.
解得x?=6，x?=8.
当x=6时，28-2x=16＞15（舍去）；
当x=8时，28-2x=12＜15.
答：所围矩形猪舍的长为12
m和宽为8
m.
8.如图，在长为33米，宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（
C
）
A.1米
B.2米
C.3米
D.4米
【解析】设道路的宽为x米，根据题意得20x+33x-x2=20×33-510.
整理得x2-53x+150=0.解得x1=50（舍去），x2=3.所以道路宽为3米.故选C.
9.【核心素养·勇于探究】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，直角边AB，BC的长（AB＜BC）是方程
x2-7x＋12＝0的两个根.点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）.
（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP的长为时，运动时间t的值；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）∵x2-7x＋12＝（x-3）（x-4）=0，
∴x?=3，x?=4.
∴AB=3，BC=4；
（2）在Rt△ABP中，由勾股定理得
AB2+BP2=AP2，即32+（t-3）2=10.
解方程，得t?=4，t?=2（舍去）.
当运动4秒时，AP的长为；
（3）存在点P，使△ABP是等腰三角形.
理由如下：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=5.
当AP=AB时，P在AC上，此时t=3+4+2=9.
当BP=AB时，①P在BC上，此时t=3+3=6.
②当AB=BP，P在AC上，此时t=3+4+=.
当AP=BP时，P为AC中点，此时t=3+4+=.
综上所述，当t为9秒，6秒，秒或秒时，△ABP是等腰三角形.
