22.2二次函数与一元二次方程
课前预习
1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的
，就是一元二次方程ax2+bx+c=0的
，反之，一元二次方程ax2+bx+c=0的解，就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的
.
2.当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点时，
，方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点时，
，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；当抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点时，
，方程ax2+bx+c=0没有实数根.
课堂练习
知识点1
二次函数与一元二次方程
1.
二次函数y＝x2+x-2的图象与x轴有
个交点.
2.
已知抛物线y＝x2+2mx+m与x轴只有一个交点，那么实数m的值为
.
知识点2
用二次函数确定一元二次方程的近似解
3.
根据下列表格的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解的范围是（
）
A.8B.9C.10D.114.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0（
）
A.没有实根
B.只有一个实根
C.有两个实根，且一根为正，一根为负
D.有两个实根，且一根小于1，一根大于2
知识点3
二次函数与不等式
5.如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=k
x相交于点O（0，0）和A（3，2）两点，则不等式ax2+bx.
6.【核心素养·转化思想】如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（
）
A.-1＜x＜5
B.x＞5
C.x＜-1且x＞5
D.x＜-1或x＞5
课时作业
1.
抛物线y=ax2－2ax+c与x轴的一个交点坐标为（－1，0），则一元二次方程ax2－2ax+c=0的根是
.
2.抛物线y=x2-2x-2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-2m+2
018的值为
.
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一元二次方程ax2+bx+c=m（m为常数且m≤4）的两根之和为（
）
A.-1
B.-2
C.1
D.2
4.
如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝-2.关于下列结论：①ab＜0；②b2-4ac＞0；③9a-3b+c＞0；④b-4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x
?＝0，x
?＝-4.其中正确的结论有（
）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
5.若二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）2+1=0的实数根为（
）
A.x?=，x
?
=
B.x?=-2，x
?
=6
C.x?=0，x
?
=4
D.x?=-4，x
?
=0
6.若二次函数y=（x+1）（x-m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（
）
A.m<-1
B.-1C.0D.m>1
7.二次函数y=ax2+bx+c对于x的任何值都恒为负值的条件是（
）
A.a＞0，＞0
B.a＞0，＜0
C.a＜0，＞0
D.a＜0，＜0
8.已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数).
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点？
9.已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的两个实数根x?，x?满足x?+x?
=4和
x?·x?
=3，那么二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象有可能是（
）
10.已知抛物线y=x2+x+c与x轴有两个不同的交点.
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y=x2+x+c与x轴两交点的距离为4，求c的值.22.2二次函数与一元二次方程
课前预习
1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的
横坐标
，就是一元二次方程ax2+bx+c=0的
解
，反之，一元二次方程ax2+bx+c=0的解，就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的
横坐标
.
2.当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点时，
b2-4ac>0
，方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点时，
b2-4ac=0
，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；当抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点时，
b2-4ac<0
，方程ax2+bx+c=0没有实数根.
课堂练习
知识点1
二次函数与一元二次方程
1.
二次函数y＝x2+x-2的图象与x轴有
两
个交点.
2.
已知抛物线y＝x2+2mx+m与x轴只有一个交点，那么实数m的值为
m＝0或m＝1
.
知识点2
用二次函数确定一元二次方程的近似解
3.
根据下列表格的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解的范围是（
C
）
A.8B.9C.10D.114.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0（
D
）
A.没有实根
B.只有一个实根
C.有两个实根，且一根为正，一根为负
D.有两个实根，且一根小于1，一根大于2
知识点3
二次函数与不等式
5.如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=k
x相交于点O（0，0）和A（3，2）两点，则不等式ax2+bx0.
6.【核心素养·转化思想】如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（
A
）
A.-1＜x＜5
B.x＞5
C.x＜-1且x＞5
D.x＜-1或x＞5
课时作业
1.
抛物线y=ax2－2ax+c与x轴的一个交点坐标为（－1，0），则一元二次方程ax2－2ax+c=0的根是
x?=-1，x?=3
.
2.抛物线y=x2-2x-2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-2m+2018的值为
2
020
.
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一元二次方程ax2+bx+c=m（m为常数且m≤4）的两根之和为（
B
）
A.-1
B.-2
C.1
D.2
【解析】由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知，方程ax2+bx+c=0的两根之和
x?+x
?=-=-3+1=-2.一元二次方程ax2+bx+c=m整理为ax2+bx+c-m=0，其两根之和x?+=-=-2.故选B.
4.
如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝-2.关于下列结论：①ab＜0；②b2-4ac＞0；③9a-3b+c＞0；④b-4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x?＝0，x
?＝-4.其中正确的结论有（
C
）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【解析】抛物线的开口向下，则a＜0.
∵对称轴x=-＜0，即b＜0.
∴ab＞0（①错误）；
∵抛物线与x轴有两个交点，
即方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根，
∴=b2-4ac＞0（②正确）；
∵由图可知当x=-3时，抛物线在x轴上方，
∴9a-3b+c＞0（③正确）；
∵对称轴x=-=-2，∴b=4a，即b-4a=0（④正确）；
由图象知抛物线交x轴交于0和-4，则c=0，
∴方程ax2+bx＝0的两个根为x?＝0，x
?＝-4（⑤正确）.
综上可知，正确的结论有4个
.故选C.
5.若二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）2+1=0的实数根为（
C
）
A.x?=，x
?=
B.x?=-2，x
?=6
C.x?=0，x
?=4
D.x?=-4，x
?=0
6.若二次函数y=（x+1）（x-m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（
D
）
A.m<-1
B.-1C.0D.m>1
7.二次函数y=ax2+bx+c对于x的任何值都恒为负值的条件是（
D
）
A.a＞0，＞0
B.a＞0，＜0
C.a＜0，＞0
D.a＜0，＜0
8.已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数).
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点？
(1)证明：（方法一）∵＝(－2m)2－4(m?＋3)＝－12＜0，
∴方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根.
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（方法二）∵y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3≥3，抛物线开口向上，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)解：y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3，
把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝(x－m)2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，
∴平移后的函数的图象与x轴只有一个公共点.
∴把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点.
9.已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的两个实数根x?，x?满足x?+x?=4和x?·x?=3，那么二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象有可能是（
B
）
【解析】∵一元二次方程的两根x?，x?满足x?+x
?=4和x?x?=3，∴x?>0，x
?>0，且对称轴为直线x==2.故选B.
10.已知抛物线y=x2+x+c与x轴有两个不同的交点.
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y=x2+x+c与x轴两交点的距离为4，求c的值.
解：（1）∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
即当x2+x+c=0时，二次函数有两个不等的实根，
∴Δ=12-4×c＞0.解得c＜1；
（2）根据题意，设方程x2+x+c=0的两个实数根为x?，x
?（x?＞x
?），则x?-x
?=4.
由根与系数的关系，得x?+x?=-4，x?x
?=4c，
∴（x?-x
?）2=（x?+x
?）2-4x?x
?=16，即（-4）2-4×4c=16.解得c=0.
