24.1.2垂直于弦的直径
课前预习
1.圆是
轴对称
图形，任何一条
直径
所在的直线都是圆的
对称轴
.
2.垂直于弦的
直径
平分弦，并且平分弦所对的两条
弧
.
3.平分
弦（不是直径）
的直径垂直于
弦
，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心
.
课堂练习
知识点1
圆的对称性
1.下列说法正确的是（
B
）
A.圆的对称轴是一条直径
B.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
C.与半径垂直的直线是圆的对称轴
D.垂直于弦的直线是圆的对称轴
2.经过圆心的对称轴有（
D
）
A.1条
B.2条
C.3条
D.无数条
知识点2
垂径定理
3.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长为
4
.
4.半径为6
cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为
6
cm.
5.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确的是（
B
）
A.CE=DE
B.AE=OE
C.=
D.△OCE≌△ODE
知识点3
垂径定理的推论
6.下列说法正确的是（
C
）
A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.弦的垂直平分线经过圆心
D.垂直于直径的弦平分这条直径
7.如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（
D
）
A.AB⊥CD
B.∠AOD=∠BOD
C.=
D.PO=PD
课时作业
1.下列命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③平分弦的直径垂直于弦.其中真命题是
①②
.
2.
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为
5
.
3.如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（3，-1），AB=2，则⊙P的半径为
2
.
【解析】如图，连接AP，过点P作PC⊥x轴于点C，CP=1.由垂径定理得AC=.在Rt△ACP中，由勾股定理得AC2+CP2=AP2，解得AP=2.
4.如图，⊙O的直径为10
cm，弦AB=8
cm，P是弦AB上一动点，那么OP的长的取值范围是
3≤OP≤5
cm
.
5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（
B
）
A.
B.2
C.6
D.8
【解析】根据题意得OE=OA-AE=4-1=3，CE=ED==，
∴CD=2CE=2.故选B.
6.
如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB于D，若OD＝2，AB＝8，则CD的长是（
C
）
A.6
B.5
C.4
D.3
7.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（
C
）
A.2
B.4
C.4
D.8
【解析】∵OC=OA，∴∠OCA=∠A=22.5°.∴∠COE=45°.
∵AB⊥CD，∴∠OCE=90°-45°=45°.
∴△COE是等腰直角三角形.
∴OE=CE，由勾股定理得2CE2=OC2=16，
解得CE=2.∴CD=2CE=4.故选C.
8.【核心素养·问题解决】如图，圆柱形水管内原有积水的水面宽CD=20
cm，水深GF=2
cm.若水面上升2
cm（EG=2
cm），则此时水面宽AB为多少？
解：如图，连接OA，OC.设⊙O的半径为r.
∵CD=20，∴CG=DG=10.
在Rt△OCG中，由勾股定理，得
r2=102+（r-2）2，解得r=26.
在Rt△OAE中，由勾股定理，得
r2=AE2+（r-4）2，解得AE=8.
∴AB=2AE=16.
答：此时水面宽AB为16cm.
9.【核心素养·问题解决】有一个半径为5
m的排水管，水面宽度为8
m，求此时水的最大深度.
解：如图①，连接OA，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，
∴AD=AB=4
.
在Rt△AOD中，OD==3
.
∴水深CD=OC
-OD=2；
如图②，连接OA，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，延长CO交⊙O于点E，
∴AD=AB=4
.
在Rt△AOD中，OD==3.
∴水深DE=OD+OE=8.
综上可知此时水的最大深度为2
m或8
m.
10.
如图，正三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2
cm，求正三角形ABC的边长.
解：如图，过点O作OD⊥BC于点D，连接BO.
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O既是三角形内心也是外心.
∴∠OBD＝30°.
∵⊙O的半径为2
，即OB＝2，
∴OD＝OB＝1.
根据勾股定理，得BD＝＝.
∵OD⊥BC，∴点D是BC的中点.
∴BC＝2BD＝2.
∴正三角形ABC的边长是2
cm.24.1.2垂直于弦的直径
课前预习
1.圆是
图形，任何一条
所在的直线都是圆的
.
2.垂直于弦的
平分弦，并且平分弦所对的两条
.
3.平分
的直径垂直于
，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心
.
课堂练习
知识点1
圆的对称性
1.下列说法正确的是（
）
A.圆的对称轴是一条直径
B.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
C.与半径垂直的直线是圆的对称轴
D.垂直于弦的直线是圆的对称轴
2.经过圆心的对称轴有（
）
A.1条
B.2条
C.3条
D.无数条
知识点2
垂径定理
3.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长为
.
4.半径为6
cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为
cm.
5.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确的是（
）
A.CE=DE
B.AE=OE
C.=
D.△OCE≌△ODE
知识点3
垂径定理的推论
6.下列说法正确的是（
）
A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.弦的垂直平分线经过圆心
D.垂直于直径的弦平分这条直径
7.如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（
）
A.AB⊥CD
B.∠AOD=∠BOD
C.=
D.PO=PD
课时作业
1.下列命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③平分弦的直径垂直于弦.其中真命题是
.
2.
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为
.
3.如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（3，-1），AB=2，则⊙P的半径为
.
4.如图，⊙O的直径为10
cm，弦AB=8
cm，P是弦AB上一动点，那么OP的长的取值范围是
cm
.
5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（
）
A.
B.2
C.6
D.8
6.
如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB于D，若OD＝2，AB＝8，则CD的长是（
）
A.6
B.5
C.4
D.3
7.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（
）
A.2
B.4
C.4
D.8
8.【核心素养·问题解决】如图，圆柱形水管内原有积水的水面宽CD=20
cm，水深GF=2
cm.若水面上升2
cm（EG=2
cm），则此时水面宽AB为多少？
9.【核心素养·问题解决】有一个半径为5
m的排水管，水面宽度为8
m，求此时水的最大深度.
10.
如图，正三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2
cm，求正三角形ABC的边长.
