24.1.3弧、弦、圆心角
课前预习
1.圆既是
轴对称
图形，又是
中心对称
图形，还具有
旋转
不变性，即绕圆心旋转任意角度都能与它自身重合.
2.顶点在
圆心
的角叫做圆心角.圆弧的度数是指圆弧所对
圆心角
的度数.
3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的
弦
也相等.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等
.
课堂练习
知识点1
圆心角
1.下图中∠ACB是圆心角的是（
B
）
2.在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆心角的度数为（
C
）
A.120°
B.90°
C.60°
D.30°
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB，AC于点D，E，则所对圆心角的度数为（
B
）
A.28°
B.56°
C.64°
D.124°
知识点2
弦、弧、圆心角之间的关系
4.如图，在⊙O中，=，∠AOB与∠COD的关系是
∠AOB=∠COD
.
5.如图，在⊙O中，∠1=∠2，则下列结论不一定成立的是（
D
）
A.=
B.∠BOD=∠AOC
C.DB=CA
D.=3
6.在同圆或等圆中，下列说法错误的是（
A
）
A.相等的弦所对的弧相等
B.相等的弦所对的圆心角相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.相等的圆心角所对的弦相等
【解析】要注意同一条弦所对的弧有优弧和劣弧.
课时作业
1.如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转n°得到，则的度数为
20°
.
2.如图，已知BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，=，∠AOB=60°，则∠COD的度数是
120°
.
【解析】∵=，∴∠AOB=∠BOC=60°.又∵∠BOC+∠COD=180°，∴∠COD=120°.
3.如图，已知在⊙O中，=，且∶=3∶4，则∠AOC=
144°
.
4.如图，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则与的大小关系是
相等
.
5.如图，AB，CD是⊙O的直径，=，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（
C
）
A.32°
B.60°
C.64°
D.68°
6.已知AB与A′B′分别是⊙O与⊙O′中的两条弦，AB=A′B′，那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是（
D
）
A.∠AOB=∠A′O′B′
B.∠AOB>∠A′O′B′
C.∠AOB<∠A′O′B′
D.不能确定
7.在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（
D
）
A.10
B.4
C.10或4
D.10或2
如图，在⊙O中，AB=CD.
求证：（1）=；
（2）∠AOC=∠BOD.
证明：（1）∵AB=CD，∴=.
∴-=-，即=；
（2）∵=，∴∠AOC=∠BOD.
9.如图，AB是⊙O的直径，=，∠COD=60°.
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD.
（1）解：△AOC是等边三角形.
理由如下：∵=，
∴∠AOC=∠COD=60°.
又∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形；
（2）证明：由（1）得∠BOD=180°-（∠AOC+∠COD）=60°.
又∵OD=OB，∴△BOD是等边三角形.
∴∠ODB=60°.∴∠ODB=∠COD.
∴OC∥BD.
10.如图，已知AB为圆O的直径，M，N分别为OA，OB中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.求证：=.
证明：如图，连接OC，OD，则OC=OD.
∵OA=OB，且OM=OA，ON=OB，
∴OM=ON.∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO=∠DNO=90°.
在Rt△CMO
和
Rt△DNO中，
∴Rt△CMO
≌Rt△DNO（HL）.
∴∠AOC=∠BOD.
∴=.
11.如图，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则劣弧所对的圆心角等于（
C
)
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
12.【核心素养·信息意识】把一张圆形纸片按照如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（
C
)
A.120°
B.135°
C.150°
D.165°
【解析】如图所示，连接BO，过点O作OE⊥AB于点E.
由题意得EO=BO，可得∠EBO=30°.∵AB∥DC，∴∠BOD=30°.∴∠BOC=180°-30°=150°.∴的度数是150°.故选C.24.1.3弧、弦、圆心角
课前预习
1.圆既是
图形，又是
图形，还具有
不变性，即绕圆心旋转任意角度都能与它自身重合.
2.顶点在
的角叫做圆心角.圆弧的度数是指圆弧所对
的度数.
3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的
也相等.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别
.
课堂练习
知识点1
圆心角
1.下图中∠ACB是圆心角的是（
）
2.在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆心角的度数为（
）
A.120°
B.90°
C.60°
D.30°
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB，AC于点D，E，则所对圆心角的度数为（
）
A.28°
B.56°
C.64°
D.124°
知识点2
弦、弧、圆心角之间的关系
4.如图，在⊙O中，=，∠AOB与∠COD的关系是
.
5.如图，在⊙O中，∠1=∠2，则下列结论不一定成立的是（
）
A.=
B.∠BOD=∠AOC
C.DB=CA
D.=3
6.在同圆或等圆中，下列说法错误的是（
）
A.相等的弦所对的弧相等
B.相等的弦所对的圆心角相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.相等的圆心角所对的弦相等
课时作业
1.如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转n°得到，则的度数为
.
2.如图，已知BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，=，∠AOB=60°，则∠COD的度数是
.
3.如图，已知在⊙O中，=，且∶=3∶4，则∠AOC=
.
4.如图，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则与的大小关系是
.
5.如图，AB，CD是⊙O的直径，=，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（
）
A.32°
B.60°
C.64°
D.68°
6.已知AB与A′B′分别是⊙O与⊙O′中的两条弦，AB=A′B′，那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是（
）
A.∠AOB=∠A′O′B′
B.∠AOB>∠A′O′B′
C.∠AOB<∠A′O′B′
D.不能确定
7.在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（
）
A.10
B.4
C.10或4
D.10或2
如图，在⊙O中，AB=CD.
求证：（1）=；
（2）∠AOC=∠BOD.
9.如图，AB是⊙O的直径，=，∠COD=60°.
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD.
10.如图，已知AB为圆O的直径，M，N分别为OA，OB中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.求证：=.
11.如图，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则劣弧所对的圆心角等于（
)
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
12.【核心素养·信息意识】把一张圆形纸片按照如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（
)
A.120°
B.135°
C.150°
D.165°
