24.1.4圆周角
第1课时
圆周角定理及推论
课前预习
1.顶点在
圆上
，并且两边都与圆
相交
的角叫做圆周角.
2.同弧或等弧所对的
圆周角
相等，都等于它所对的
圆心角
的
一半
.
3.半圆（或直径）所对的圆周角是
直角
，90°的圆周角所对的弦是
直径
.
注意：在一个圆中，一条弦对
两
条弧，这两条弧所对的圆周角
相等
或
互补
，故同弦或等弦所对的圆周角不一定相等.
课堂练习
知识点1
圆周角
1.下列四个图中，∠x是圆周角的是（
C
）
知识点2
圆周角定理
2.如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=30°，则∠AOB的度数是
60°
.
3.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC=
29
°.
4.如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB=50°，若P为上一点，∠AOP=55°，则∠POB的度数是
45°
.
知识点3
圆周角定理的推论
5.下列说法中不正确的是
（2）（3）（4）
.
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）90°角所对的弦是直径；（4）直径所对的角等于90°.
6.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在线段OA上运动.设∠BCP=α，则α的最大值是
90°
.
7.如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径长是
.
课时作业
1.
如图，BD为⊙O的直径，∠A＝30°，BC＝1.5
cm，则⊙O的半径是
1.5
cm.
2.如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的度数是
60°
.
3.如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连接AF，则∠DFA=
30°
.
4.如图，在
⊙O中，OA⊥BC，∠CDA=25°，则∠AOB的度数为
50°
.
5.如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（
C
）
A.
B.2
C.2
D.4
6.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（
C
）
A.30°
B.50°
C.60°
D.70°
【解析】如图，连接BD.∵∠ACD=30°，∴∠ABD=30°.∵AB为直径，∴∠ADB=90°.∴∠BAD=90°-∠ABD=60°.故选C.
7.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（
C
）
A.6
B.5
C.8
D.5
【解析】根据题意重新作图，如图所示，则OD=OC=OA=5.∵AD是直径，则∠DCA=90°，在Rt△DCA中，DC=6，AD=10，则AB=AC=8.故选C.
8.
如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，求∠BOC的度数.
解：∵OA＝OB，∠BAO＝25°，
∴∠B＝∠BAO＝25°.
∵AC∥OB，
∴∠CAB＝∠B＝25°.
∴∠BOC＝2∠CAB＝50°.
9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ACD=30°，AE=2
.求BD的长.
解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°.
∵∠ACD=30°，
∴∠B=30°.
在Rt△ACE中，AC=2AE=4，
∴CE==2.
∴DE=2.
在Rt△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=4.
10.如图，P是⊙O外一点，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB=60°，PA，PB分别交于M，N两点，则∠APB的范围是
0°＜∠APB＜30°
.
【解析】如图，连接AN.∵∠AOB=60°，∴∠ANB=30°.∵∠ANB=∠P+∠PAN，∴∠P＜30°.∴∠APB的范围是0°＜∠APB＜30°.
11.已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为
30°或150°
.
12.如图，已知点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，OD，BC和OD交于点E.则下列结论：①∠CBA=30°；②OD⊥BC；③四边形AODC是菱形；④OE=AC.其中正确的个数为（
D
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】如图，连接OC，CD.∵点C，D是半圆上的三等分点，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°.∴∠CBA=∠AOC=30°.故①正确；∵∠CBA=30°，∠DOB=60°，∴∠OEB=90°.∴OD⊥BC.故②正确；∵∠AOC=∠COD=60°，OA=OC=OD，∴△AOC和△COD是等边三角形.∴OA=OD=DC=CA.即四边形AODC是菱形.故③正确；在等边△COD中，∵OD⊥BC，∴OE=ED=OD.∴OE=AC.故④正确.综上可知正确的个数有4个，故选D.24.1.4圆周角
第1课时
圆周角定理及推论
课前预习
1.顶点在
，并且两边都与圆
相交
的角叫做圆周角.
2.同弧或等弧所对的
相等，都等于它所对的
的
.
3.半圆（或直径）所对的圆周角是
，90°的圆周角所对的弦是
.
注意：在一个圆中，一条弦对
条弧，这两条弧所对的圆周角
或
，故同弦或等弦所对的圆周角不一定相等.
课堂练习
知识点1
圆周角
1.下列四个图中，∠x是圆周角的是（
）
知识点2
圆周角定理
2.如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=30°，则∠AOB的度数是
.
3.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC=
°.
4.如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB=50°，若P为上一点，
∠AOP=55°，则∠POB的度数是
.
知识点3
圆周角定理的推论
5.下列说法中不正确的是
.
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）90°角所对的弦是直径；（4）直径所对的角等于90°.
6.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在线段OA上运动.设∠BCP=α，则α的最大值是
.
7.如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径长是
.
课时作业
1.
如图，BD为⊙O的直径，∠A＝30°，BC＝1.5
cm，则⊙O的半径是
cm.
2.如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的度数是
.
3.如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连接AF，则∠DFA=
.
4.如图，在
⊙O中，OA⊥BC，∠CDA=25°，则∠AOB的度数为
.
5.如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（
）
A.
B.2
C.2
D.4
6.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（
）
A.30°
B.50°
C.60°
D.70°
7.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（
）
A.6
B.5
C.8
D.5
8.
如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，求∠BOC的度数.
9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ACD=30°，AE=2
.求BD的长.
10.如图，P是⊙O外一点，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB=60°，PA，PB分别交于M，N两点，则∠APB的范围是
.
11.已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为
.
12.如图，已知点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，OD，BC和OD交于点E.则下列结论：①∠CBA=30°；②OD⊥BC；③四边形AODC是菱形；④OE=AC.其中正确的个数为（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
