24.2.2
直线和圆的位置关系
第3课时
切线长定理和三角形的内切圆
课前预习
1.经过圆外一点作圆的
，这点和切点之间线段的长，叫做这个点到圆的
.
2.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长
，这一点和圆心的连线
两条切线的夹角.
3.与三角形的三边都
的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条
的交点，叫做三角形的
.
课堂练习
知识点1
切线长定理
1.如图，过⊙O外一点A引切线AB，AC，B，C分别为切点，若∠BAC=60°，AB=8
cm，则BC的长是
cm.
2.如图，⊙O切△ABC的边BC于点D，切AB，AC的延长线于点E，F，若
△ABC的周长为18，则AE=
.
知识点2
三角形内切圆
3.下列关于三角形内心的说法正确的是（
）
A.内心是三角形三条角平分线的交点
B.内心是三角形三条边的中垂线的交点
C.内心到三角形三个顶点的距离相等
D.钝角三角形的内心在三角形外
4.如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB为（
）
A.180°
B.150°
C.120°
D.90°
5.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（
）
A.
B.2
C.2
D.4
课时作业
1.如图，⊙O的半径为3
cm，点P到圆心的距离为6
cm，经过点P引⊙O的两条切线，这两条切线的夹角为
.
2.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=38°，则∠P=
°.
3.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PO=6，则切线PC的长为
.
4.如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上的两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是
.
5.如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB=40°，则下列说法不正确的是（
）
A.PA=PB
B.∠APO=20°
C.∠OBP=70°
D.∠AOP=70°
6.
如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和点B是切点，AC是⊙O的直径，
∠P=40°，则∠ACB的大小是（
）
A.40°
B.60°
C.70°
D.80°
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.若AD=10，BC=5，则OB的长为（
）
A.
B.
C.4
D.3
8.如图，过⊙O外一点B作⊙O的切线BM，M为切点.BO交⊙O于点A，过点A作BO的垂线，交BM于点P，BO=3，⊙O半径为1.求MP的长.
9.如图，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，
∠A，∠ABC，∠ACB所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是
.24.2.2
直线和圆的位置关系
第3课时
切线长定理和三角形的内切圆
课前预习
1.经过圆外一点作圆的
切线
，这点和切点之间线段的长，叫做这个点到圆的
切线长
.
2.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长
相等
，这一点和圆心的连线
平分
两条切线的夹角.
3.与三角形的三边都
相切
的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条
角平分线
的交点，叫做三角形的
内心
.
课堂练习
知识点1
切线长定理
1.如图，过⊙O外一点A引切线AB，AC，B，C分别为切点，若∠BAC=60°，AB=8
cm，则BC的长是
8
cm.
2.如图，⊙O切△ABC的边BC于点D，切AB，AC的延长线于点E，F，若△ABC的周长为18，则AE=
9
.
知识点2
三角形内切圆
3.下列关于三角形内心的说法正确的是（
A
）
A.内心是三角形三条角平分线的交点
B.内心是三角形三条边的中垂线的交点
C.内心到三角形三个顶点的距离相等
D.钝角三角形的内心在三角形外
4.如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB为（
D
）
A.180°
B.150°
C.120°
D.90°
5.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（
C
）
A.
B.2
C.2
D.4
【解析】如图，根据题意，可知△ABC是等边三角形，∴∠OBF=30°.在Rt△OBF中，∵OF=1，∴OB=2.∴BF===.∴正三角形ABC的边长BC=2BF=2.故选C.
课时作业
1.如图，⊙O的半径为3
cm，点P到圆心的距离为6
cm，经过点P引⊙O的两条切线，这两条切线的夹角为
60°
.
2.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=38°，则∠P=
76
°.
3.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PO=6，则切线PC的长为
3
.
【解析】如图，连接OC.∵OA=OC，∠A=30°，∴∠OCA=30°.∴∠COB=60°.∵PC为⊙O的切线，PO=6，∴∠OCP=90°，∠P=30°.∴OC=3.在Rt△OCP中，由勾股定理得CP=3.
4.如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上的两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是
99°
.
【解析】∵∠E=46°，根据题意知EB=EC，∴∠ECB==67°.∵∠DCF=32°，根据平角定义，得∠BCD=180°-∠ECB
-∠DCF=81°.∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠A=180°-81°=99°.故答案为99°.
5.如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB=40°，则下列说法不正确的是（
C
）
A.PA=PB
B.∠APO=20°
C.∠OBP=70°
D.∠AOP=70°
6.
如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和点B是切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠ACB的大小是（
C
）
A.40°
B.60°
C.70°
D.80°
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.若AD=10，BC=5，则OB的长为（
B
）
A.
B.
C.4
D.3
【解析】连接OD，OF，OE.
设BE=x，则EC=5-x.
在Rt△ABC中，
AC2+BC2=AB2，
即（10+5-x）2+52=（10+x）2，解得x=3.根据Rt△ABC的面积计算方法，得AC×BC=OE×（AB+BC+AC），即×12×5=×OE×（13+5+12）.解得OE=2.在Rt△BOE中，∵OE=2，BE=3.解得OB=.故选B.
8.如图，过⊙O外一点B作⊙O的切线BM，M为切点.BO交⊙O于点A，过点A作BO的垂线，交BM于点P，BO=3，⊙O半径为1.求MP的长.
解：如图，连接OM，则OM⊥BM.
在Rt△BOM中，
∵OM=OA=1，BO=3，
∴BM=2，AB=2.
∵AP⊥OB.∴AP是⊙O的切线.
∵PM是圆的切线，∴PA=PM.
在Rt△APB中，设AP=x，则PB=2-x.
根据勾股定理，得（2-x）2=x2+4.
解得x=.∴MP=.
9.如图，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠ABC，∠ACB所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是
2
.
【解析】如图，过点O作OE⊥BC，OD⊥AC，垂足分别为点E，D.根据题意，得AF=AD，BE=BF，CE=CD.易得四边形OECD是正方形，即OE=OD=CE=CD.所以AB+BF=AC+CD，即5+3-OE=4+OE，解得OE=2.
