24.4
弧长和扇形面积
第2课时
圆锥的侧面积和全面积
课前预习
1.圆锥是由一个
和一个
围成的几何体，圆锥的侧面展开图是一个
，连接顶点与
的线段叫做圆锥的高，连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的
，母线长与侧面展开扇形的
相等，圆锥的底面圆周长等于侧面展开扇形的
，圆锥的全面积=底面圆面积+
.
注意：圆锥的母线都
；圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥底面圆的半径r恰好构成一个直角三角形，满足
.
课堂练习
知识点
圆锥的侧面积与展开图
1.如图，圆锥的侧面展开图是半径为3
cm，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面圆面积为
.
2.若一个圆锥的底面圆的周长是5π
cm，母线长是6
cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是
.
3.如图1，底面半径为1，母线长为4的圆锥展开后得到图2，在图1中，一只小蚂蚁若从点A出发，绕侧面一周又回到点A，根据展开图求出蚂蚁爬行的最短路线长为
.
4.
如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为
cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).
课时作业
1.用半径为10，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为
.
2.已知Rt△ABC的两直角边AC=5
cm，BC=12
cm，则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为
cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为
cm.
3.若圆锥的底面半径为4
cm，全面积为S
cm2，母线长为x
cm，则S与x的函数关系式为
，S随x的减小而
.
4.
若圆锥的底面积为9π
cm2，母线长为12
cm，则它的侧面展开图的圆心角度数为（
）
A.240°
B.180°
C.120°
D.90°
5.
一个圆锥的底面直径是8
cm，母线长为9
cm，则圆锥的全面积为（
）
A.36π
cm2
B.52π
cm2
C.72π
cm2
D.136π
cm2
6.【核心素养·问题解决】如图，圆锥形的烟囱帽底面半径为15
cm，母线长为20
cm，烟囱的半径为10
cm，长为30
cm，制作这样一个烟囱所需要的铁皮面积至少是（
）
A.300π
cm2
B.900π
cm2
C.600π
cm2
D.900
cm2
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，若以AC为底面圆半径、BC为高的圆锥的侧面积为S1，以BC为底面圆半径、AC为高的圆锥的侧面积为S2，则（
）
A.S1=S2
B.S1＞S2
C.S1＜S2
D.S1，S2的大小关系不确定
8.小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5
cm，弧长是8π
cm，那么这个圆锥的高是（
）
A.8
cm
B.6
cm
C.4
cm
D.3
cm
9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠BAD=120°，AB=AD=4，BC=6，以点A为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）.
（1）求这个扇形的面积；
（2）若将这个扇形围成圆锥，求这个圆锥的底面积.
10.已知圆锥的侧面积为12π.
（1）求圆锥的母线l关于底面半径r的函数关系式；
（2）当圆锥的全面积为16π时，求圆锥的侧面展开图的圆心角度数.
11.如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥.该圆锥的侧面展开图是扇形OAB，经测量，纸杯上开口圆的直径为6
cm，下底面的直径为4
cm，母线EF长为8
cm.求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积.（面积计算结果用π表示）24.4
弧长和扇形面积
第2课时
圆锥的侧面积和全面积
课前预习
1.圆锥是由一个
底面
和一个
侧面
围成的几何体，圆锥的侧面展开图是一个
扇形
，连接顶点与
底面圆心
的线段叫做圆锥的高，连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的
母线
，母线长与侧面展开扇形的
半径
相等，圆锥的底面圆周长等于侧面展开扇形的
弧长
，圆锥的全面积=底面圆面积+
侧面积
.
注意：圆锥的母线都
相等
；圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥底面圆的半径r恰好构成一个直角三角形，满足
r2+h2=l2
.
课堂练习
知识点
圆锥的侧面积与展开图
1.如图，圆锥的侧面展开图是半径为3
cm，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面圆面积为
π
.
2.若一个圆锥的底面圆的周长是5π
cm，母线长是6
cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是
150°
.
3.如图1，底面半径为1，母线长为4的圆锥展开后得到图2，在图1中，一只小蚂蚁若从点A出发，绕侧面一周又回到点A，根据展开图求出蚂蚁爬行的最短路线长为
4
.
【解析】根据题意可知，线段AA′的长度为蚂蚁爬行的最短路线长.设侧面展开扇形的圆心角为n°，则有2π×1=.解得n=90，即∠APA′=90°，∴AA′==4.
【方法技巧】立体图形的最短路线：解决这类最短路线问题一般要把立体图形展开为平面图形，进而利用“两点之间，线段最短”来确定路线，最后利用勾股定理等求出路线的长.
4.
如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为
300π
cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).
课时作业
1.用半径为10，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为
.
2.已知Rt△ABC的两直角边AC=5
cm，BC=12
cm，则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为
65π
cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为
10π
cm.
3.若圆锥的底面半径为4
cm，全面积为S
cm2，母线长为x
cm，则S与x的函数关系式为
S=4πx+16π
，S随x的减小而
减小
.
4.
若圆锥的底面积为9π
cm2，母线长为12
cm，则它的侧面展开图的圆心角度数为（
D
）
A.240°
B.180°
C.120°
D.90°
5.
一个圆锥的底面直径是8
cm，母线长为9
cm，则圆锥的全面积为（
B
）
A.36π
cm2
B.52π
cm2
C.72π
cm2
D.136π
cm2
6.【核心素养·问题解决】如图，圆锥形的烟囱帽底面半径为15
cm，母线长为20
cm，烟囱的半径为10
cm，长为30
cm，制作这样一个烟囱所需要的铁皮面积至少是（
B
）
A.300π
cm2
B.900π
cm2
C.600π
cm2
D.900
cm2
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，若以AC为底面圆半径、BC为高的圆锥的侧面积为S1，以BC为底面圆半径、AC为高的圆锥的侧面积为S2，则（
B
）
A.S1=S2
B.S1＞S2
C.S1＜S2
D.S1，S2的大小关系不确定
【解析】S1=×底面周长×母线长=×2π×AC×AB，S2=×2π×BC×AB.∵AC＞BC，∴.S1＞S2.故选B.
8.小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5
cm，弧长是8π
cm，那么这个圆锥的高是（
D
）
A.8
cm
B.6
cm
C.4
cm
D.3
cm
9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠BAD=120°，AB=AD=4，BC=6，以点A为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）.
（1）求这个扇形的面积；
（2）若将这个扇形围成圆锥，求这个圆锥的底面积.
解：（1）如图，过点A作AE⊥BC与点E.由∠BAD=120°得，∠BAE=30°，
∴AE===2.
∵∠BAD=120°，∴S扇形==4π；
（2）设圆锥的底面半径为r，
∴2πr=.解得r=.
∴S底面=π·（）2=.
10.已知圆锥的侧面积为12π.
（1）求圆锥的母线l关于底面半径r的函数关系式；
（2）当圆锥的全面积为16π时，求圆锥的侧面展开图的圆心角度数.
解：（1）根据题意，得12π=l·2πr.
∴l=；
（2）∵圆锥的侧面积为12π，圆锥的全面积为16π，
∴圆锥的底面积为16π-12π=4π.
∴圆锥的底面半径r=2.
∴圆锥的母线长l==6.
∴=12π，解得n=120.即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为120°.
11.如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥.该圆锥的侧面展开图是扇形OAB，经测量，纸杯上开口圆的直径为6
cm，下底面的直径为4
cm，母线EF长为8
cm.求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积.（面积计算结果用π表示）
解：根据题意，得=6π，=4π.
设∠AOB=n°，AO=R
cm，则CO=（R-8）cm.
由弧长公式，得
解得∴∠AOB=45°.
∴AO=24，CO=16.
∴S侧面积=S扇形OAB
-
S扇形OCD=72π-32π=40π（cm2）.
∴S底面积=π·22=4π（cm2）.
∴S表面积=S侧面积+S底面积=44π（cm2）.
