2021—2022学年苏科版九年级数学上册2.7弧长及扇形的面积 同步专题提升训练（word版含答案）

2021年苏科版九年级数学上册《2.7弧长及扇形的面积》同步专题提升训练（附答案）
1．如图，?ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
3．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝3，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以A、B为圆心，AD、BC为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分图形的周长之和为（　　）
A．2+π B．4+π C．4+2π D．4+4π
6．如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE、OF和上，且点A是线段OB的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（　　）
A．10cm B．4πcm C． D．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（　　）
A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．20π﹣24
9．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（　　）
A．π B．π+ C． D．2π
10．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，正方形ABCD边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为S1和S2，则S1﹣S2等于（　　）
A．﹣1 B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣
12．如图，已知所在圆的半径为5，所对弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，线段PB扫过的面积是（　　）
A．8π B．9π C．10π D．11π
13．如图，已知某一条传送带的转动轮的半径为30厘米．如果该转动轮转动120°，那么传送带上的物品A被传送　 　厘米．（结果保留π）
14．如图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，两个传送轮中心的距离是10m，求这条传送带的长　 　米．
15．如图，在正方形ABCD中，扇形BAD的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于O，连接AO．则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留π）
16．扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为150°．AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为　 　cm2．
17．在平行四边形ABCD中，P为AB上一点，BP＝3，BC＝3，∠A＝60°，以B为圆心，BP为半径画弧与CD交于点E，并刚好经过C点，则阴影部分面积为　 　（结果保留π）．
18．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）证明：FA＝FB；
（2）若BD＝DO＝2，求的长度．
19．如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，，过点C作CD∥AB交BE的延长线于D，AD交⊙O于点F．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，求劣弧的长．
20．如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连接PA，PB，分别交⊙O于点C，D，＝．
（1）求证：PA＝PB；
（2）若∠P＝60°，＝3．△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．
22．如图，已知AB，CD为⊙O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为的中点，连接BC，BE．
（1）求证：AE＝BC；
（2）若AE＝2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠B＝70°，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝70°，
∴∠AOE＝∠B+∠OEB＝70°+70°＝140°，
∵AB＝2，AB为⊙O的直径，
∴OA＝OB＝OE＝1，
∴的长为：＝，
故选：C．
2．解：由题意可知：AE＝AD＝BC＝2，
在Rt△ABE中，sin∠AEB＝＝＝，
∴∠AEB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝60°，
l＝＝＝，
故A、B、D错误，
故选：C．
3．解：连接AC，
由勾股定理得：AC＝＝，
则AE＝AF＝AC＝，
∵AB是小正方形的对角线，
∴∠EAF＝45°，
∴的长度是＝，
故选：A．
4．解：连接AC、AF，
由旋转的性质可知，BC＝EF，AB＝AE，
∵DE＝EF，
∴DE＝BC＝AD，
在Rt△ADE中，DE＝AD，
∴∠DAE＝45°，AE＝＝3，
∴∠EAB＝90°﹣45°＝45°，即旋转角为45°，
∴∠FAC＝45°，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝9，
∴的长＝＝，
故选：A．
5．解：设∠A＝n°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝180°﹣n°，BC＝AD＝2，
由题意得，AE＝AD＝2，BE＝BC＝2，
∴图中阴影部分图形的周长之和＝的长+的长+CD＝+4+＝2π+4，
故选：C．
6．解：连接OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°＝∠DAO，
∵A为OB的中点，
∴OB＝2AB＝4，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝＝＝2，
∵A为OB的中点，AB＝AD＝2，
∴OA＝AD＝2，
∵∠DAO＝90°，
∴∠DOA＝∠ADO＝45°，
∴的长为＝π，
故选：D．
7．解：点A以B为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1；A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到，
∵∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝＝5cm，CA1＝3cm，
∴点A翻滚到A2位置时共走过的路径长＝+＝π（cm）．
故选：C．
8．解：连接AD，OE
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠CDF＝∠DAC，
∵∠CDF＝15°，
∴∠DAC＝15°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°，
∴∠AOE＝120°，
作OH⊥AE于H，
在Rt△AOH中，OA＝4，
∴OH＝sin30°×OA＝2，
AH＝cos30°×OA＝6，
∴AE＝2AH＝12，
∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝＝16．
故选：A．
9．解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′，
当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″，
∴点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，
在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC＝，CD＝1，
∴tan∠DBC＝，
∴∠DBC＝30°，
∴∠CBC″＝60°，
∵BC＝BC''
∴△BCC''为等边三角形，
∴S扇形BC′C″＝＝π，
作C''F⊥BC于F，
∵△BCC''为等边三角形，
∴BF＝，
∴C''F＝tan60°×＝，
∴S△BCC''＝，
∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+．
故选：B．
10．解：过O作OE⊥AB于E，
∵OA＝OB，
∴AE＝BE＝AB，∠AOE＝∠AOB＝＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝OA＝，AE＝OA＝3，
∴AB＝6，
∵CO⊥OA，
∴∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣90°＝30°，
∴∠OBA＝∠COB，
∴OD＝BD，
设OD＝BD＝x，则DE＝3﹣x，
在Rt△DEO中，由勾股定理得：DE2+OE2＝DO2，
即（3﹣x）2+（）2＝x2，
解得：x＝2，
即OD＝BD＝2，
∴阴影部分的面积S＝S△AOD+S扇形COB﹣S△BOD
＝×（6﹣2）×+﹣＝+π，故选：B．
11．解：如图：正方形的面积＝S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积＝2S1+S3+S4；②
②﹣①，得：S1﹣S2＝2S扇形﹣S正方形＝﹣1＝﹣1．
故选：A．
12．解：设所在圆的圆心为O，连接OP、OA、AP、AP′、AB′，
∵点P是的中点，
∴OP⊥AB，AM＝BM＝AB＝4，
∴OM＝＝3，
∴PM＝5﹣3＝2，
∴PA＝＝＝2，
∴线段PB扫过的面积＝S扇形ABB′﹣S扇形APP′＝﹣＝16π﹣5π＝11π，
故选：D．
13．解：根据弧长公式可知，
传送带上的物品A被传送的距离为＝20π（厘米），
故答案为20π．
14．解：从图中可知：两圆的直径是3cm，
∵两个传送轮中心的距离是10m，
∴这条传送带的长是π×3+10+10＝（3π+20）米，
故答案为：3π+20．
15．解：如图，
∵AB是直径，
∴∠AOB＝90°，
∴AO⊥BD，
∵AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，
∴OD＝OA＝OB，
∴S弓形OA＝S弓形OB，
∴阴影部分面积＝S扇形ABD﹣S△ADC＝π×42﹣＝4π﹣8，
故答案为4π﹣8．
16．解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，
∴AD＝10cm，
∵∠BAC＝150°，
∴扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE
＝﹣
＝π（cm2）．
故答案为π．
17．解：如图，作BH⊥CD于H，
在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，∠BCD＝∠A＝60°，
∵BE＝BC＝3，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，CE＝BC＝BE＝3，
∴BH＝，
∴图中阴影部分的面积＝﹣×3×＝﹣，
故答案为：﹣．
18．（1）证明：∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°；
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD＝90°；
∵＝，
∴∠C＝∠ABE，
∴∠AGB＝∠CAD，
∵∠C＝∠BAD
∴∠BAD＝∠ABE
∴FA＝FB．
（2）解：如图，连接AO、EO，
，
∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，
∴AB＝AO，
∵AO＝BO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵＝，
∴∠AOE＝60°，
∴∠EOC＝60°，
∴的长度＝＝π．
19．（1）证明：∵，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∵BE是⊙O的直径，
∴，
∴AB＝BC＝CD，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵∠AOF＝3∠FOE，
设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，
∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝（180﹣3x）°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝2x，
∴∠ABC＝4x，
∵BC∥AD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴4x+2x+（180﹣3x）＝180，
x＝20°，
∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，
∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OF＝AF＝3，
∴的长＝＝．
20．（1）证明：连接OA，OC，OD，OB，作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP交⊙O于E．
∵＝，
∴AC＝BD，
∵OA＝OC＝OB＝OD，OM⊥AC，ON⊥BD，
∴CM＝AM，BN＝DN，∠OMC＝∠OND＝90°，
∴CM＝DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OM＝ON，
在Rt△POM和Rt△PON中，
，
∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），
∴PM＝PN，
∵AM＝BN，
∴PA＝PB．
（2）解：∵∠APB＝60°，∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴∠MON＝120°，
∵△POM≌△PON，
∴∠POM＝∠PON＝60°，
∵＝3，
∴∠COE＝3∠COM，
∴∠COM＝15°，
∴∠AOC＝2∠COM＝30°，
过点A作AJ⊥OC于J．设OA＝OB＝R，则AJ＝R
∴S△AOC＝9，
∴?R??R＝9，
∴R＝6，
∴S阴＝S扇形AOC﹣S△AOC＝﹣9＝3π﹣9．
21．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE＝ED，
（2）解：连接CD，OD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，
∵OC⊥AD，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴OE＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝3π﹣．
22．（1）证明：连接BD，
∵AB，CD为⊙O的直径，
∴∠CBD＝∠AEB＝90°，
∵点B恰好为的中点，
∴＝，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABE＝90°﹣∠A，∠CDB＝90°﹣∠C，
∴∠ABE＝∠CDB，
∴＝，
∴AE＝BC；
（2）解：∵过点A作弦AE垂直于直径CD于F，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴∠A＝∠ABE，
∴∠A＝30°，
∴⊙O的半径为2．
（3）连接OE，
∵∠A＝30°，
∴∠EOB＝60°，
∴△EOB是等边三角形，
∵OB＝OE＝2，
∴S△EOB＝×2×＝，
∴S阴＝S扇形﹣S△EOB＝﹣＝﹣．