2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.2圆的对称性》同步专题提升训练（word版含答案）

2021年苏科版九年级数学上册《2.2圆的对称性》同步专题提升训练（附答案）
一．垂径定理
1．如图，将一块等腰Rt△ABC的直角顶点C放在⊙O上，绕点C旋转三角形，使边AC经过圆心O，某一时刻，斜边AB在⊙O上截得的线段DE＝2cm，且BC＝7cm，则OC的长为（　　）
A．3cm B．cm C．cm D．2cm
2．如图，半径为10的⊙O中，弦AB＝16，P是弦AB所对优弧上的动点，连接AP，过A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是以PB为腰的等腰三角形时．线段BC的长度为　 　．
3．如图，两条互相垂直的弦将⊙O分成四部分，相对的两部分面积之和分别记为S1、S2，若圆心O到两弦的距离分别为4和6，则|S1﹣S2|＝　 　．
4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（4，a）（a＞4），半径为4，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2，则a的值是　 　．
5．如图，⊙O直径AB垂直于弦CD，垂足E是OB的中点，CD＝6cm，则直径AB＝　 　cm．
6．如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB＝，连接OC，CD⊥OC交⊙O于点D．则CD的最大值为　 　．
7．如图，以点P为圆心，以2为半径的圆弧与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为　 　．
8．如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径为　 　．
9．如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为E、F、G，连接EF，若OG＝2，则EF为　 　．
10．点P为⊙O内一点，若⊙O的直径是10，OP＝4，则过点P的最短的弦长是　 　．
11．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为　 　．
12．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为　 　．
13．如图，MN是⊙O的直径，矩形ABCD的顶点A、D在MN上，顶点B、C在⊙O上，若⊙O的半径为5，AB＝4，则AD边的长为　 　．
14．如图，A（1，0）、B（3，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为　 ．
15．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA＝2cm，∠AOB＝120°，⊙O上一动点P从A点出发，沿顺时针方向运动，当S△POA＝S△AOB时，PB＝　 　（不考虑点P与点B重合的情形）
16．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠C＝15°，AB＝6cm，则⊙O半径为　 　cm．
17．一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的顶点C恰好落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好落在量角器的圆弧上，且AB∥MN，若AB＝4，则量角器的直径MN＝　 　．
18．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OD⊥弦AB，垂足为C，连接CE，若OC＝3，△ACE的面积为12，则CD＝　 　．
19．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（0，2）、（0，﹣2），以点A为圆心，AB为半径作圆，⊙A与x轴相交于C、D两点，则CD的长度是　 　．
20．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出是哪条边，并求其长度；如果不存在，请说明理由．
21．如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON，如果AB＝CD，求证：OM＝ON．
22．如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE＝DF，
求证：（1）△OEF是等腰三角形．
（2）AC＝BD．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D．求AD的长．
二．垂径定理的应用
24．工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个槽孔的宽口AB的长度为（　　）
A．6mm B．8mm C．10mm D．5mm
25．如图是一个圆弧形隧道的截面，若路面AB宽为10m，高CD为7m，则此圆弧形隧道的半径OA＝　 　m．
26．某体育馆的圆弧形屋顶如图所示，最高点C到弦AB的距离是20m，圆弧形屋顶的跨度AB是80m，则该圆弧所在圆的半径为　 　m．
27．兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如右图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为　 　m．
28．如图是一个古代车轮的碎片，形状为圆环的一部分，为求其外原半径，连接外圆上的两点A，B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝8cm，AB＝48cm，则这个外圆半径为　 　cm．
29．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8cm，ON＝6cm．则该圆玻璃镜的直径是　 　cm．
30．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段公路的半径．
31．在汽车车轮修理厂，工人师傅常常用两个棱长相等的正方体卡住车轮．如图是其截面图（正方体棱长小于车轮半径）．
（1）若正方体之间的距离AB＝80cm，正方体棱长为20cm，求车轮半径；
（2）设正方体棱长为a，AB＝2b，请你推导求直径d的公式．
32．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面图；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝32cm，水最深处的地方高度为8cm，求这个圆形截面的半径．
三．圆心角、弧、弦的关系
33．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（　　）
A．25° B．30° C．50° D．65°
34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝AD B．BC＝CD C． D．∠BCA＝∠DCA
35．如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm，则⊙O的半径为 　 　cm．
36．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为　 　．
37．如图，有一圆经过△ABC的三个顶点，且弦BC的中垂线与相交于D点，若∠B＝74°，∠C＝46°，则的度数是　 　．
38．如图，在半径为6 cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝3；③∠AOB＝60°；④四边形ABOC是菱形，其中正确结论的序号是　 　．
39．如图，点O在∠APB的平分线PN上，以点O为圆心的⊙O分别交直线PN于点M、N，那么与相等吗？并说明理由．
40．已知，如图，OA，OB，OC是⊙O的半径，＝．点M，N分别是OA，OB的中点，求证：MC＝NC．
41．阅读以下内容，并回答问题：
若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形．
（1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是　 　命题（填“真”或“假”）；
（2）在△ABC中，已知∠C＝90°，△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对边的长分别为a、b、c，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（点C与点A、B不重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．求证：△ACE是奇异三角形．
参考答案
一．垂径定理
1．解：过O点作OM⊥AB，
∴ME＝DM＝1cm，
设MO＝h，CO＝DO＝x，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，
∴∠MAO＝45°，
∴AO＝h
∵AO＝7﹣x，
∴，
在Rt△DMO中，
h2＝x2﹣1，
∴2x2﹣2＝49﹣14x+x2，解得：x＝﹣17（舍去）或x＝3，
故选：A．
2．解：①当AB＝PB时，如图1，∵AB＝BP，
∴∠BAD＝∠P，
∵∠PAC＝90°，
∴∠BAC+∠BAP＝90°，∠P+∠C＝90°，
∴∠BAC＝∠C，
∴BC＝BA＝16．
②当PA＝PB时，
如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，
则PF⊥AB，
∴AF＝FB＝8，
在Rt△OFB中，OB＝10，FB＝8，
∴OF＝6，
∴FP＝16，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为16或，
故答案为：16或．
3．解：如图，作弦AB、CD关于O的对称弦，
根据图形可知阴影部分的面积减去空白部分的面积正好是中间的长方形的面积，
∵圆心到两弦的距离分别为4和6，
∴长方形的长是6+6＝12，宽是4+4＝8，面积为12×8＝96，
即|S1﹣S2|＝96，
故答案为：96．
4．解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵PE⊥AB，AB＝2，半径为4，
∴AE＝AB＝，PA＝4，
根据勾股定理得：PE＝＝＝1，
∵点A在直线y＝x上，
∴∠AOC＝45°，
∵∠DCO＝90°，
∴∠ODC＝45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝CD＝4，
∴∠PDE＝∠ODC＝45°，
∴∠DPE＝∠PDE＝45°，
∴DE＝PE＝1，
∴PD＝．
∵⊙P的圆心是（4，a），
∴a＝PD+DC＝+4．故答案为：4+．
5．解：连接OC，
∵AB⊥CD，CD＝6cm，
∴CE＝CD＝3cm，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝，
在Rt△OCE中，
OC2＝OE2+CE2，即r2＝32+（）2，解得r＝2，
∴AB＝2r＝4．
故答案为：4．
6．解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠OCD＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时OC＝，
∴CD的最大值为＝AB＝．
故答案为．
7．解：作PC⊥AB于C，如图，
∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），
∴OA＝2，OB＝6，
∴AB＝OB﹣OA＝4，
∵PC⊥AB，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△PAC中，∵PA＝2，AC＝2，
∴PC＝＝4，
∵OC＝OA+AC＝4，
∴P点坐标为（4，4）．故答案为（4，4）．
8．解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC＝R，OM＝5﹣R，
∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD＝2，
∴CM＝DM＝，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，
R2＝（5﹣R）2+（）2，
解得R＝3．故答案为3．
9．解：连接OA，如图，
∵OG⊥AC，
∴AG＝CG，
在Rt△AOG中，OG＝2，OA＝5，
∴AG＝＝，
∴AC＝2AG＝2，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴AE＝BE，CF＝BF，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF＝AC＝．
故答案为．
10．解：如图，AB为⊙的直径，AB＝10，
过P点作弦CD⊥AB，则CD为过点P的最短弦，
连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CP＝DP，
在Rt△OCP中，OC＝5，OP＝4，
∴CP＝＝3，
∴CD＝2CP＝6．
故答案为6．
11．解：过O作OM⊥AB于M，此时线段OM的长最短，连接OA，
∵OM过O，OM⊥AB，
∴AM＝AB＝×8＝4，
在Rt△AMO中，由勾股定理得：OM＝＝＝3，
故答案为：3．
12．解：连接OB，OC，作CH垂直AB于H．
根据垂径定理，得到BE＝AB＝4，CF＝CD＝3，
∴OE＝＝＝3，
OF＝＝＝4，
∴CH＝OE+OF＝3+4＝7，
BH＝BE+EH＝BE+CF＝4+3＝7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC＝7，
则PA+PC的最小值为．
故答案为：
13．解：
连接OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠BAO＝∠CDO＝90°，
∵OB＝5，
∴AO＝＝3，
同理DO＝3，
∴AD＝3+3＝6，
故答案为：6．
14．解：连接MD，如图，
∵D为EF的中点，
∴MD⊥EF，
∴∠ODM＝90°，
∴点D在以A点为圆心，1为半径的圆上，
当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣1＝﹣1，
即CD的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
15．解：如图1，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝OA＝1cm，
∴AD＝OA?cos30°＝，AB＝2AD＝2，
∴S△AOB＝AB?OD＝×2×1＝，
如图2，
∵S△POA＝S△AOB＝，OA＝2，
∴P点到OA的距离为，
∵OP＝2，
∴∠AOP＝60°或120°或300°，
当∠AOP＝60°时，∠POB＝180°，PB＝OP+OB＝4cm，
当∠AOP＝120°时，∠POB＝120°，
则△POB≌△AOB，
PB＝AB＝2cm，
当∠AOP＝300°时，
则△POB为等边三角形，
PB＝OB＝2cm，
故答案为：4cm，2cm，2cm．
16．解：连接OA，如图所示
则∠AOE＝2∠C＝30°，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝3cm，
∴OA＝2OE＝6cm，
即⊙O半径为6cm；
故答案为：6．
17．解：作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E．
在直角△ABC中，∠A＝30°，则BC＝AB＝2，
在直角△BCD中，∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∴CD＝，
∴OE＝CD＝，
在△AOE中，AE＝AB＝2，
则OA＝，
则MN＝2OA＝2．
故答案是：2．
18．解：∵△ACE的面积为12，
∴△AOC的面积＝6＝，
即，
解得：AC＝4，
∵AE是直径，半径OD⊥弦AB，垂足为C，
∴在直角三角形AOC中，OA＝，
∴CD＝OD﹣OC＝OA﹣OC＝5﹣3＝2，
故答案为：2
19．解：∵A、B两点的坐标分别为（0，2）、（0，﹣2），
∴OA＝2，OB＝2，
则AB＝4，
在Rt△AOC中，OC＝＝2，
∵AB⊥CD，
∴CD＝2OC＝4，
故答案为：4．
20．解：（1）∵OD⊥BC，
∴BD＝BC＝，
∴OD＝＝；
（2）DE的长保持不变，
理由如下：连接AB，
由勾股定理得，AB＝＝，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD＝CD，AE＝EC，
∴DE＝AB＝．
21．证明：如图，连接OC、OA，则OC＝OA，
∵圆心O到它们的距离分别是OM和ON，
∴∠ONC＝∠OMA＝90°，CD＝2CN，AB＝2AM，
∵AB＝CD，
∴CN＝AM，
在Rt△ONC和Rt△OMA中，
，
∴Rt△ONC≌Rt△OMA（HL），
∴OM＝ON．
22．（1）证明：过点O作OG⊥CD于点G，则CG＝DG，
∵CE＝DF，
∴CG﹣CE＝DG﹣DF，即EG＝FG．
在△OEG与△OFG中，
，
∴△OEG≌△OFG（SAS），
∴OE＝OF，即△OEF是等腰三角形．
（2）证明：连接OC、OD，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等腰三角形，
∵OG⊥CD，
∴∠COG＝∠DOG，
∵△OEG≌△OFG，
∴∠EOG＝∠FOG，
∴∠COG﹣∠EOG＝∠DOG﹣∠FOG，即∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD．
23．解：过点C作CE⊥AD于点E，
则AE＝DE，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CE，
∴CE＝＝＝，
∴AE＝＝，
∴AD＝2AE＝．
二．垂径定理的应用
24．解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB＝2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD＝3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD＝＝＝4mm，
∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．
故选：B．
25．解：因为CD为高，
根据垂径定理：CD平分AB，
又路面AB宽为10m
则有：AD＝AB＝5m，
设圆的半径是x米，
在Rt△AOD中，有OA2＝AD2+OD2，
即：x2＝52+（7﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是 m．
故答案为 m．
26．解：设圆弧形屋顶所在圆的半径为O，所在圆的半径为r，
过O作OD⊥AB交⊙O于点C．
由题意可知CD＝20m，
在Rt△BOD中，B02＝OD2+BD2，
r2＝（r﹣20）2+402，得r＝50．
故答案为50．
27．解：∵OC⊥AB，
∴∠ADO＝90°，AD＝AB＝8，
在Rt△AOD中，OD2＝OA2﹣AD2，
∴OD＝＝6，
∴CD＝10﹣6＝4（m）．
故答案是4．
28．解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，
∵CD＝8cm，AB＝48cm，
∵CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝24cm，
∴设半径为r，则OD＝r﹣8，
根据题意得：r2＝（r﹣8）2+242，
解得：r＝40cm．
∴这个车轮的外圆半径长为40cm．
故答案为40．
29．解：∵把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，
∴MN＝cm，
故答案为：10．
30．解：如图，设半径为r，则OD＝r﹣CD＝r﹣45，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB，
∴在Rt△AOD中，AO2＝AD2+OD2，
即r2＝（ ×300）2+（r﹣45）2＝22500+r2﹣90r+2025，
90r＝24525，
解得，r＝272.5m．
答：这段弯路的半径是272.5m．
31．解：（1）如图，设切点为P，小正方形在圆上的顶点分别为C，D，
连接CD，OD，OP，OP与CD交于E，则OP⊥AB，
故OP⊥CD，E为CD中点，设半径为r，
在Rt△ODE中，DE＝40cm，OD＝r，OE＝r﹣20，
∴根据勾股定理得：（r﹣20）2+402＝r2，
解得r＝50cm．
（2）如图，设切点为P，小正方形在圆上的顶点分别为C，D，
连接CD，OD，OP，OP与CD交于E，则OP⊥AB，
故OP⊥CD，E为CD中点，设半径为r，
在Rt△ODE中，DE＝b，OD＝r，OE＝r﹣a，
∴根据勾股定理得：（r﹣a）2+b2＝r2，
∴r＝，
则d＝2r＝．
32．解：（1）如图所示；
（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，
∵AB＝32cm，
∴AD＝AB＝16．
设这个圆形截面的半径为xcm，
又∵CD＝8cm，
∴OC＝x﹣8，
在Rt△OAD中，
∵OD2+AD2＝OA2，即（x﹣8）2+162＝x2，
解得，x＝20．
∴圆形截面的半径为20cm．
三．圆心角、弧、弦的关系
33．解：连接CD，
∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，
∴∠ABC＝90°﹣25°＝65°，
∵BC＝CD，
∴∠CDB＝∠ABC＝65°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴＝50°．
故选：C．
34．解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD，故本选项正确；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．
故选：B．
35．解：如图，连接OA，
∵C是的中点，
∴D是弦AB的中点，
∴OC⊥AB，AD═BD═4，
∵OA═OC，CD═2，
∴OD═OC﹣CD═OA﹣CD，
在Rt△OAD中，
OA2═AD2+OD2，即OA2═16+（OA﹣2）2，
解得OA═5，
故答案为：5．
36．解：连接CD，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝65°，
∴∠BCD＝50°，
∴的度数为50°．
故答案为：50°．
37．解：如图，连接OB，OC，AO，设DO交BC于点E，
∵OD是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴∠BOE＝∠BOC，
∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BOE＝∠BAC，
∵∠ABC＝74°，∠ACB＝46°，
∴∠BOE＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°，
∵∠AOB＝2∠ACB＝92°，
∴的度数为：92°，
∴的度数为：120°﹣92°＝28°．
故答案为：28°．
38．解：∵点A是劣弧的中点，
∴OA⊥BC，所以①正确；
∵∠AOC＝2∠D＝60°，
而OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴BC＝2×6×＝6，所以②错误；
同理可得△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，所以③正确；
∵AB＝AC＝OA＝OC＝OB，
∴四边形ABOC是菱形，所以④正确．
故答案为①③④．
39．解：与相等，理由如下：
连接OA，OB，过点O作OE⊥PA于E，OF⊥PB于F．
∴点O在∠APB的平分线PN上，
∴OE＝OF，
∵∠OEA＝∠OFB＝90°，
在Rt△OEA和Rt△OFB中，
，
∴Rt△OEA≌Rt△OFB（HL），
∴∠A＝∠B，
∵∠AON＝∠APO+∠A，∠BON＝∠BPN+∠B
∴∠AON＝∠BON，
∴∠AOM＝∠BOM，
∴＝．
40．证明：∵OA，OB，OC是⊙O的半径，＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵点M，N分别是OA，OB的中点，OA＝OB，
∴OM＝ON，
在△OCM和△OCN中，
，
∴△OCM≌△OCN（SAS），
∴MC＝NC．
41．解：（1）∵若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形，
∴等边三角形一定是奇异三角形是真命题．
故答案为：真；
（2）∵∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2①．
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a2+c2＝2b2②．
由①②得：b＝a，c＝a．
∴a：b：c＝1：：．
（3）连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°．
在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2，
∵点D是半圆的中点，∴＝．
∴AD＝BD．
∴AB2＝AD2+BD2＝2AD2．
∴AC2+CB2＝2AD2．
又∵CB＝CE，AE＝AD，
∴AC2+CE2＝2AE2．
∴△ACE是奇异三角形．