第二十七章
相似
章末复习
重点回顾
1.相似三角形的判定与性质
（1）判定：①三边
成比例
的两个三角形相似；
②两边成比例且
夹角
相等的两个三角形相似；
③
两角
分别相等的两个三角形相似；
④两个直角三角形的
一个锐角
相等，或
两组对边
成比例，这两个直角三角形相似.
（2）性质：
①相似三角形的
对应角
相等；
②相似三角形
对应线段
的比等于相似比；
③相似三角形周长的比等于
相似比
，面积的比等于
相似比的平方
.
2.画位似图形的步骤
（1）确定
位似中心
；
（2）确定原图形的关键点；
（3）确定
位似比
，即要将图形放大或缩小的倍数；
（4）作出原图形中各关键点的对应点；
（5）按原图形的顺序连接，并标记各个对应点.
数学思想
1.分类讨论思想
如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是
∠ACD=∠B（答案不唯一）
.（只要写出一种）
【解析】分不同情况考虑：∵△ABC和△ACD有公共角∠A，判定相似，则找另一对等角（填∠ACD=∠B，或∠ADC=∠ACB），或找这个角两边成比例（填或AC2=AB·AD）；也可以补充条件（），利用三边成比例的两个三角形相似.
2.数形结合思想
如图，Rt△OAB与Rt△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶
2，∠OCD=90°，CO=CD.若B（1，0），则点C的坐标为（
B
）
A.（1，2）
B.（1，1）
C.（2，2）
D.（2，1）
强化训练
1.如图，直线l1，l2，…，l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，E，C，F，若BC=2，则EF的长是
5
.
2.已知△ABC∽△A′B′C′，S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶9，其中△ABC的周长为18
cm，那么△A′B′C′的周长是
54
cm.
3.已知（b+d+f≠0），则=（
B
）
A.
B.
C.
D.
4.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①；②；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′共有（
C
）
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6），B（-9，-3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（
D
）
A.（-1，2）
B.（-9，18）
C.（-9，18）或（9，-18）
D.（-1，2）或（1，-2）
6.为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1?5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖直立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度.
解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，
∴SO∥AB，
∴△ABC∽△SOC，
∴，即，
同理△A′B′C′∽△SOC′，
∴，，
∴.解得h=9（米）.
答：路灯离地面的高度为9米.
7.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（-1，3），B（-1，1），C（-3，2）.
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出∶的值.
解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示.
∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为1∶2，
∴∶=1∶4.
中考链接
1.
如图，已知AB∥CD，若，则=
.
2.
若△ADE∽△ACB且，DE=10，则BC=
15
.
3.
如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若DE∥BC，，则=
.
4.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B.如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为（
D
）
A.15
B.10
C.
D.5第二十七章
相似
章末复习
重点回顾
1.相似三角形的判定与性质
（1）判定：①三边
的两个三角形相似；
②两边成比例且
相等的两个三角形相似；
③
分别相等的两个三角形相似；
④两个直角三角形的
相等，或
成比例，这两个直角三角形相似.
（2）性质：
①相似三角形的
相等；
②相似三角形
的比等于相似比；
③相似三角形周长的比等于
，面积的比等于
.
2.画位似图形的步骤
（1）确定
；
（2）确定原图形的关键点；
（3）确定
，即要将图形放大或缩小的倍数；
（4）作出原图形中各关键点的对应点；
（5）按原图形的顺序连接，并标记各个对应点.
数学思想
1.分类讨论思想
如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是
.（只要写出一种）
2.数形结合思想
如图，Rt△OAB与Rt△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶
2，∠OCD=90°，CO=CD.若B（1，0），则点C的坐标为（
）
A.（1，2）
B.（1，1）
C.（2，2）
D.（2，1）
强化训练
1.如图，直线l1，l2，…，l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，E，C，F，若BC=2，则EF的长是
.
2.已知△ABC∽△A′B′C′，S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶9，其中△ABC的周长为18
cm，那么△A′B′C′的周长是
cm.
3.已知（b+d+f≠0），则=（
）
A.
B.
C.
D.
4.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：
①；
②；
③∠A＝∠A′；
④∠C＝∠C′.
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′共有（
）
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6），B（-9，-3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（
）
A.（-1，2）
B.（-9，18）
C.（-9，18）或（9，-18）
D.（-1，2）或（1，-2）
6.为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1?5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖直立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度.
7.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（-1，3），B（-1，1），C（-3，2）.
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出∶的值.
中考链接
1.
如图，已知AB∥CD，若，则=
.
2.
若△ADE∽△ACB且，DE=10，则BC=
.
3.
如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若DE∥BC，，则=
.
4.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B.如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为（
）
A.15
B.10
C.
D.5
