27.2.3
相似三角形应用举例
课前预习
1.测量不能到达的高度（或顶部）时，通常构造相似三角形，利用其对应边之比等于相似比列比例式解决问题.构造相似三角形常用的方法：
（1）借助太阳光在某一时刻，物高和影长成比例；
（2）运用人的身高和视线构造；
（3）利用光的反射原理构造.
2.求不能直接到达的两个点之间的距离，关键是构造
，然后根据相似三角形的性质求出两个点之间的距离.
课堂练习
知识点1
测量物体的高
1.
如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度BE为（
）
A.3米
B.4米
C.4.5米
D.6米
2.【核心素养·科学精神】为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为（
）
A.2.8米
B.5.6米
C.8.6米
D.9.2米
知识点2
测量距离
3.
如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为
米.
4.如图，为了测量水塘边A，B两点之间的距离，在可以看到A，B的点E处，取BE，AE延长线上的C，D两点，使得CD∥AB，若测得CD=5
m，AD=15
m，ED=3
m，则A，B两点之间的距离为
m.
5.如图，为测量河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在河岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一直线上.若测得BE=15
m，EC=9
m，CD=16
m，则河的宽度AB等于（
）
A.35
m
B.m
C.m
D.m
课时作业
1.如图，身高为1.7
m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条直线上.已知河BD的宽度为12
m，BE=3
m，则树CD的高为
m.
2.如图，在河两岸分别有A，B两村，现测得A，B，D在一条直线上，A，C，E在一条直线上，BC∥DE，DE=90米，BC=70米，BD=20米.则A，B两村间的距离为
米.
3.如图，已知有两堵墙AB，CD，AB墙高2米，两墙之间的距离BC为8米，小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外.将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为
米.
4.【核心素养·理性思考】某侦察员在距敌方200
m的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住.若此时眼睛A到食指BC的距离AG约为40
cm，食指的长约为8
cm，你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路.
5.如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6
m，标杆FC=2.2
m，且BC=1
m，CD=5
m，标杆FC，ED垂直于地面.求电视塔的高ED.
6.如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝20，高AD＝8.矩形EFPQ的一边QP在BC上，E，F两点分别在AB，AC上，AD交EF于点H.
（1）求证：；
（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大，求最大面积.27.2.3
相似三角形应用举例
课前预习
1.测量不能到达的高度（或顶部）时，通常构造相似三角形，利用其对应边之比等于相似比列比例式解决问题.构造相似三角形常用的方法：（1）借助太阳光在某一时刻，物高和影长成比例；（2）运用人的身高和视线构造；（3）利用光的反射原理构造.
2.求不能直接到达的两个点之间的距离，关键是构造
相似三角形
，然后根据相似三角形的性质求出两个点之间的距离.
课堂练习
知识点1
测量物体的高
1.
如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度BE为（
D
）
A.3米
B.4米
C.4.5米
D.6米
2.【核心素养·科学精神】为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为（
B
）
A.2.8米
B.5.6米
C.8.6米
D.9.2米
【解析】∵∠CED=∠AEB，CD⊥DB，AB⊥BD，
∴△CED∽△AEB.∴.
又∵CD=1.6，DE=2.4，BE=8.4，
∴.解得AB==5.6.故选B.
知识点2
测量距离
3.
如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为
5
米.
4.如图，为了测量水塘边A，B两点之间的距离，在可以看到A，B的点E处，取BE，AE延长线上的C，D两点，使得CD∥AB，若测得CD=5
m，AD=15
m，ED=3
m，则A，B两点之间的距离为
20
m.
5.如图，为测量河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在河岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一直线上.若测得BE=15
m，EC=9
m，CD=16
m，则河的宽度AB等于（
C
）
A.35
m
B.m
C.m
D.m
课时作业
1.如图，身高为1.7
m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条直线上.已知河BD的宽度为12
m，BE=3
m，则树CD的高为
5.1
m.
2.如图，在河两岸分别有A，B两村，现测得A，B，D在一条直线上，A，C，E在一条直线上，BC∥DE，DE=90米，BC=70米，BD=20米.则A，B两村间的距离为
70
米.
【解析】∵BC∥DE，∴.
∵DE=90，BC=70，BD=20，
∴.解得AB=70（米）.
3.如图，已知有两堵墙AB，CD，AB墙高2米，两墙之间的距离BC为8米，小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外.将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为
米.
【解析】∵∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，
又∵AB和CD都垂直于BC，∴∠B=∠C，∠DEC+∠D=90°，
则∠AEB=∠D，∴△ABE∽△ECD，得，即，
解得CD=（米）.
4.【核心素养·理性思考】某侦察员在距敌方200
m的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住.若此时眼睛A到食指BC的距离AG约为40
cm，食指的长约为8
cm，你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路.
解：∵40
cm=0?4
m，8
cm=0.08
m，
∵BC∥DE，AG⊥BC，AF⊥DE.
∴△ABC∽△ADE.
∴.
∴.解得DE=40（m）.
答：敌方建筑物的高度约为40
m.
5.如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6
m，标杆FC=2.2
m，且BC=1
m，CD=5
m，标杆FC，ED垂直于地面.求电视塔的高ED.
解：如图，作AH⊥ED，交FC于点G，垂足为点H.
易得四边形ABDH，ABCG是矩形，
∴AH=BD，AG=BC.
∵AB=1.6，FC=2.2，BC=1，CD=5，
∴FG=FC
-CG=0.6，BD=BC+CD=6.
∵FG∥EH，
∴，即.解得EH=3.6.
∴ED=EH+HD=3.6+1.6=5.2（m）.
答：电视塔的高ED是5.2
m.
6.如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝20，高AD＝8.矩形EFPQ的一边QP在BC上，E，F两点分别在AB，AC上，AD交EF于点H.
（1）求证：；
（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大，求最大面积.
（1）证明：∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ.
∴△AEF∽△ABC.
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF.
∴；
（2）解：由（1）得，
∵BC＝20，AD＝8，EF＝x，
∴.解得AH＝x.
∴EQ＝HD＝AD-AH＝8-x.
∴S矩形EFPQ＝EF×EQ＝x（8-x）
＝8x-x2＝-（x-10）2＋40.
∵-＜0，
∴当x＝10时，y有最大值，最大值为40.
