3.1.1椭圆及其标准方程-2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册（22张PPT）

(共22张PPT)
3.3.1 椭圆及其标准方程
引入
如何精确的设计绘制这些椭圆形物件呢？
1.取一条细绳，
2.把它的两端固定在板上的两点F1、F2
3.用铅笔尖M把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
F1
F2
M
观察做图过程：
1.绳长应当大于F1、F2之间的距离。
2.由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。
探究
椭圆的定义
新知
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点
两焦点的距离叫做椭圆的焦距(|F1F2|=2c)
焦距的一半称为半焦距
用集合的语言描述椭圆的定义P={M||MF1|+|MF2|=2a, 2a＞2c}
思考：若2a≤2c形成什么样的轨迹？
2a =2c轨迹是线段F1F2
2a ＜2c无轨迹
用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆.
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹.
(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹.
(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹.
解: (1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆.
(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2).
(3)因|MF1|+|MF2|=3<|F1F2|=4，故点M的轨迹不存在.
练习
探究：观察椭圆的形状，你认为怎样建系可能使得椭圆的方程形式简单？
探究
F1
F2
x
y
P( x , y )
O
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
解：以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2
的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系．
椭圆上的点满足|PF1|+|PF2|为定值，设为2a.则2a>2c
则：
两边同除以a2(a2-c2)得
令b2=a2-c2得
新知
椭圆的标准方程
b2=a2-c2
即a2=b2+c2
焦点在 轴上，坐标为
思考：如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？
x
O
F1
F2
y
O
F1
F2
x
y
新知
思考：如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？
x
O
F1
F2
y
椭圆的标准方程
O
F1
F2
y
x
新知
注意：1.方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
2.在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0；a2=b2+c2
3.焦点在大分母变量所对应的那个轴上；
思考：怎样判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上？
在 x 轴。（-3，0）和（3，0）
在 y 轴。（0，-5）和（0，5）
在y 轴。（0，-1）和（0，1）
练习1:判定下列方程是否为椭圆的标准方程，若是判断焦点在哪个轴上，并写出焦点坐标.
在y 轴。（-1，0）和（1，0）
不是
不是
练习
练习
(1)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是(　　)A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
(2)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为______.
(3)椭圆的方程为 ，则a＝___,b＝__ ,c＝_ _.
(4)椭圆 上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为________.
课本P109练习2
练习
例1. 已知椭圆的两焦点为F1(2，0）、F2(-2，0)，并且椭圆过点 ,求椭圆的标准方程。
解：因为椭圆焦点在x轴上，可设其方程为
由椭圆得定义可知c=2
所以a=
所以b2=a2-c2=10-4=6
故椭圆得标准方程为
例题
思考：你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点。
例1. 已知椭圆的两焦点为F1(2，0）、F2(-2，0)，并且椭圆过点 ,求椭圆的标准方程。
解：因为椭圆焦点在x轴上，可设其方程为
由椭圆得定义可知c=2
所以b2=a2-4
∵点P在椭圆上
所以
故椭圆得标准方程为
例题
待定系数法求椭圆标准方程的解题步骤：
先定位，后定量
（1）确定焦点的位置；
（2）设出椭圆的标准方程；
（3）用待定系数法确定a、b的值，写出椭圆的标准方程.
归纳
.
解：因为椭圆焦点在x轴上，可设其方程为
∵点(2,0)、(0,1)在椭圆上
所以
故椭圆得标准方程为
练习
求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)经过点(2,0)和(0,1)
(2)经过点 和
.
解：可椭圆的方程为mx2+ny2=1
∵点A、B在椭圆上
所以
所以椭圆的方程为5x2+4y2=1
故椭圆得标准方程为
练习
求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)经过点(2,0)和(0,1)
(2)经过点 和
求椭圆标准方程的方法
当焦点位置不确定时，
可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．
归纳
解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为
则
0
x
y
P
M
例2 在圆 上任取一点P，过点P向x轴作垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD中点M的轨迹是什么，为什么？
D
例题
解：设点M(x,y),因为点A(-5,0)，B(5,0)
所以直线AM得斜率为
直线BM得斜率为
因为kAM×kBM =
所以
所以点M得轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点得椭圆
例题
例3 设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ,求点M的轨迹方程。
标准方程
图形
焦点坐标
定义
a、b、c的关系
焦点位置的判定
共同点
不同点
F1(-c,0)、F2(c,0)
F1(0,-c)、F2(0,c)
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.
a2 = b2 +c2
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
x
y
o
x
y
o
小结
求椭圆标准方程的方法：待定系数法，先定位，后定量
当椭圆焦点的位置不确定是，可采用椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)
作业
课本P109练习4