1.1集合的概念（1）学案-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1集合的概念（1）
有了目标，才有动力
【知识目标】1.理解集合的概念；
2.记住一些常用数集的字母表示；
3.理解点集的集合表示形式.
【能力目标】1.会用列举法表示数集和点集；
2.留意“互异性”对解题过程的影响（难点）；
3.能从集合中元素的实际意义理解集合（难点）.
导引，助力达标
一、阅读材料
【材料1】
之间的所有偶数：2，4，6，8，10，共5个.
我们就说有5个研究对象，也可以说有5个元素，这5个研究对象（即元素）的总体形成一个集合.
【材料2】所有的正方形.
有无数个研究对象，也可以说有无数个元素，这无数个元素（研究对象）的总体形成一个集合.
对集合的概念有所了解了吧？
二、集合的概念
1.把研究对象统称为元素(element），通常用小写拉丁字母表示．把一些元素组成的总体叫做集合(set)，简称为集，通常用大写拉丁字母表示．
2.集合中元素的特性
（1）确定性：一个集合中的元素必须是确定的.
【边学边用】下列各组对象中能构成集合的是
A.
充分接近1的实数的全体
B.
物理成绩比较好的同学
C.
小于20的所有自然数
D.
所有的明星
剖析：“充分接近1”、“成绩比较好”、“明星”都没有明确的标准，所涉及的数、学生、公众人物具有不确定性（一个人是不是明星，这里没给出具体标准），所以A，B，D涉及的对象不能构成集合；“小于20”标准明确，就是说一个数或者小于20，或者不小于20是明确的，所以C中对象能构成集合.
选项为C.
（2）互异性：一个集合中的元素必须是互不相同的.
【边学边用】集合A由两个元素组成，求的取值范围.
剖析：集合中的元素互不相同，，－，－，，且1.
（3）无序性：一个集合中的元素位置可以随意调换，与顺序无关.
【边学边用】1，2，3，这三个数的总体作为集合A；3，2，1这三个数的总体作为集合B，这两个集合相等吗？
剖析：这两个集合相等，因为集合中的元素与顺序无关.
3.元素与集合的关系：
之间的所有偶数记为集合A，4在集合A中，记作4
A；5不在集合中，记作5
A.
注：“”读作“属于”；“”读作“不属于”.
4.一些常用数集的记法：
非负整数集（也叫自然数集）：0，1，2，3，4，，记作N；
正整数集：1，2，3，4，5，，记作N
或N+；
整数集：，-3，-2，-1，0，1，2，3，，记作
Z；
有理数集：整数与分数统称有理数（也理解为有限小数与无限循环小数的统称），记作Q；
实数集：有理数与无理数统称实数（初中教材所涉及的数都是实数），记作R
.
【边学边用】下列所给关系中正确的有
（填序号）：
；?；??；??④(-4)2N
；??．
【答案
5.列举法表示集合
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
【边学边用】用列举法表示下列集合：
（1）的所有实根；
（2）一次函数与的图像的所有交点.
剖析：（1）解方程，得，，用集合表示为A=.
解方程组，得，用集合表示为A.
提醒：1.点用坐标表示；2.集合A，集合中只有一个元素，一个点.
活学活用,发展思维
【例1】集合=，求的值.
解析：依题意，，则必有，.
，，，.
时，集合中有重复元素，不符合集合中元素的互异性，舍去，.
综上，.
提醒：值求出之后，必须代入集合中检验，看集合中元素是否符合互异性.
【例2】
若所有形如4a＋b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断24－5是不是集合A中的元素．
剖析：集合A中元素的理解：“4的整数倍”与“的整数倍”的和.
24－5=4×6＋×(-5)，符合A中元素的特征，所以24－5A.
提醒：“集合”的理解要透过表象看本质，要看元素的实际意义.
自我反馈，总结提升
1.集合中的元素具有确定性，互异性，无序性.
对集合中元素的认知，要看元素的实际意义；
2.符号N，N
(或N+)，Z，Q，R分表表示（非负整数（或自然数）集，正整数
集，整数集，有理数集，实数集；
3.求出集合中的未知量的值，必须代回集合中检验，检验一下集合中元素是否具有互异
性.
对照答案，自我评估
1.判断对错：
(1)高一班个子比较高的同学可以形成一个集合；（
）
(2)集合3，与集合5，是不同的集合；（
）
(3)方程的所有解组成的集合是；（
）
(4)
0与的意义相同.（
）
2.填空题：
(1)自然数集N中最小的数是
；
(2)
（填或）；
(3)用列举法表示一次函数与的图像的所有交点形成的集合为
；
(4)若，且则=
.
3.解答题：
（1）若1，，求；
（2）3m，，求．
（3）集合A中的元素都是实数，且满足：若，则．
①若，求出A中的另外两个元素；中能不能只有一个元素？
【答案】
1.判断对错：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×.
2.填空题：（1）0；（2）；（3）{(2，-1)}；（4）0.
3.解答题：
（1）解析：①当=0时，，此时集合中有两个0，不符合集合中元素的“互异性”.
②当=1时，.
时，集合中有两个1，不符合集合中元素的“互异性”；时，集合中没有相同元素，符合集合中元素的“互异性”.
③当时，，由①、②可知，这两个数都不符合集合中元素的“互异性”.
综上，.
（2）解析：①当m-1=3时，m=4，集合为{3，12，15}，里面没有相同元素.
②当3m=3时，m=1，集合为{0，3，0}，里面有相同元素，不符合集合中元素的“互异性”.
③当=3时，m2=4，.
时，集合为{1，6，3}，里面没有相同元素；时，集合为{}，里面没有相同元素.
综上，.
解析：，，所以A中的另外两个元素为和2；
注：接着求下去，-1，，2循环出现.
若A中有且仅有一个元素，因为，，则必有，即无实数解，所以中不能只有一个元素.