3.1.角的概念的推广_教案-湘教版数学必修2
文档属性
| 名称 | 3.1.角的概念的推广_教案-湘教版数学必修2 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 39.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-21 08:29:39 | ||
图片预览
内容文字预览
角的概念的推广
【教学目标】
1．掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
2．掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法。
3．从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。
【教学重点】
理解并掌握正角，负角，零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。
【教学难点】
终边相同的角的表示。
【教学设计】
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。
【教学过程】
一、复习引入
1．回忆：初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是0°≤α≤360°，但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于“狭隘”。
2．生活中很多实例会不在范围0°≤α≤360°内。
如：体操运动员转体 ，跳水运动员向内、向外转体
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
这些例子不仅不在范围 ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。
二、讲解新课
1．角的概念的推广
（1）“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
突出“旋转”? 注意：“顶点”“始边”“终边”
（2）“正角”与“负角”“零角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．
（3）意义
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
①角有正负之分如：a=210、b=-150、g=660°
②角可以任意大
实例：体操动作：旋转2周（360°×2=720°） 3周（360°×3=1080°）
③还有零角：一条射线，没有旋转
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。
2．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,我们称其为界限角）
下面由学生自己分别举出终边在一、二、三、四象限的角以及界限角(各举两例)
例如：30°、390°、-330°是第一象限角，-195°、120°是第二象限角, 585°、1180°是第三象限角，300°、-60°是第四象限角。90°、0°、-180°都是界限角。
3．终边相同的角
（1）观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同
（2）探究：终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与 个周角的和：
390°=30°+ 360°
-330°=30°-360°
30°=30°+0×360°
对于任意一个角，若其终边与 相同，那么它们之间都相差360°的整数倍。
（3）结论：所有与角 a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合：{β|β=α+k·360°，k∈Z}
（即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和。）
（4）注意以下四点：
①k∈Z；
②a是任意角；
③k·360°与a之间是“+”号，
如-30°，应看成 +(-30°)；
④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
三、讲解范例：
例1：写出与下列各角终边相同的角的集合，并指出它们是哪个象限的角
（1）30°（2）135°（3）225°（4）300°
解：（1）与30°终边相同的角的集合是A={β|β=30°+k·360°，k∈Z}
因为30°是第一象限角，所以集合A 中的角都是第一象限的角。
（2）与135°终边相同的角的集合是A= {β|β=135°+k·360°，k∈Z}
因为135°是第二象限角，所以集合A 中的角都是第二象限的角。
（3）与225° 终边相同的角的集合是A={β|β=225°+k·360°，k∈Z}
因为225°是第三象限角，所以集合A 中的角都是第三象限的角。
（4）300°与 终边相同的角的集合是A={β|β=300°+k·360°，k∈Z}
因为300° 是第四象限角，所以集合A 中的角都是第四象限的角。
四、课堂练习：
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？
(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角故它不一定是锐角)
2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°．
(答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角)
作图时应注意：顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上（图略）
五、小结
本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“界限角”“象限角”；“小于90°的角”“第一象限角”和“锐角”的不同意义．?
【作业布置】
1．下列命题中正确的是( )
A．第一象限的角一定不是负角
B．第二象限角一定是钝角
C．第四象限角一定是负角
D．若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同
2．若角α与β终边相同，则一定有( )
A．α＋β＝180° B．α＋β＝0°
C．α－β＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ D．α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z
3．钟表经过4小时，时针与分针各转了___________________(填度数)．
4．在直角坐标系中，做出下列各角,并判断各为第几象限角(或界限角)．
(1)360°
4 / 4
【教学目标】
1．掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
2．掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法。
3．从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。
【教学重点】
理解并掌握正角，负角，零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。
【教学难点】
终边相同的角的表示。
【教学设计】
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。
【教学过程】
一、复习引入
1．回忆：初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是0°≤α≤360°，但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于“狭隘”。
2．生活中很多实例会不在范围0°≤α≤360°内。
如：体操运动员转体 ，跳水运动员向内、向外转体
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
这些例子不仅不在范围 ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。
二、讲解新课
1．角的概念的推广
（1）“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
突出“旋转”? 注意：“顶点”“始边”“终边”
（2）“正角”与“负角”“零角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．
（3）意义
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
①角有正负之分如：a=210、b=-150、g=660°
②角可以任意大
实例：体操动作：旋转2周（360°×2=720°） 3周（360°×3=1080°）
③还有零角：一条射线，没有旋转
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。
2．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,我们称其为界限角）
下面由学生自己分别举出终边在一、二、三、四象限的角以及界限角(各举两例)
例如：30°、390°、-330°是第一象限角，-195°、120°是第二象限角, 585°、1180°是第三象限角，300°、-60°是第四象限角。90°、0°、-180°都是界限角。
3．终边相同的角
（1）观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同
（2）探究：终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与 个周角的和：
390°=30°+ 360°
-330°=30°-360°
30°=30°+0×360°
对于任意一个角，若其终边与 相同，那么它们之间都相差360°的整数倍。
（3）结论：所有与角 a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合：{β|β=α+k·360°，k∈Z}
（即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和。）
（4）注意以下四点：
①k∈Z；
②a是任意角；
③k·360°与a之间是“+”号，
如-30°，应看成 +(-30°)；
④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
三、讲解范例：
例1：写出与下列各角终边相同的角的集合，并指出它们是哪个象限的角
（1）30°（2）135°（3）225°（4）300°
解：（1）与30°终边相同的角的集合是A={β|β=30°+k·360°，k∈Z}
因为30°是第一象限角，所以集合A 中的角都是第一象限的角。
（2）与135°终边相同的角的集合是A= {β|β=135°+k·360°，k∈Z}
因为135°是第二象限角，所以集合A 中的角都是第二象限的角。
（3）与225° 终边相同的角的集合是A={β|β=225°+k·360°，k∈Z}
因为225°是第三象限角，所以集合A 中的角都是第三象限的角。
（4）300°与 终边相同的角的集合是A={β|β=300°+k·360°，k∈Z}
因为300° 是第四象限角，所以集合A 中的角都是第四象限的角。
四、课堂练习：
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？
(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角故它不一定是锐角)
2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°．
(答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角)
作图时应注意：顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上（图略）
五、小结
本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“界限角”“象限角”；“小于90°的角”“第一象限角”和“锐角”的不同意义．?
【作业布置】
1．下列命题中正确的是( )
A．第一象限的角一定不是负角
B．第二象限角一定是钝角
C．第四象限角一定是负角
D．若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同
2．若角α与β终边相同，则一定有( )
A．α＋β＝180° B．α＋β＝0°
C．α－β＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ D．α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z
3．钟表经过4小时，时针与分针各转了___________________(填度数)．
4．在直角坐标系中，做出下列各角,并判断各为第几象限角(或界限角)．
(1)360°
4 / 4