3.3.2正切函数的图象与性质_教案-湘教版数学必修2

正切函数的图像与性质
【教学目标】
1．会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图像掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
2．首先学生自主绘图，通过课件纠正图像，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。
3．在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
【教学重点】
正切函数的图像及其主要性质。
【教学难点】
利用正切线画出函数y=tanx的图像，对直线x=，是y=tanx的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。
【教学过程】
一、预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、复习导入、展示目标。
问题1：就我们前面所学的内容中，正切函数与正余弦函数的有何区别？
三角函数 y=sinx y=cosx
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1]
周期性及周期 2 2
奇偶性 奇 偶
那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。
（设计意图：①通过此问题确定本节课的一个基调：类比学习；②通过此问题来复习我们已经研究过的正切函数的性质；③通过比较让学生了解正切与正弦的区别，在画图像的时候注意区别；④因为在作图时必须用正切线的知识，所以在此做一个相应的复习和准备工作，顺应学生的思维在知识链接处提问）
问题2：我们用什么样的方式得到正余弦函数的图像的？
利用单位圆内的正弦线，得到在一个周期，即[0，2]内的图像，再利用周期性得到在定义域内的图像。
问题3：请同学们根据所学知识设计一个研究正切函数图像与性质的方案。
方案：第一步：画出正切函数的在一个周期内的图像；
第二步：将图像向左、向右平移拓展到整个定义域上去；
第三步：根据图像总结性质。
三、合作探究、精讲点拨。
①请同学们解决方案的第一步，先画出y=tanx在一个周期内的简图。
给学生充足的时间与空间，发挥学生的主动性，这样不仅提高了学生的动手实践能力，还培养了学生对数学的兴趣。
注：有的学生可能会想到利用函数的奇偶性来画图，很多学生会画出（0．）的图像，教师暂时不予评价，等待学生形成图像。
②教师用课件展示作图结果，学生之间相互评价，指出优点和不足之处，并鼓励学生阐述自己的观点。教师纠正学生错误的图像；并将（0，）的图像与的图像进行比较来说明只是周期的选择不同，拓展到整个定义域上也是一致的。
通过学生之间的点评与总结，引出渐近线，并请同学们总结出：要画出一个周期内的图像，首先，选择哪段区间较好，其次，在画图像的过程中应该注意什么？
③课件展示完整图像。目的是规范作图，理顺思路的作用，并画出在定义域上的图像。
④总结正切函数的性质。分小组根据正切函数图像去验证正切函数已有的性质，并找出其它的性质（主要就指单调性，若学生提及对称性就一起分析，若学生不提也不加以讨论，因为高考要求没有对对称性的涉及）。一组总结后，其它各小组补充或改正。培养学生之间的团结协作能力及勇于探索的精神。
有部分学生会得到正切函数在定义域上是单调增函数的结论，所以为了突破这个难点，另外又设计了三道判断题让学生小组讨论形成结果。
判断下列语句是否正确：
（1）y=tanx在定义域上是单调增函数；
（2）y=tanx在第一象限是单调增函数；
引导学生从数和形两个角度来完成，可以直接看图像，可以转化到同一个单调区间，也可以利用三角函数线来比大小。
四、例题分析
例1．求函数的定义域、周期和单调区间。
练习1．求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期。
例2．求函数 的周期。
练习2．求下列函数的的周期。
（1） （2）
（3） （4）
例3．比较tan与tan的大小
练习3.利用单调性比较大小tan与tan(－)
解：tan＝－tan，tan (－)＝－tan ＝－tan
∵0＜＜＜π 又∵y＝tan x在(0，π)上单调递增
∴tan＜tan，则tan＞tan (－)
由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。
五、反思总结，当堂检测。
课堂小结：
1．数学知识：正切函数的定义与图像，定义域、值域和周期性、奇偶性、单调性。
2．数学思想方法：数形结合。
【板书设计】
正切函数的图像及性质
一、正切函数图像 例1
1．画出正切函数的在一个周期内的图像； 例2
2．将图像向左、向右平移拓展到整个定义域上去； 例3
二、正切函数的性质
根据图像总结性质
3 / 3