3.3.2 正切函数的图象与性质教案-湘教版数学必修2

课题：3.3.2正切函数的图象与性质
Ⅰ．教学内容解析
《正切函数的性质和图象》是湘教2003课标版高中《数学》必修2第三章第三单元第二节内容，本节课既是对前面正、余弦函数图象和性质知识的延展，是对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫。
一般说来，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述。但对正切函数，教材先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象。 主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的体现得更加全面。在此也向学生进一步说明华罗庚先生的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数学的美无处不在，数学无处不美。
为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，采用《几何画板》课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。
Ⅱ．教学目标
1. 掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质的同时学会本节课研究数学问题的方法，培养积极主动的学习态度。
2. 利用迁移、类比的方法提高分析、探究问题的能力，拓展研究数学问题的视角，加强理性思考，体验数学的严谨之美.
3. 在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成。
Ⅲ．教学重、难点
教学重点：正切函数的图象、性质及其初步应用
教学难点：正切函数性质的探究
Ⅳ．学生学情分析
本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质之后，又一具体的三角函数。教材首先根据单位圆得到正切函数的定义，给出正切线的概念，并类比画正弦函数图象的方式，利用正切线画正切函数的图象，根据图象，研究正切函数的性质。体现了类比思想的应用，体现出数形结合思想在研究函数性质中的重要作用。学生已经掌握了正弦函数图像的画法和利用正弦函数的图象研究函数性质的方法，这为本节课的学习提供了知识的保障，这是有利的因素；但不足之处在于学生不能独立地运用数形结合的思想来研究正切函数的相关问题。
Ⅴ．教学策略设计
如何突出重点，突破难点，从而实现教学目标。我在教学中利用学案导学循环大课堂。坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，即“以学生活动为主，教师讲述为辅，学生活动在前，教师点拨评价在后”的原则，采用学生参与程度高的学案导学教学法。在学生课下看书、独立完成学案、小组讨论基础上，让一部分学生把自己的学习成果先展示在黑板上，然后让学生进行质疑讨论，最后老师在进行补充学生的不足进行总结评价。
Ⅵ．教学过程设计
（一）. 创设问题情境
问题1：前面两节课我们学习了什么内容？你还记得课题吗？
教师引导：一般来说，对函数性质的研究可以先作图象，通过观察图象获得对性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格证明。如前面我们学习的正弦函数，余弦函数.但对于正切函数性质咱们换一新视角来研究，先研究性质，再根据性质研究图象。下面借助研究正弦函数，余弦函数的图象和性质的经验，根据诱导公式和正切线对正切函数的性质进行研究。
问题2：类比我们已经学习的正弦函数、余弦函数的图像与性质，我们可以从哪些方面研究正切函数的性质？
【设计意图】开放式问题，让学生自由讨论，学生自己补充完善，得到正切函数的性质， 目的是发挥学生的主体性，将课堂还给学生，但教师要做好引导， 在学生的讨论过程中，让学生明白研究函数性质时，应注意的先后顺序。
(二) . 利用旧知 研究性质
我们对正切函数也已经有了初步的了解，譬如：正切线，与正切有关的诱导公式等，就已有的知识，让我们一起来尝试研究正切函数的性质。
1．定义域：
【这是研究函数的大前提，因此要先考虑，这点学生能比较容易想到，通过正切函数的定义，的终边不能落在y轴上，因此 ，这样我们就确定了研究范围】
2．周期性：最小正周期是
【通过正切的诱导公式得到，因此确定函数的周期为】
问题3：因为是周期函数，那对研究函数性质和图象时可以有什么帮助？
【设计意图】让学生再一次体会到函数周期的魅力，加深对周期的认识，自主发现周期函数可以缩小研究范围，因此我们只需要研究函数一个周期的性质即可，然后再一步步设问，引导学生确定只需要研究 的性质即可。
3．奇偶性：奇函数
【判断函数奇偶性首先应该判断函数定义域是否关于原点对称，这也就更进一步说明研究函数性质首先应该先研究函数定义域的必要性，再由正切函数的诱导公式： ，得到函数为奇函数】
问题4：因为是奇函数，那么只需要研究哪个区间？
【设计意图】加深对奇偶性的认识，发现对称之美。
4．单调性：在整个定义域上既不是增函数也不是减函数，但在开区间内，函数单调递增．
【根据函数的周期性、奇偶性，我们只需研究函数在 的单调性，学生根据已有的知识储备，自主讨论探索，培养学生自主解决问题的能力，同时又进一步复习了函数的单调性，根据函数的性质，可以得到在 为单调递增】
问题5：（1）正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？
（2）正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
【设计意图】通过这个问题，加深对函数单调性的理解，以及对下一步画正切函数的大致图象做好铺垫.
5．值域： R?
【由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当大于且无限接近时,正切线AT向轴的负方向无限延伸;当小于且无限接近时，正切线AT向轴的正方向无限延伸。因此，在内可以取任意实数,但没有最大值、最小值。因此,正切函数的值域是实数集R】
(三) . 利用性质 动手作图
我们已知了正切函数的部分性质，如何利用已有的性质画出正切函数的图像？
问题6：我们应当先画哪个区间上的图象？
追问： 直线与图象的位置关系怎样？
追问：只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(,)的简图？
追问：怎样得到整个定义域内的图象？
【展示学生图象】：对学生做图中出现的问题依依纠正。
探究：类比正弦函数图象的做法，利用单位圆做出在的图象。
（四）. 观察图像 丰富性质
问题7:你能观察正切函数图象进一步确认性质吗？
【设计意图】形与数的结合，更能加深对性质的认识，对比正切函数的性质和图像，分析各个
性质在图像上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图像，函数的图像是其性质的直观反
应。
师生活动：从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(+kπ,+kπ),k∈Z,没有减区间.
追问：（1）正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？
（2）正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
注意：只能说在某个区间单调递增，不能说在整个定义域单调递增。
它的图象是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数.
问题8：我们先前得到的性质还可以再完美些吗？
通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z
强调：正切函数的对称中心是图象和渐近线与x轴的交点。
(四) 及时训练 巩固新知
例1 ：利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小：
（1）
（2）
例2：求函数的定义域、周期和单调区间。
师生活动：学生板书，教师巡视，纠正错误．
(五)课堂小结
问题9 ：通过这节课的学习，大家有什么收获吗？? （由学生完成）
1.正切函数的性质与图象。
2. 性质有助于更有效的作图，研究图象；图象有助于更直观的研究性质。
3.数形结合的思想方法。
【设计意图】让学生分别从知识，方法，思想三个方面对本节课进行总结。
（六）作业布置：
必做题：习题 第 6、7、9题.
选做题：思考题：三研究函数的基本性质，并作出其函数图象。
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