4.2向量的加法_教案-湘教版数学必修2

向量的加法
【教学目标】
1．通过对向量加法的探究，掌握向量加法的概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能熟练掌握向量加法，平行四边形法则和三角形法投影，并能出已知两向量的和向量。
2．在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量之和，比如其线向量，共起点向量、共终点向量等。
3．通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力。
【教学重难点】
重点：向量加法的运算及其几何意义
难点：对向量加法的三角形法则的理解，以及求两共线向量的和。
【教学方法】
类比、探究，讲练结合及多媒体的运用。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
回顾旧知：
1．什么叫向量？如何表示向量？
既有大小，又有方向的量叫做向量。向量可用有向线段来表示。
2．什么叫相等向量？
方向相同，长度相等的两个向量叫做相等向量。
3．什么叫平行向量？
方向相同或相反的两个非零向量，叫做平行向量，平行向量也叫共线向量？
引入新课：
有了刚才所复习的这些知识作基础，接下来就可以进一步的探讨向量的运算了。
在数的运算中，加法运算是最基本的运算，类似地在向量的运算中，我们也从加法开始进行探索课题：向量的加法。
定义：求两个向量和的运算，收做向量的加法。
向量究竟是按怎样的方法相加的呢？
首先看下面的这个问题。
如图，作用在同一物体上的不共线的两个力和，它们是怎样合成的？
以、为邻边作□ OACB，则与、 共起点的对角线就是与的合力，即= +
即它们是按平行四边形法则合成的。
力的合成等同于向量的加法。说明向量的加法可以按照平行四边形法则来进行。
平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量、为邻边作□OACB，则以O为起点的对角线就是与的和，这种作两个向量的和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，即： = + 。
法则特点：两个已知向量的起点相同。
例1：如图已知向量、，求作向量 + 。
作法：在平面内任取点O，作 = ，OB = ，以OA、OB为邻边作□OACB，则 = + 。
练习：
点评练习：O点可以任意选取，因此可以的起点作为O点，将的起点移到点O作平行四边形。
问题：观察□ OACB中还有与相等的向量吗？
=，可见求、之和，可以直接将它们首尾相连，然后连接OC，则△OAC边就是+。
由此可知，求两个向量的和，只需将它们首尾相连，然后由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点就得到两个向量的和，这就是向量加法的：
三角形法则如图，已知非零向量、 在平面内任取一点A，作= 、 = ，则向量叫做与的和。记作+。
即：+=+=
这种求两个向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则。
大家回想，在物理中哪些矢量的合成通常是按三角形法则来进行的？物移的合成，比如，一个物体从A点移动到B点，再由B点移动到C点，相当于从A点直接移动到C点。所以位移的合成可以看成是向量加法的三角形法则的物理模型。
三角形法则的特点是：首尾相连，方向由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。规定：+=+=
前面的例1还可以用三角形法则来做（学生叙述，教师完成。）
练习：
从以上讨论可知，不共线向量的加法有两种方法可供选择：（1）平行四边形法则；（2）三角形法则。
问题：两个共线向量如何相加？
共线向量的加法
1．方向相同：意义类似于有理数加法中的“同号两数相加”，即和向量的长度等于两个向量的长长之和，方向与它们相同。
2．方向相反：类似于“异号两数相加”作法运用三角形法则，作法依然可用三角形法制。
和向量的长度等于用较长的模减去较短的模，方向取模较长的向量的方向。
由此可知，共线向量相加时，依然运用三角形法则。可见三角形法则适用于任意两个向量相加，而平行四边形法则只适用于不共线向量的加法。
问题：数的运算与运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算，向量的加法有没有交换律和结合律呢？
1、交换律： + = + ，如图，由三角形法则可知向量的加法满足交换律。
2、结合律：如图：（+）+= ，+（+）=，所以（+）+=+（+）
由上图还可知，++=++=，可见将三个向量首尾相加，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点，多个向量相加，同理可得结果。
可见，三角形法则不仅适用于两个向量相加，同样用于多个向量相加，同时也说明三角形法则的实质是首尾相接，而不是一定表示向量的有向线段要构成三角形。
补充练习：
小结：
本节探讨了向量的加法法则及加法运算律，法则的运用，具体是：
1．平行四边形法则：特点：起点相同。适用于不共线向量的加法。
2．三角形法则：特点：首尾相接。适用于任意向量的加法。
3．向量的加法满足：
（1）交换律：+=+
（2）结合律：（+）+=+（+）
【板书设计】
向量的加法
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