3.4.三角函数的周期性_教案-湘教版数学必修2

三角函数的周期性
【教学分析】
三角函数周期性的学习是为学习三角函数的图像和性质提供了问题背景，教学时充分运用这些问题背景以突出“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题.
周期函数的定义是教学中的一个难点.在教学中，可以从“周而复始的重复出现”出发，通过实际模型，一步步使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”“函数值就重复出现”等逐步抽象出函数周期性的定义.
教学中可以引导学生通过对三角函数实例的具体分析，帮助认识周期及周期函数.不应对一般的周期函数作过多的讨论.
【教学目标】
一、知识与能力：
1．了解周期函数的概念.
2．会判断简单函数的周期性，并会求简单三角函数的周期.
二、过程与方法
1．通过组织学生从生活实际问题逐步抽象出函数周期性的定义，不断增强学生分析问题、解决问题的能力.
2．通过本节的学习，归纳正弦函数、余弦函数的最小正周期，使学生进一步体会观察、比较、归纳、分析等一般科学方法的运用.
三、情感态度与价值观
1．通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型，增强学生的数学应用意识.
2．在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对三角函数周期性的理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.
3．通过学习，使学生了解数学是人类文化的重要组成部分，了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观.
【教学重点】
1．周期函数的定义
2．求一些简单的三角函数的周期.
【教学难点】
周期函数概念的理解.
【课时安排】
2课时
【教学过程】
【第一课时】
一、创设情境
T：今天是星期一，7天之后星期几？
S：星期一
T：14天之后呢？
S：还是星期一
T：自然界还有许多类似的现象，比如每个星期都是从星期一到星期天…你能找到类似的实例吗？
S：每年都有春、夏、秋、冬，地理课上的地球的自转，公转…
T：这些现象有什么共同特点呢？
S：都给我们重复、循环的感觉
T：同学总结的很好，它们都可以用“周而复始”来描述，我们把这些现象叫做周期现象。
设计思路：通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，激发学生的求知欲
二、学生活动
提出问题：点自点起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动.如图
T：P点的运动是周期运动吗？
S：是
设圆的半径为1，每4秒运动一周.设到的距离为，运动时间为，则是的函数，记为 .
（师引导，学生讨论得到下列结论）
，（在点位置）
，（在点位置）
（师生共同讨论，得到）
一般地，点运行分钟到达的位置与运行()分钟到达的位置相同，由此能得到这样的数学表达式：
设计思路：通过点的圆周运动这一模型，将自然现象数学化，经过问题的巧妙设置和师生的共同讨论，找到周期函数的数学特征，引导学生归纳出周期函数的定义
三、建构数学
1．周期函数及周期的定义
通过上面的讨论，归纳出周期函数的定义：
一般地，对于函数，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
通过对上面问题的讨论我们知道
因此可以认为4，8，12…都是它的周期.
2．最小正周期的定义
对于一个函数，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫的最小正周期.
显然上面问题中最小正周期为4
说明：今后如果不加特别说明，一般都指函数的最小正周期.
提出问题：正弦函数是周期函数吗？即能否找到非零常数T，使成立？
S：由知，正弦函数是周期函数，是它的周期.
S：因为，所以是周期函数，是它的周期.
T：以上同学哪位是正确的？
S：都是正确的，正弦函数是周期函数，是它的最小正周期.
讨论：余弦函数和正切函数也是周期函数，并找出它们的周期.
总结三角函数的周期性，并提出问题：周期函数的图象具有什么特征？
四、数学运用
例1若钟摆的高度h（mm）与时间t(s)之间的函数关系如图所示。
（1）求该函数的周期；
（2）求t=10s时钟摆的高度。
师组织学生围绕以下问题展开讨论：
问题1：周期函数具有什么特征？
问题2：能否根据周期性找到t=10s时钟摆的高度？
（师生共同讨论，完成解答）
设计思路：例1的设置可以直观的反映出周期函数图象的特点，
进一步的帮助同学理解周期函数的定义，并为正弦函数图象的学习打下良好的基础
例2求下列函数的周期
（1）
（2）
（3）
T：大家觉得求函数周期的依据是什么？
S：周期函数的定义.
S：的周期都是
（师板书第（1）题解答过程）
设周期为T，则，即对任意的都成立，也就是对任意实数都成立，其中.
由的周期为知，，即
所以的周期为
（学生练习完成（2）（3））
通过观察例2的3道小题的结果，引导学生归纳出
函数 及函数（其中为常数，且的周期为
设计思路：在本题的解答过程中，我们用到了处理问题的常用一种手段，整体换元，将比较复杂、陌生的问题转化成我们熟悉的问题加以解决，同时通过题组的形式，也便于学生归纳出一般的结论.
【教学反思】
本节课由实例引入，以点的圆周运动为模型，通过师生的合作探究，帮助学生更好的理解周期函数及周期的概念，并要求学生能够结合概念会求一些简单的三角函数的周期.
反思：课堂的各个教学环节不是一成不变的，应根据课堂上学生的实际情况，灵活组织，提高课堂驾驭能力；充分调动学生的学习主动性，使不同层次的学生都有收获.
【第二课时】
（教学过程的表述不必详细到将教师、学生的所有对话、活动逐字记录，但是应该把主要教学环节、教师活动、学生活动、设计意图很清楚地再现。）
教学环节 教师活动 预设学生行为 设计意图
1．创设情境 2．学生活动
提出问题：点自点起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动.
3．建构数学
（1）周期函数及周期的定义
（2）最小正周期的定义
4 ．数学运用 教师提出：今天是星期一，7天之后星期几？
和学生一起讨论
提出问题：正弦函数是周期函数吗？即能否找到非零常数T，使成立？ 学生讨论、分析。
交流讨论 通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，激发学生的求知欲。
通过点的圆周运动这一模型，将自然现象数学化，经过问题的巧妙设置和师生的共同讨论，找到周期函数的数学特征，引导学生归纳出周期函数的定。
【板书设计】
设周期为T，则，即对任意的都成立，也就是对任意实数都成立，其中.
由的周期为知，，
即，所以的周期为
【教学反思】
本节课由实例引入，以点的圆周运动为模型，通过师生的合作探究，帮助学生更好的理解周期函数及周期的概念，并要求学生能够结合概念会求一些简单的三角函数的周期。
反思：课堂的各个教学环节不是一成不变的，应根据课堂上学生的实际情况，灵活组织，提高课堂驾驭能力；充分调动学生的学习主动性，使不同层次的学生都有收获。
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