4.3向量与实数相乘_教案-湘教版数学必修2

向量与实数相乘
【教学分析】
实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。
【教学目标】
1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；
2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。
【教学重难点】
重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；
难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
【教学准备】
多媒体、实物投影仪
【教学设计】
【教学过程】
一、设置情境：
引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系，位移与速度的关系。这些公式都是实数与向量间的关系。
师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
生：的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同，的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反。
师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）
二、探索研究
1．定义：
请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）
可根据小学算术中的解释，类比规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行。
实数与向量的积是一个向量，记作.它的长度和方向规定如下：
（1）.
（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，.
2．运算律：
问：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）
生：，.
师：设、为任意向量，、为任意实数，则有：
（1）；
（2）；
（3）.
通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
小练习1：
计算：（1）； （2）；
（3）.
3．向量平行的充要条件：
请同学们观察，，回答、有何关系？
生：因为，所以、是平行向量.
引导：若、是平行向量，能否得出？为什么？可得出吗？为什么？
生：可以！因为、平行，它们的方向相同或相反.
师：由此可得向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.
对此定理的证明，是两层来说明的：
其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行.
其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.
小练习2：
如图：已知，，试判断与是否平行．
解：∵
∴与平行.
4．单位向量：
单位向量：模为1的向量.
向量（）的单位向量：与同方向的单位向量，记作.
思考：如何用来表示？ （）
例题与练习：
题1：如图，在中，是的中点，是延长线上的点，且，是根据下列要求表示向量：
（1）用、表示； （2）用、表示.
题2：如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：

题3：如图，已知，，，求证：∽
5．课堂小结：
（1）与的积还是向量，与是共线的；
（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；
（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。
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