5..2两角和与差的正切_教案-湘教版数学必修2

两角和与差的正切
【教学目标】
1．会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式,能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明．
2．通过两角和与差的正切公式的推导及运用,让学生从中体会转化与化归的思想方法,培养学生用联系变化的观点观察问题,通过学生的互相交流增强学生的合作能力,加强学生对公式的理解,在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次．
【教学重点】
两角和与差的正切公式的推导及应用．
【教学难点】
两角和与差的正切公式的灵活运用,特别是逆用及变形用．
【教学方法】
启发引导式、讲练结合法
【教学过程】
一、导入新课
1．回忆两角和与差的余弦公式、正弦公式。
2．通过前面的学习,你能否求出tan75°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求．教师进一步提出:能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课
二、推进新课、新知探究
活动：回答上述问题，教师板书过程。
提出问题
（1）通过上述特殊角的正切值得推导，利用所学两角和与差的公式,对比分析公式Cα-β、Cα+β、Sα-β、Sα+β,能否推导出tan(α-β)=?tan(α+β)=?
（2）分析观察公式Tα-β、Tα+β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？
（3）前面两角和与差的正、,余弦公式是恒等式,和与差的正切呢？
活动:引导学生观察思考前面我们推出的公式Cα-β、Cα+β、Sα+β、Sα-β,通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切,通过除以cosαcosβ即可得到,在这一过程中学生很可能想不到讨论cosαcosβ等于零的情况,这时教师不要直接提醒,让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果．对cosαcosβ讨论如下:
当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)=．
若cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子分母同除以cosαcosβ,得
tan(α+β)=．
根据角α、β的任意性,在上面的式子中,β用-β代之,则有
tan(α-β)=．
由此推得两角和与差的正切公式,简记为“Tα-β、Tα+β”．
tan(α+β)=;(Tα+β)
tan(α-β)=．(Tα-β)
我们把公式Tα+β,Tα-β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式
问题：通过刚才的推导你能说出α、β、α±β满足的范围吗？
生： α≠+kπ(k∈Z),β≠+kπ(k∈Z),α±β≠+kπ(k∈Z),这样才能保证tan(α±β)与tanα,tanβ都有意义．
教师应留出一定的时间让学生回味,反思探究过程,点明推导过程的关键是:
tan(α+β)→sin(α+β),cos(α+β)→sinα、sinβ、cosα、cosβ→tanα、tanβ．
教师说明：一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面:
①公式成立的条件是什么?(提示学生从公式的形式和推导过程看)tanα、tanβ、tan(α±β)都有意义,且1±tanαtanβ≠0;
②注意公式的形式:公式右边分子是单角α、β正切的和与差,分母是1减(或加)单角α、β正切的积公式,右边分子的符号与公式左边的符号相同,公式右边分母的符号与分子的符号相反;
③公式的作用:将复角α±β的正切化为单角α、β的正切形式,用于角的变换．(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明．
至此,我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,统一叫作三角函数的和差公式．一般地,我们把公式Sα+β,Cα+β,Tα+β都叫作和角公式,而把公式Sα-β,Cα-β,Tα-β都叫作差角公式．
要让学生明晰这六个公式的推导过程,清晰逻辑关系主线．可让学生自己画出这六个框图,通过逻辑联系图：
三、应用示例
例1：求tan150的值。
解略

解略。
活动说明：例1、例2主要是公式的正用与逆用，由学生回答。
例3：计算的值．
活动:教材安排本例的目的是让学生体会公式的逆用,难度不大,可由学生自己完成．对部分思路受阻的学生,教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点,再对比公式右边,马上发现与Tα-β右边形式相近,但需要进行一定的变形,又因tan45°=1,原式化为,再逆用公式Tα-β即可解得．
解:因为tan45°=1,
所以==tan(45°-15°)=tan30°=．
例4 已知tanα=2,tanβ=-,其中0＜α＜,＜β＜π．
(1)求tan(α-β);(2)求α+β的值．
活动:本例是两角和与差的正切公式的直接运用,教师可让学生独立解决．对于(2)教师要提醒学生注意判断角的范围,这是解这类题目的关键步骤．让学生养成良好的习惯:由三角函数值求角必先找出所求角的范围．
解:(1)因为已知tanα=2,tanβ=-,
所以tan(α-β)==7．
(2)因为tan(α+β)===1,
又因为0＜α＜,＜β＜π,所以＜α+β＜．
在与之间,只有的正切值等于1,所以α+β=．
例5：若tan(α+β)=,tan(β-)=,求tan(α+)的值．
活动:本例是教材和与差角公式的最后一个例题,需要用到拆角技巧,对此学生是熟悉的．教学时可让学生自己探究解决,但要提醒学生在以后解题时注意挖掘题目中隐含着的某种特殊的关系,通过细微而敏锐的观察、联想、转化等思维活动,以实现解题的突破．
解:因为α+=(α+β)-(β-),
所以tan(α+)=tan［(α+β)-(β-)］
=．
点评:本题是典型的变角问题,就是把所求角利用已知角来表示,具有一定的技巧,这就需要教师巧妙地引导,让学生亲自动手进行角的变换,使之明白此类变角的技巧,从而培养学生灵活运用公式的能力．
四、知能训练
本节课主要学习的是:推导了两角和与差的正切公式;研究了公式成立的条件、公式的形式及公式的作用;学习了公式的应用,通过公式的推导,加强了对“转化”数学思想方法的理解,掌握探究公式的方法,学会应用公式的三种基本方式;通过例题我们对公式不仅要会正用,还要会逆用,有时还需要适当变形后再用,这样才能全面地掌握公式．
【作业布置】
补充：已知一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)的两个根为tanα,tanβ,求tan(α+β)的值．
解:由韦达定理,得tanα+tanβ=-,tanαtanβ=,
∴tan(α+β)=．
【教学反思】
1．因为本节内容是两角和与差公式的最后一节,所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续,也注意了复习巩固两角和差公式．设计意图在于深刻理解公式的内在联系,学会综合利用公式解题的方法和技巧．因此本节课安排的几个例子都是围绕这个目标设计的,它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用．另外,通过补充的例题,教给学生正用、逆用、变形用公式的方法,培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力．
2．对于本节课来说,我们应该本着以学生为主体,教师为主导的原则,让学生充分发挥自己的学习智能,由学生唱好本节的主角．在设计例习题上,也是先让学生审题、独立思考、探究解法,然后教师再进行必要的点评．重在理清思路,纠正错误,点拨解法,争取一题多解,拓展思路,通过变式训练再进行方法提升,开拓题型．总之,本节教案的设计思想是把本节操作过程当作提升学生思维、运算能力的极佳载体．
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