5.1.1 两角和与差的正弦和余弦…教案-湘教版数学必修2

5.1.1 两角和与差的正弦和余弦
一、教材地位和作用分析：
两角和与差的余弦是本章的重要内容，是同角三角函数基本关系和诱导公式等知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、正切及二倍角公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。
二、学情分析：
本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过一个学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。
三、教学目标：
1、通过两角和与差的余弦公式的探究和推导，引导学生掌握公式的内容，通过公式的应用，使学生初步理解公式的结构及功能。
2、通过两角和与差的余弦公式的推导，让学生体会利用联系的观点分析问题，通过例题，提高学生分析问题能力、计算能力和合作学习的能力。
3、让学生经历公式的发现、探索、应用的过程，体验成功的乐趣，使学生掌握寻找数学的规律和方法，培养学生应用意识，提高数学素养。
四、教学重点和难点：
教学重点：两角和与差的余弦公式及其应用。
教学难点：两角和与差的余弦公式的推导及应用。
五、教学工具：多媒体
六、教学方法：讲授法，探究法
七、教学过程：
（一）创设情境，提出问题
我们已经知道等特殊角的三角函数值，那能否不通过査表求得角的余弦值？ 通过特殊角之间的关系，实数乘法满足分配律，我们猜想 ：成立吗？
上述例子告诉我们，并不成立，与和的三角函数值存在怎样的关系？这是本节课所要解决的问题。
回顾历史，用几何方法推导两角差的余弦公式:
“数学是从人的需要中产生的”（恩格斯语）。事实上，为改善天文、航海等计算，三角学才应运而生。早期，由于几何学发展的地位，数学家们最先是从几何的角度研究三角运算的。有两位古希腊数学家托勒密和帕普斯都用几何的方法推导出两角差的余弦 公式（如托勒密与弦图，帕普斯通过构造几何图形证明三角公式），接下来我们沿着数学家的足迹来研究上述问题：

思考：
（1）如图，设AM=1，你能用α-β、α、β的正弦或余弦来表示图中的线段AD、BN、CN吗？
（2）由此你能得出cos(α-β)与α、β的正弦和余弦有什么关系？
上述公式由于几何图形的限制，角α、β都是锐角且α>β，那么这一结论是否对任意的α、β都成立呢？因此，我们有必要寻找一个新的视角解决此问题。观察公式 cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ 左右两端的结构， 你能联想到最近学习的什么运算？
（二）双基回眸，复习旧知
为更好的研究这个问题，先来做两个知识铺垫：
（通过填写导学案知识点使学生回顾所学知识、为新课的推进做准备。）
1、数量积的定义： ；
2、数量积的坐标表示：若，，则 ；
3、夹角余弦公式: .
（三）步步为营，探究新知
1、如图，A、B分别为角α、β 的终边与单位圆上的交点，
则
点的坐标为 ；点的坐标为

；

对任意的、，上述关系仍然成立吗？
（让学生通过特殊值在转化到一般情况，符合学生的认知规律。）
设，，则
，又由，，的夹角为， 由夹角公式得
当时，就是；对任意
，总可选取适当的正数，使，所以。所以得到
现在我们得到了的余弦，的余弦又等于多少？（完成导学案探究）
探究：已知两个角的正弦、余弦，求的余弦。
用代替，可得到两角和的余弦公式：
．
点评：加与减的本身是统一的，可以看成，利用变量替换的方法得出两角和的余弦公式。
由此得到两角和与差的余弦公式：
强调的任意性。
观察两个公式，你能归纳上述两角和与差的余弦公式在结构上的特征吗？
（归纳公式特征有利于学生记忆）
括号内的符号与展开式的符号相反；
乘在一起的三角函数名相同；
差的余弦先写余弦相乘。
（四）深入探究，应用公式
例1 请用特殊角分别代替公式中、，你能求哪些非特殊角的值呢？（选择的特殊角可以是30°60°45°等）
（1） ；
（2）；
（3） .
……
刚刚我们一起探究了公式在求值方面的应用，求值一般是从左到右的应用，作为一个等式，它存在正用和逆用两方面。下面请思考例2.
例2 求下列式子的值：
（1）;
（2）;
（3）.
通过这两个题我们发现两个公式的功能就是用来求值和化简，下面来看例3.
例3、已知，求，的值。
变式：已知，求的值。
总结：利用公式时要注意哪些角已知，尽可能用已知角表示未知角，代入求解。比如常见的有，等。
（五）归纳小结，感悟思维方法
下面请同学们总结一下这节课学习的内容。（学生总结，教师点评补充）
布置作业，复习巩固
教材132页:1.(1)(2) 2. (1) 3. (1) 12
探究：探究两角和与差的正弦公式。
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