2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市道里区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市道里区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（共10小题）.
1．下列选项中的方程，是二元一次方程的是（　　）
A．x﹣2y＝3z B．x＝2y C．x2﹣2y＝3 D．xy＝5
2．下列选项中的图形，有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如果a＞b，那么下列不等式中不能成立的是（　　）
A．a﹣3＞b﹣3 B．﹣4a＜﹣4b C．2a＞2b D．﹣5a＞﹣5b
4．有两组数据，甲组数据：1，2，3，4，5；乙组数据：2，3，4，5，6；它们的方差分别记为S甲2和S乙2，则
（　　）
A．S甲2＞S乙2 B．S甲2＝S乙2 C．S甲2＜S乙2 D．无法比较
5．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角可能（　　）
A．都是钝角 B．都是锐角
C．一个锐角、一个钝角 D．一个锐角、一个直角
6．为了解某学校七年级学生一次知识问卷的得分情况，小红随机从中抽查50份问卷，结果如表：
知识问卷得分 （单位：分） 65 70 75 80 85
人数 1 15 16 15 3
则这50名同学问卷得分的众数是（　　）
A．15 B．16 C．75 D．80
7．不等式组的最小整数解是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
8．如图，△ABC中∠A＝115°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（　　）
A．180° B．230° C．290° D．295°
9．如图，CD是直角△ABC斜边AB上的高，CB＞CA，图中相等的角共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
10．在△ABC中，AB＝AC，△ABC的中线BD将这个三角形的周长分为9和15两个部分，则BC长为（　　）
A．12 B．4 C．12或4 D．6或10
二.填空题（每题3分，共30分）
11．已知2x﹣y＝4，用含有x的式子表示y，则y＝　 　．
12．若点（﹣2，m﹣4）在第二象限，则实数m的范围是　 　．
13．六边形共有对角线　 　条．
14．若方程my﹣x＝2的一个解是，则m的值为　 　．
15．十边形的内角和度数是外角和度数的　 　倍．
16．如图，AD，BE分别为△ABC的高与中线，若BC＝8，AD＝4，则△BEC的面积为　 　．
17．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＞3﹣y，则a的取值范围是　 　．
18．如图，AC为四边形ABCD的对角线，∠B＝∠D＝90°，CD＝CB，∠DAC＝66°，则∠BCD为　 　度．
19．四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，CB＝CD，∠B＝55°，则∠D是　 　度．
20．如图，△ABC，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别为△ABC的中线，高，角平分线，AE与BF交于点G，过点F作BC的垂线，点H为垂足，若AG＝12，DH：HC＝3：2，则CF的长为　 　．
三.解答题
21．解下列不等式与方程组．
（1）2x﹣2＞4﹣x；
（2）．
22．如图，图中网格是由边长为1的小正方形组成的，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上．
（1）在AC下方确定点D在网格中只画线段AD，CD，使△ADC≌△ABC；
（2）完成（1）后，在网格内确定点E，点E在小正方形的顶点上，画线段EA，ED，使得到的五边形ABCDE的面积是四边形ABCD面积的倍．
23．某小区为了解2500户居民的月用水情况，从该小区中随机抽取40户进行调查，将得到的数据（取整数）整理后绘制了如图所示的统计图．根据统计图回答下列问题：
（1）求所抽调的40户居民的月用水量的平均数？
（2）直接写出所抽调的40户居民的月用水量的众数及中位数；
（3）估计该小区2500户居民每月共用水多少吨？
24．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，OA＝OC．
（1）求证：AD＝BC；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积为△AOB面积的2倍的三角形．
25．一汽车销售商店经销AB两种型号轿车．用400万元可购进A型轿车25辆和B型轿车10辆；用300万元可购进A型轿车18辆和B型轿车8辆．
（1）A型与B型轿车每辆的进价分别为多少万元？
（2）若该汽车销售商店购进A，B两种型号的轿车共80辆，且购车资金不超过900万元，该汽车销售商店至少购进A型轿车几辆？
26．如图，四边形ABCD，∠A＝∠CDA＝90°，点E在AB上，点F在CD的延长线上，连接EF交AD于点G，DF＝AE．
（1）如图1，求证：点G为AD的中点；
（2）如图2，连接BG，CG，∠GBA＝∠GBC，求证：BG⊥CG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD交CG于点O，过点F作BG的平行线交CG于点H，若FD：CD＝5：4，AE：BC＝5：13，求的值．
27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，a），点B的坐标为（b，0），实数a，b满足．
（1）求点A，B的坐标；
（2）横坐标为t的点P在线段OB上，连接PA，设△ABP的面积为S（S≠0），用含t的式子表示S；
（3）在（2）的条件下，分别过A，B作AP，OB的垂线交于点E，点D在AE的延长线上，ED＝AP，点C在x轴上点B的右侧，∠ABC＝90°+∠DCB，∠PAB＝∠PAO+∠PBA，求四边形ABCD的面积．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列选项中的方程，是二元一次方程的是（　　）
A．x﹣2y＝3z B．x＝2y C．x2﹣2y＝3 D．xy＝5
解：A．x﹣2y＝3z，是三元一次方程，故本选项不合题意；
B．x＝2y属于二元一次方程，故本选项符合题意；
C．x2﹣2y＝3，是二元二次方程，故本选项不合题意；
D．xy＝5，是二元二次方程，故本选项不合题意；
故选：B．
2．下列选项中的图形，有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、B、D中都是四边形，不具有稳定性，
C中是三角形，有稳定性，
故选：C．
3．如果a＞b，那么下列不等式中不能成立的是（　　）
A．a﹣3＞b﹣3 B．﹣4a＜﹣4b C．2a＞2b D．﹣5a＞﹣5b
解：A．a＞b两边都减去3得a﹣3＞b﹣3，故本选项不符合题意；
B．a＞b两边都乘﹣4得﹣4a＜﹣4b，故本选项不符合题意；
C．a＞b两边都乘2得2a＞2b，故本选项不符合题意；
D．a＞b两边都乘﹣5得﹣5a＜﹣5b，故本选项符合题意．
故选：D．
4．有两组数据，甲组数据：1，2，3，4，5；乙组数据：2，3，4，5，6；它们的方差分别记为S甲2和S乙2，则
（　　）
A．S甲2＞S乙2 B．S甲2＝S乙2 C．S甲2＜S乙2 D．无法比较
解：甲＝（1+2+3+4+5）÷5＝3，
乙＝（2+3+4+5+6）÷5＝4，
∵s甲2＝[（3?1）2+（3?2）2+（3?3）2+（3?4）2+（3?5）2]＝2，
S乙2＝[（4?2）2+（4?3）2+（4?4）2+（4?5）2+（4?6）2]＝2，
∴S甲2＝S乙2，
故选：B．
5．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角可能（　　）
A．都是钝角 B．都是锐角
C．一个锐角、一个钝角 D．一个锐角、一个直角
解：∵四边形的内角和为360°，一组对角都是直角，
∴另一组对角的和为180°，
因此这两个角不可能都是钝角，也不可能都是锐角，也不可能一个锐角一个直角，有可能一个锐角一个钝角，
故选：C．
6．为了解某学校七年级学生一次知识问卷的得分情况，小红随机从中抽查50份问卷，结果如表：
知识问卷得分 （单位：分） 65 70 75 80 85
人数 1 15 16 15 3
则这50名同学问卷得分的众数是（　　）
A．15 B．16 C．75 D．80
解：数据75出现次数最16，所以众数是75分．
故选：C．
7．不等式组的最小整数解是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
解：解不等式2x+3＞﹣1，得：x＞﹣2，
解不等式x﹣4＜2﹣2x，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜2，
所以不等式组的最小整数解为﹣1，
故选：B．
8．如图，△ABC中∠A＝115°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（　　）
A．180° B．230° C．290° D．295°
解：∵∠A＝115°，
∴∠B+∠C＝65°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣65°＝295°．
故选：D．
9．如图，CD是直角△ABC斜边AB上的高，CB＞CA，图中相等的角共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
解：∵CD是直角△ABC斜边AB上的高，
∴∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
同理得：∠B＝∠ACD，
∴相等的角一共有5对，
故选：D．
10．在△ABC中，AB＝AC，△ABC的中线BD将这个三角形的周长分为9和15两个部分，则BC长为（　　）
A．12 B．4 C．12或4 D．6或10
解：根据题意，
①当12是腰长与腰长一半时，AC+AC＝15，解得AC＝10，所以腰长为10；
②当9是腰长与腰长一半时，AC+AC＝9，解得AC＝6，所以腰长为6．
故腰长等于6或10．
故选：D．
二.填空题（每题3分，共30分）
11．已知2x﹣y＝4，用含有x的式子表示y，则y＝　2x﹣4　．
解：方程2x﹣y＝4，
解得：y＝2x﹣4．
故答案为：2x﹣4．
12．若点（﹣2，m﹣4）在第二象限，则实数m的范围是　m＞4　．
解：∵点（﹣2，m﹣4）在第二象限，
∴m﹣4＞0，
解得，m＞4，
故答案为m＞4．
13．六边形共有对角线　9　条．
解：根据题意得：，
则六边形共有9条对角线，
故答案为：9．
14．若方程my﹣x＝2的一个解是，则m的值为　2　．
解：把代入方程my﹣x＝2，
得3m﹣4＝2，
解得m＝2．
故答案为：2．
15．十边形的内角和度数是外角和度数的　4　倍．
解：∵十边形的内角和为：（10﹣2）×180°＝1440°，十边形的外角和为360°，
又∵1440°÷360°＝4，
∴十边形的内角和度数是外角和度数的4倍，
故答案为：4．
16．如图，AD，BE分别为△ABC的高与中线，若BC＝8，AD＝4，则△BEC的面积为　8　．
解：如右图，作BH⊥AC于H，
∴S△ABC＝AC?BH，S△BEC＝CE?BH，
∵E为AC的中点，
∴CE＝AC，
∴S△BEC＝S△ABC，
又∵S△ABC＝BC?AD＝＝16，
∴S△BEC＝S△ABC＝＝8，
故答案为：8．
17．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＞3﹣y，则a的取值范围是　a＞4　．
解：，
①﹣②×2得：﹣3x＝3，即x＝﹣1，
把x＝﹣1代入②得：﹣2+y＝a，即y＝2+a，
代入已知不等式得，﹣1＞3﹣（2+a），
解得：a＞4．
故答案为a＞4．
18．如图，AC为四边形ABCD的对角线，∠B＝∠D＝90°，CD＝CB，∠DAC＝66°，则∠BCD为　48　度．
解：∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC和△ADC是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠DCA＝∠BCA，
∵∠DAC＝66°，
∴∠DCA＝90°﹣∠DAC＝24°，
∴∠BCD＝∠DCA+∠BCA＝2∠DCA＝48°，
故答案为：48．
19．四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，CB＝CD，∠B＝55°，则∠D是　55或125　度．
解：如图1，当∠D为锐角时，
过C作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，
又∵AC平分∠BAD，
∴CE＝CF，
在Rt△BCF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△BCF≌Rt△DCE（HL），
∴∠D＝∠B＝55°，
图1
当∠ADC为钝角时，如图2：
图2
过C作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，
又∵AC平分∠BAD，
∴CE＝CF，
在Rt△BCF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△BCF≌Rt△DCE（HL），
∴∠CDE＝∠B＝55°，
∴∠ADC＝125°，
综上：∠D为55°或125°．
故答案为：55或125．
20．如图，△ABC，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别为△ABC的中线，高，角平分线，AE与BF交于点G，过点F作BC的垂线，点H为垂足，若AG＝12，DH：HC＝3：2，则CF的长为　15　．
解：连接GH，如图所示．
∵∠BAC＝90°，FH⊥BC，BF平分∠ABC，
∴AF＝HF，∠ABF＝∠HBF，
在Rt△ABF和Rt△HBF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△HBF（HL），
∴AB＝HB．
在△ABG和△HBG中，
，
∴△ABG≌△HBG（SAS），
∴AG＝HG＝12，∠BAE＝∠BHG，
∵AE⊥BC，
∴∠C+∠CAE＝90°，
又∠CAE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠C，
∴∠C＝∠BHG，
∴GH∥AC，
∴△BHG∽△BCF，
∴，
∵DH：HC＝3：2，
∴设DH＝3x，HC＝2x，
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD＝3x+2x＝5x，
∴BC＝2BD＝10x，BH＝BD+DH＝5x+3x＝8x，
∴，
即＝，
∴，
∴FC＝15，
故答案为：15．
三.解答题
21．解下列不等式与方程组．
（1）2x﹣2＞4﹣x；
（2）．
解：（1）移项得：2x+x＞4+2
合并得：3x＞6，
解得：x＞2；
（2），
①×2+②得5x＝5，即x＝1，
将x＝1代入②得：y＝2，
则方程组的解为．
22．如图，图中网格是由边长为1的小正方形组成的，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上．
（1）在AC下方确定点D在网格中只画线段AD，CD，使△ADC≌△ABC；
（2）完成（1）后，在网格内确定点E，点E在小正方形的顶点上，画线段EA，ED，使得到的五边形ABCDE的面积是四边形ABCD面积的倍．
解：（1）如图，△ADC即为所求作．
（2）如图，点E即为所求作．
23．某小区为了解2500户居民的月用水情况，从该小区中随机抽取40户进行调查，将得到的数据（取整数）整理后绘制了如图所示的统计图．根据统计图回答下列问题：
（1）求所抽调的40户居民的月用水量的平均数？
（2）直接写出所抽调的40户居民的月用水量的众数及中位数；
（3）估计该小区2500户居民每月共用水多少吨？
解：（1）（6×4+7×12+8×10+9×8+10×6）÷40＝8（吨），
答：所抽调的40户居民的月用水量的平均数是8吨；
（2）根据统计图得，所抽调的40户居民的月用水量的众数是7吨，
中位数是第20与第21个数的平均数，
∴中位数是8；
（3）所抽调的40户居民的月用水量的平均数是8吨，
∴该小区2500户居民每月共用水：2500×8＝20000（吨），
答：估计该小区2500户居民每月共用水20000吨．
24．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，OA＝OC．
（1）求证：AD＝BC；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积为△AOB面积的2倍的三角形．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△OAD和△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（ASA），
∴AD＝BC．
（2）解：如图，过点A，C分别作AM⊥DB，CN⊥BD于点M，N，
由（1）知，△OAD≌△OCB，OB＝OD，
S△AOB＝OB?AM，S△AOD＝OD?AM，S△BOC＝OB?CN，S△COD＝OD?CN，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△COD，
∴S△ABC＝S△ACD＝S△ABD＝S△BCD＝2S△AOB，
故面积为△AOB面积的2倍的三角形有：△ABC，△ACD，△ABD，△BCD．
25．一汽车销售商店经销AB两种型号轿车．用400万元可购进A型轿车25辆和B型轿车10辆；用300万元可购进A型轿车18辆和B型轿车8辆．
（1）A型与B型轿车每辆的进价分别为多少万元？
（2）若该汽车销售商店购进A，B两种型号的轿车共80辆，且购车资金不超过900万元，该汽车销售商店至少购进A型轿车几辆？
解：（1）设A型轿车每辆的进价为x万元，B型轿车每辆的进价为y万元，
依题意得：，
解得：．
答：A型轿车每辆的进价为10万元，B型轿车每辆的进价为15万元．
（2）设该汽车销售商店购进A型轿车m辆，则购进B型轿车（80﹣m）辆，
依题意得：10m+15（80﹣m）≤900，
解得：m≥60．
答：该汽车销售商店至少购进A型轿车60辆．
26．如图，四边形ABCD，∠A＝∠CDA＝90°，点E在AB上，点F在CD的延长线上，连接EF交AD于点G，DF＝AE．
（1）如图1，求证：点G为AD的中点；
（2）如图2，连接BG，CG，∠GBA＝∠GBC，求证：BG⊥CG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD交CG于点O，过点F作BG的平行线交CG于点H，若FD：CD＝5：4，AE：BC＝5：13，求的值．
解：（1）∵∠A＝∠CDA＝90°，
∴∠A＝∠FDG＝90°，
在△FDG和△EAG中，
，
∴△FDG≌△EAG（AAS），
∴DG＝AG，
∴点G为AD的中点；
（2）过点G作GM⊥BC于点M，
在△GAB和△GMB中，
，
∴△GAB≌△GMB（AAS），
∴GA＝GM，∠AGB＝∠MGB＝∠AGM，
由（1）知，DG＝AG，
∴DG＝MG，
在Rt△GDC和Rt△GMC中，
，
∴Rt△GDC≌Rt△GMC（HL），
∴∠DGC＝∠MGC＝∠DGM，
∵∠AGM+∠DGM＝180°，
∴∠CGM+∠BGM＝90°，
∴∠CGB＝90°,
∴BG⊥CG；
（3）过点G作GM⊥BC于点M，
设AE＝DF＝5a，则CD＝4a，BC＝13a，
∴CF＝CD+DF＝9a，
延长FH交BC于点N，
∵FH∥BG，BG⊥CG，
∴FH⊥CH，
∴∠CHF＝∠CHN＝90°，
在△FCH和△NCH中，
，
∴△FCH≌△NCH（ASA），
∴CN＝CF＝9a，
∵DC＝CM，AB＝GM，
∴BC＝GM+CM＝AB+CD，
∴AB＝9a，
过点C作CK⊥AB于点K，
∴∠AKC＝∠DAE＝∠CDA＝90°，
∴四边形ADCK是矩形，
∴CD＝AK＝4a，
∴BK＝AB﹣AK＝5a，
在Rt△BCK中，CK2＝BC2﹣BK2,
∴CK＝12a，
∴CK＝AD＝12a，
∴AG＝DG＝6a，
∵FN∥BG，
∴＝，
∴CH＝CG，
延长CG交BA延长线于点J，
在△CDG和△JAG中，
，
∴△CDG≌△JAG（ASA），
∴CD＝AJ＝4a，CG＝GJ＝CJ，
∴BJ＝AB+AJ＝13a，
∵∠CDG＝∠GAJ＝90°，
∴CD∥BJ，
∴＝＝，
∴＝
∵CJ＝2CG，
∴＝，
∴GO＝CG﹣CO＝CG，
∴＝＝．
27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，a），点B的坐标为（b，0），实数a，b满足．
（1）求点A，B的坐标；
（2）横坐标为t的点P在线段OB上，连接PA，设△ABP的面积为S（S≠0），用含t的式子表示S；
（3）在（2）的条件下，分别过A，B作AP，OB的垂线交于点E，点D在AE的延长线上，ED＝AP，点C在x轴上点B的右侧，∠ABC＝90°+∠DCB，∠PAB＝∠PAO+∠PBA，求四边形ABCD的面积．
解：（1）∵．
∴，
∴A(0，2)，B(4，0)；
（2）∵P(t，0)，且0≤t≤4，
∴OP＝t，PB＝4﹣t，
∴S△ABP＝PB?OA＝×(4﹣t)×2＝4﹣t，
∴S＝4﹣t，
∵S≠0，
∴4﹣t≠0，
∴t≠4，
∴0≤t＜4，
∴S＝4﹣t(0≤t＜4)；
（3）如图，过点B作BN⊥AP于点N，作BM⊥AE于点M，过点D作DH⊥BC于点H，
∴∠BNP＝∠BMA＝∠DHB＝∠DHC＝∠AOB＝90°，
∴∠PAO+∠APO＝∠PBN+∠BPN＝90°，
∵∠APO＝∠BPN，
∴∠PAO＝∠PBN，
∵∠PAB＝∠PAO+∠PBA，∠ABN＝∠PBA+∠PBN，
∴∠PAB＝∠ABN，
∵∠PAB+∠ABN＝90°，
∴∠PAB＝∠ABN＝45°，
∵∠PAE＝90°，
∴∠BAM＝45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴BM＝AM，
在△ABM和△ABN中，
，
∴△ABM≌△ABN(AAS)，
∴BM＝BN，∠ABM＝∠ABN＝45°，
∴∠MBN＝∠OBE＝90°，
∴∠PBN＝∠EBM，
在△BPN和△BEM中，
，
∴△BPN≌△BEM(AAS)，
∴BP＝BE，∠BPN＝∠BEM，
∵∠BPA＝180°﹣∠BPN，∠BED＝180°﹣∠BEM，
∴∠BPA＝∠BED，
在△BAP和△BDE中，
，
∴△BAP≌△BDE（SAS），
∴∠ABP＝∠DBE，BA＝BD，
∵DH∥BE，
∴∠BDH＝∠DBE，
∴∠BDH＝∠ABP，
在△BDH和△ABO中，
，
∴△BDH≌△ABO(AAS)，
∴∠DBH＝∠BAO，DH＝OB＝4，BH＝OA＝2，
∴OH＝OB+BH＝4+2＝6，
∵∠ABC＝90°+∠DCB，∠ABC＝90°+∠ABE，
∴∠DCB＝∠ABE，
∵BE∥OA，
∴∠ABE＝∠BAO，
∴∠DCB＝∠DBH，
在△DCH和△DBH中，
，
∴△DCH≌△DBH(AAS)，
∴△DCH≌△BAO，
∴S四边形ABCD＝S四边形ABHD+S△DCH＝S四边形ABHD+S△BAO＝S四边形AOHD，
∵S四边形AOHD＝×(OA+DH)×OH＝×(2+4)×6＝18，
∴S四边形ABCD＝18．