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人教版
九年级上册
21.3
实际问题与一元二次方程
新知导入
学习目标：
1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程；
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
新知导入
列方程解应用题的步骤有哪些呢？
审:审清题目，明确已知量和未知量以及它们之间的关系
设:设出未知数
列:根据已知量和未知量之间的等量关系列出方程
解:解方程，求出未知数的值
验:检验方程的解是否具有实际意义
答:写出答案
问题：若一人患流感，每人每轮能传染5人，则第一轮过后共有__人患了流感，第二轮过后共有___人患了流感.
新知讲解
6
36
探究1：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有
个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有
个人患了流感.
x+1
(x+1)2
合作探究
列方程
(x+1)2=121
解方程，得
x1=10，x2=
-12(舍)
答：平均一个人传染了10个人.
思考：如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？
合作探究
121×（1+10）=1331（人）
传播问题
a(1+x)n=b
其中，a代表原有人数，x代表一个人传染的人数，n代表传播次数，b代表现在传染的人数.
合作探究
小结：
探究2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元.
合作探究
解方程，得
x1≈0.225，x2≈
1.775
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
思考：为什么选择22.5%作为答案？
注意：年平均下降额不等同于年平均下降率.
合作探究
列方程
5000(1-x)2=3000
解方程，得
答：甲、乙药品成本的年平均下降率一样.
分析：设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后甲种药品成本为6000(1-y)元，两年后甲种药品成本为6000(1-y)2元.
列方程
6000(1-y)2=3600
y1≈0.225，y2≈
1.775
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
合作探究
变化率问题
原来的量×（1±变化率）时间间隔=现在的量
其中，增长率时：1+变化率；
下降率时：1-
变化率.
合作探究
小结：
合作探究
探究3：要设计一本书的封面,封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?
合作探究
分析：封面的长宽之比是27：21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7.
设中央的矩形的长和宽分别是9a
cm和7a
cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
设上、下边衬的宽均为9x
cm，左、右边衬的宽均为7x
cm，则中央的矩形的长为(27-18x)
cm，宽为(21-14x)
cm.
合作探究
如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三.
列方程
解方程，得
思考：方程的哪个根符合实际意义？为什么？
合作探究
(27-18x)(21-14x)=
×27×21
整理，得
16x2-48x
+9=0
如果换一种设未知数的方法，是否有更简单的方法？请你试一试.
答：上、下边衬的宽均为
cm，左、右边衬的宽均为
cm.
合作探究
方法二：封面的长宽之比是27：21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7.
设中央的矩形的长和宽分别是9x
cm和7x
cm，要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三.
解得：
上、下边衬的宽度是：
左、右边衬的宽度是：
面积问题：
矩形面积=长×宽
正方形面积=边长×边长
三角形面积=底×高÷2
合作探究
小结：
课堂练习
1.
为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式
传播.
他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上,
再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请
n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，
共有111人参与了传播活动，则n=
.
10
课堂练习
2.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为(
)
A.x2=1980
B.x(x+1)=1980
C.x(x-1)=1980
D.
x(x-1)=1980
C
课堂练习
3.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为(
)
A.1+x+x(1+x)=73
B.1+x+x2=73
C.1+x2
=73
D.(1+x)2=73
B
课堂练习
4.学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比
赛），共进行了15场比赛，那么有
个球队参加了这次比赛.
6
课堂练习
5.某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x，列方程(
)
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2
)=720
D.720(1+x)2=500
B
课堂练习
6.如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个
面积为
640
的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为
80m的栅栏围成，若设栅栏
AB
的长为
x
m，则根据题意可列
方程_______________．
x2-80x+1280=0
A
B
x
课堂练习
7.如图是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，且互相垂直)，把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的面积为570平方米，问：道路宽为多少米？
解：设道路宽为x米.
由题意知：(32-2x)(20-x)=570
解得
x1=1
，x2=35（舍）
答：道路宽为1米.
课堂总结
1．传播问题的规律：
如果一开始是1个人，每轮传染中平均一个人传染x个人.
第n轮，一共有
(1+x)n
个人被传染.?
2．变化率问题的求解：
3．面积问题的求解：矩形面积=长×宽
正方形面积=边长×边长
三角形面积=底×高÷2
原来的量×（1±变化率）时间间隔=现在的量
板书设计
21.3
实际问题与一元二次方程
探究1：传播问题
探究2：变化率问题
探究3：面积问题
作业布置
1.必做题：教材P22
第
6、7
、8题
2.选做题：教材P22
第
9
题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
21.3实际问题与一元二次方程
教学设计
课题
21.3
实际问题与一元二次方程
单元
第21章
学科
数学
年级
九年级
学习目标
1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程；2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
重点
能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程.
难点
将实际问题转化为数学问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：列方程解应用题的步骤有哪些呢？审：审清题目，明确已知量和未知量以及它们之间的关系；设：设出未知数；列：列出方程，根据已知量和未知量之间的等量关系列出方程；解：解方程，求出未知数的值；验：检验方程的解是否具有实际意义；答：写出答案.
学生回忆、思考并回答问题
熟悉列方程解应用题的步骤.
讲授新课
环节一：探究问题问题：若一人患新冠肺炎，每人每轮能传染5人，则第一轮过后共有6人患了流感，第二轮过后共有36人患了流感.探究1：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有x+1个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有(x+1)2个人患了流感.列方程(x+1)2=121解方程，得x1=10，x2=
-12(舍)答：平均一个人传染了10个人.思考：如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？121×(1+10)=1331(人)小结：传播问题：如果一开始是a个人，每轮传染中平均一个人传染x个人.n轮后，一共有
a(1+x)n个人被传染.探究2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元.列方程5000(1-x)2=3000解方程，得x1≈0.225，x2≈
1.775根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.思考：为什么选择22.5%作为答案？注意：年平均下降额不等同于年平均下降率.分析：设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后甲种药品成本为6000(1-y)元，两年后甲种药品成本为6000(1-y)2元.列方程6000(1-y)2=3600解方程，得y1≈0.225，y2≈
1.775根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.答：甲、乙药品成本的年平均下降率一样.小结：变化率问题：原来的量×（1±变化率）时间间隔=现在的量其中，增长率时：1+变化率；
下降率时：1-
变化率.探究3：要设计一本书的封面,封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?分析：封面的长宽之比是27：21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7.
设中央的矩形的长和宽分别是9a
cm和7a
cm，种由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是设上、下边衬的宽均为9x
cm，左、右边衬的宽均为7x
cm，则中央的矩形的长为(27-18x)
cm，宽为(21-14x)
cm.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三.
列方程(27-18x)(21-14x)=×27×21整理，得16x2-48x
+9=0解方程，得思考：方程的哪个根符合实际意义？为什么？答：上、下边衬的宽均为
cm，左、右边衬的宽均为
cm.如果换一种设未知数的方法，是否有更简单的方法？请你试一试.方法二：封面的长宽之比是27：21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7.
设中央的矩形的长和宽分别是9x
cm和7x
cm，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三.
列方程9x·7x
=解得x=上、下边衬的宽度是cm左、右边衬的宽度是cm答：上、下边衬的宽均为cm，左、右边衬的宽均为
cm.小结：面积问题：矩形面积=长×宽正方形面积=边长×边长三角形面积=低×高÷2
环节二：课堂练习为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播.
他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n=10.2.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为(
C
)A.x2=1980
B.x(x+1)=1980
C.x(x-1)=1980
D.x(x-1)=19803.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为(
B
)A.1+x+x(1+x)=73
B.1+x+x2=73
C.1+x2=73
D.(1+x)2=734.学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有
6个球队参加了这次比赛.5.某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x，列方程(
B
)A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为
640
的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为80m的栅栏围成，若设栅栏
AB
的长为
x
m，则根据题意可列方程x2-80x+1280=0．7.某如图是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，且互相垂直)，把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的面积为570平方米，问：道路宽为多少米？解：设道路宽为x米由题意知：(32-2x)(20-x)=570解得
x1=1
，x2=35（舍）答：道路宽为1米.
师生合作，完成三个探究问题.在老师的引导下，学生探究，讲传播问题转化成数学问题.师生共同分析，学生发现一元二次方程在实际应用中所要注意的问题.学生自行探究用其他方法解决问题.学生练习，师生互评订正.
掌握传播问题、变化率问题、面积问题.将实际问题转化成数学问题，总结传播问题的解决方法.引导学生发现用数学问题解决问题，要结合生活实际，掌握变化率问题的解决方法.培养学生发散思维能力，用多种方法解决同一问题.通过练习，使学生熟练掌握实际问题与一元二次方程的关系.
课堂小结
1．传播问题的规律：如果一开始是1个人，每轮传染中平均一个人传染x个人.第n轮，一共有
(1+x)n个人被传染.?2．变化率问题的求解：原来的量×（1±变化率）时间间隔=现在的量3．面积问题的求解：矩形面积=长×宽正方形面积=边长×边长三角形面积=底×高÷2
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
21.3
实际问题与一元二次方程探究1：
探究2：
探究3：
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.
A
B
x
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精品试卷·第
2
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（共
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