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人教版
九年级上册
22.1.1
二次函数
新知导入
学习目标：
1.理解并掌握二次函数的概念和一般形式；
2.会利用二次函数的概念解决问题；
3.根据实际问题列出二次函数表达式.
新知导入
1.什么是函数？
2.什么是一次函数？正比例函数？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数．当b=0
时，一次函数y=kx就叫做正比例函数．
新知讲解
问题1：正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y．显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为
.
新知讲解
问题2：n
个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数
m
与球队数
n
有什么关系？
分析：每个球队要与其他(n-1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为:
新知讲解
问题3：某种产品现在的年产量是
20
t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加
x
倍，那么两年后这种产品的产量
y
将随计划所定的
x
的值而确定，y
与
x
之间的关系应怎样表示？
分析：这种产品的原产量是20
t，一年后的产量是20(1+x)
t，再经过一年后的产量是20(1+x)2
t，即两年后的产量是：
新知讲解
思考：上面三个问题中的关系式有什么共同点?
都有两个变量，对于
x（或
n）
的每一个值，y
（或
m）都有唯一的一个对应值，即
y
是
x
的函数（或
m
是
n
的函数）．
而且函数都是用自变量的二次式表示的.
新知讲解
形如
y=ax?+bx+c
(a，b，c是常数，a≠
0)的函数叫做二次函数．其中
x
是自变量，a，b，c
分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
二次函数的定义：
y=ax?+bx+c是二次函数的一般形式.
其他特殊形式：（1）当b=0
时，y=ax?+c
（2）当c=0
时，y=ax?+bx
新知讲解
注意：1.
等号左边是函数，等式右边是关于自变量的整式；
2.
二次项系数a≠0；
3.
二次项系数、一次项系数、常数项包含前面的符号；
4.
自变量的最高次数是2；
5.
自变量的取值范围：一般情况是全体实数，实际问题要符合实际意义.
新知讲解
思考：二次函数的一般式y=ax?+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有什么联系和区别？
联系：
(1)等式一边都是ax2+bx+c且a≠0；
(2)方程ax2+bx+c=0可以看成函数y=ax2+bx+c中y=0时得到的.
区别:
(1)前者是函数,后者是方程；
(2)函数的左边是y,方程右边是0.
合作探究
例
1
下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项.
(1)y=3(x-1)?+1
(2)
(3)
s=3-2t?
(4)
y=(x+3)?-x?
(5)v=10πr?
(6)
y=ax2
√
二次项系数:3，一次项系数:-6，常数项:4
×
√
二次项系数:-2，一次项系数:0，常数项:3
×
先整理化简后，再作判断
√
二次项系数:10π，一次项系数:0，常数项:0
×
强调a≠0
合作探究
例
2
如果
是二次函数，求m的值.
解：由题意知
解得
m=0
（1）二次项系数不等于0.
（2）未知数最高次数为2.
合作探究
例
3
如图，矩形绿地的长、宽各增加
x
m，写出扩充后的绿地的面积
y
与
x
的关系式．
解：由题意知
30
m
x
m
20
m
x
m
扩充后的绿地的面积是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600，
即
y=x2+50x+600.
课堂练习
1.下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项.
√
a=3,b=0,c=2
×
√
a=1,b=-5,c=6
×
×
课堂练习
3.
关于x的函数
是二次函数,
则m=______
.
2.
一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积
S
与底面半径
r
之间的关系式_______．
S=4πr2
2
课堂练习
4.
已知
(1)m取什么值时,此函数是正比例函数？
(2)m取什么值时,此函数是二次函数？
解：
(1)由题可知
解得
(2)由题可知
解得
m=3.
课堂总结
定义
一般形式
二次函数
应用
y=ax?+bx+c
(a，b，c是常数，a≠
0)
特殊形式
y=ax?+bx
y=ax?+c
求未知字母m的值
根据实际问题列出二次函数表达式
a，b，c包含前面的符号，a≠
0
未知数的最高次数为2
板书设计
22.1.1
二次函数
定义：
一般形式：
例1
例2
例3
练习
作业布置
1.必做题：教材P41
第
1、2
题
2.选做题：教材P56
第
1、2
题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
22.1.1二次函数
教学设计
课题
22.1.1二次函数
单元
第22章
学科
数学
年级
九年级
学习目标
1.理解并掌握二次函数的概念和一般形式；2.会利用二次函数的概念解决问题；3.根据实际问题列出二次函数表达式.
重点
1.理解并掌握二次函数的概念和一般形式；2.会利用二次函数的概念解决问题．
难点
理解并掌握二次函数的概念和一般形式．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：1.什么是函数？一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．什么是一次函数？正比例函数？一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数．当b=0
时，一次函数y=kx就叫做正比例函数．
学生回忆并回答问题.
回顾函数、一次函数、正比例函数的定义.
讲授新课
环节一：探究二次函数的定义问题1：正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y．显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示问题2：n
个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数
m
与球队数
n
有什么关系？分析：每个球队要与其他(n-1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为:问题3：某种产品现在的年产量是
20
t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加
x
倍，那么两年后这种产品的产量
y
将随计划所定的
x
的值而确定，y
与
x
之间的关系应怎样表示？分析：这种产品的原产量是20
t，一年后的产量是20(1+x)
t，再经过一年后的产量是20(1+x)2
t，即两年后的产量是：思考：上面三个问题中的关系式有什么共同点?都有两个变量，对于
x（或
n）
的每一个值，y
（或
m）都有唯一的一个对应值，即
y
是
x
的函数（或
m
是
n
的函数）．而且函数都是用自变量的二次式表示的.
二次函数的定义：形如
y=ax2+bx+c
(a，b，c是常数，a≠
0)的函数叫做二次函数．其中
x
是自变量，a，b，c
分别是二次项系数、一次项系数和常数项．y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式.
其他特殊形式：（1）当b=0
时，y=ax2+c当c=0
时，y=ax2+bx注意：1.
等号左边是函数，等式右边是关于自变量的整式；
2.
二次项系数a≠0；
3.
二次项系数、一次项系数、常数项包含前面的符号；
4.
自变量的最高次数是2；
5.
自变量的取值范围是：一般情况是全体实数，实际问题要符合实际意义.思考：二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有什么联系和区别？联系：(1)等式一边都是ax2+bx+c且a≠0；(2)方程ax2+bx+c=0可以看成函数y=ax2+bx+c中y=0时得到的.区别:(1)前者是函数,后者是方程；(2)函数的左边是y,方程右边是0.
环节二：二次函数定义的运用例1
下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项.(1)y=3(x-1)?+1
√
二次项系数:3，一次项系数:-6，常数项:4
×s=3-2t?
√
二次项系数:-2，一次项系数:0，常数项:3
(4)
y=(x+3)?-x2
×
先整理化简后，再作判断(5)v=10πr?
√
二次项系数:10π，一次项系数:0，常数项:0
(6)
y=ax2
×
强调a≠0例2
如果是二次函数，求m的值.解：由题意知解得
m=0强调：满足的条件：（1）二次项系数不等于0；（2）未知数最高次数为2例
3
如图，矩形绿地的长、宽各增加
x
m，写出扩充后的绿地的面积
y
与
x
的关系式．解：由题意知扩充后的绿地的面积是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600即
y=x2+50x+600环节三：课堂练习1.下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项.
√
a=3,b=0,c=2
×
√
a=1,b=-5,c=6
×
×2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积
S
与底面半径
r
之间的关系式S=4πr23.关于x的函数是二次函数,
则m=2.4.
已知
(1)m取什么值时,此函数是正比例函数？
(2)m取什么值时,此函数是二次函数？解：(1)由题可知解得由题可知解得m=3
学生自学课本P28
，回答问题.归纳得出二次函数的定义.并找出二次函数与一元二次方程的区别和联系.运用二次函数的定义进行判断、求解未知字母的值以及解决实际问题.学生练习、板演解题过程，师生互评，进行订正.
从具体问题到一般规律获得二次函数的定义，区别二次函数和一元二次方程的定义.深刻理解二次函数的定义，初步理解问题
(?http:?/??/?zk.?/?"
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"欢迎登陆全品中考网?)并能用所学的知识解决问题
(?http:?/??/?zk.?/?"
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"欢迎登陆全品中考网?).培养学生运用数学知识解决问题的能力和对知识的应用意识.
课堂小结
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
22.1.1
二次函数定义：
一般形式：y=ax?+bx+c（a≠0）例1
例2
例3
练习
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.
二次函数
a，b，c包含前面的符号，a≠
0
定义
未知数的最高次数为2
y=ax?+bx+c
(a，b，c是常数，a≠
0)
一般形式
y=ax?+bx
y=ax?+c
求未知字母m的值
应用
根据实际问题列出二次函数表达式
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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