3.2.1任意角三角函数的定义_课件1-湘教版必修2（31张PPT）

1．理解任意角三角函数的概念，掌握三角函数在各个象限
的符号．
2．了解三角函数线，会画角的正弦线、余弦线、正切线．
任意角三角函数的定义
三角函数的定义
如图，在α的终边上任取一点P(x，y)，
(原点除外)
设OP＝r(r≠0)．
定义
自学导引
1．
依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当α≠2kπ± (k∈Z)时，它有唯一的正切值与之对应．因此这三个对应法则都
是以α为自变量的函数，分别叫做角α的____________、
_________和_________．
三角函数的定义域
余弦函数
正弦函数
正切函数
2．
三角
函数
定义域
sin α
__
cos α
__
tan α
________________________________
R
R
3.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
4．正弦线、余弦线、正切线统称为___________．
三角函数线
当α∈(0， )时，你能比较α，sin α，tan α这三者之间的大小吗？
自主探究
提示　如图，设角α的始边与单位圆的交点为A，角α的终边与单位圆的交点为P，过P点作x轴的垂线交x轴于M点过A点作单位圆的切线，交OP的延长线于T点，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sin α，AT＝tan α.
已知α的终边与单位圆的交点为 ，则tan α＝ (　　)．
预习测评
1.
答案　C
已知sin α＞0，则α为 (　　)．
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角
D．第三象限角
答案　C
下列各式的值为正的是 (　　)．
A．cos 2－sin 2 B．cos 2·sin 2
C．tan 2·cos 2 D．sin 2·tan 2
解析　∵2是第二象限角，∴cos 2<0，tan 2<0，
∴tan 2·cos 2>0.　
答案　C
2．
3．
4.
对三角函数定义的理解
(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应，三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．
(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．如在求正切时，若点P的横坐标x等于0，则tan α无意义．
名师点睛
1．
(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．
(4)符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin ”、“cos ”、“tan ”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．
对三角函数线的理解
(1)三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦
2．
线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．
(2)三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT.
(3)三角函数线的作用
三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础．
(4)注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
已知角α的终边为射线y＝－ x(x≥0)，求角α的正弦、余弦和正切值．
题型一　利用定义求三角函数值
【例1】
典例剖析
点评　利用任意角三角函数的定义，求角α的三角函数值，则只要在角α终边上任取一点，就可利用其坐标求解．
求cos θ与tan θ.
1.
求下列函数的定义域：
题型二　三角函数的定义域
【例2】
点评　求三角函数的定义域，除了使已知的式子有意义之外，三角函数本身的定义域也不可忽视，如tan x中x的取值要特别注意．
2.
判断下列各式的符号：
(1)sin 340°·cos 265°；
题型三　三角函数值的符号
【例3】
解　(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin 340°＜0，cos 265°＜0，
∴sin 340°·cos 265°＞0.
点评　三角函数值“符号看象限”，熟练掌握各象限内的三角函数值符号，是解题的基础，对绝对值大于360°或2π的角，可通过找出0°～360°(或0～2π)内与终边相同的角判断其象限．
若cos θ<0且sin θ>0，则 是第________象限角． (　　)．
A．一　　　B．三　　　C．一或三　　D．任意象限角
3.
答案　C
利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围：
题型四　三角函数线的应用
【例4】
点评　用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下几点：(1)熟悉角α的正弦线、余弦线、正切线；(2)先找到“正值”区间，即0～2π中满足条件的角α的范围，然后再加上周期；(3)注意取值区间是开区间还是闭区间．
利用三角函数线证明|sin α|＋|cos α|≥1.
4．
证明　当α终边落在坐标轴上时，正弦(或余弦)线变成一个点，而余弦(或正弦)线的长等于1，所以|sin α|＋|cos α|＝1.
当角α终边落在四个象限时，利
用三角形两边之和大于第三边有
|sin α|＋|cos α|＝|OP|＋|MP|>1，
∴|sin α|＋|cos α|≥1.
设0≤α＜2π，若sin α＞ cos α，则角α的取值范围是
(　　)．
误区警示　因不注意三角函数值的符号而出错
【示例】
答案　A
答案　C
纠错心得　不等式的两边乘以(或除以)一个正数，不等号不改变方向；不等式的两边乘以(或除以)一个负数，不等号要改变方向．本题的cos α可为正、也可为负、还可为零，因此，不等式的两边同除以cos α，要分情况讨论．本题利用了三角函数线求角的取值范围，利用三角函数线求角的取值范围的方法是：先画出单位圆，再根据三角函数线的定义找出“临界”函数线，接着确定满足不等式的角的终边所在的范围．
利用三角函数的定义求三角函数值时，要注意对含参数问题的讨论．
借助三角函数的定义，在理解的基础上记忆三角函数值在各象限内的符号，并熟记特殊角的三角函数值．
特殊角的三角函数值如下表：
课堂总结
1．
2．
三角函数线是三角函数的几何表示，它体现了三角函数中的数形结合思想．其应用表现在以下三个方面：(1)证明有关不等式；(2)解三角不等式；(3)比较大小．
3.