3.1.1角的概念的推广_课件1-湘教版必修2（27张PPT）

1．理解任意角、象限角的概念，会用集合语言表示终边
相同的角．
2．会求某范围内与角α终边相同的角．
角的概念的推广
角的概念
(1)角的概念：角可以看成平面内_________绕着_____从一个位置____到另一个位置所形成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
自学导引
1．
一条射线
端点
旋转
类型
定　义
图　示
正角
按_______________形成的角
负角
按_______________形成的角
零角
一条射线_______________，称它形成了一个零角
逆时针方向旋转
顺时针方向旋转
没有作任何旋转
象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是______
____．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝_________，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与___________的和．
2.
3．
第几象
限角
α＋k·360°
整数个周角
若α是第四象限的角，那么 是第二象限的角吗？如果不是，请说明理由．
自主探究
5分钟的时间，分针所转过的角度是 (　　)．
A．360° B．－360°
C．5° D．－30°
答案　D
下列各角中是第二象限角的有________个 (　　)．
①125°　②195°　③－200°　④179°
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　①、③、④中的角都是第二象限角，故选C.
答案　C
预习测评
1．
2．
与25°角终边相同的角的集合是 (　　)．
A．{α|α＝25°＋360°}
B．{α|α＝25°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝25°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－25°＋k·360°，k∈Z}
答案　C
在0°～360°范围的与－30°终边相同的角是________．
答案　330°
3．
4．
对象限角的认识
(1)象限角的前提条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
(2)角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角(或者说这个角属于第几象限)．各象限角的集合表示如下：
第一象限角：
{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}；
第二象限角：
名师点睛
1．
{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}；
第三象限角：
{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}；
第四象限角：
{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}．
(3)角的终边若落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，称它为轴线角(或称为象限界角)．轴线角的集合表示如下：
{α|α＝k·360°，k∈Z} 　{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}
{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}　　{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}
对终边相同的角的认识
(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的非负半轴重合．
2．
(2)对于与角α终边相同的角的集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}明确以下几点：k为整数；α为任意角；k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成是k·360°＋(－30°)；终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角．
(1)420°　(2)－75°　(3)855°　(4)－510°
解　作出各角的终边如图所示：
题型一　终边相同的角与象限角
【例1】
典例剖析
由图可知(1)420°是第一象限角；(2)－75°是第四象限角；
(3)855°是第二象限角；(4)－510°是第三象限角．
点评　象限角的判定其实有两种方法：一是图象观察法
(如上)，二是转化为与0°～360°角终边相同的角(今后常用)．
在与1 089°角终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)在－360°～720°内；(2)最大的负角；(3)最小的正角．
解　与1 089°角终边相同角的一般形式为α＝k·360°＋
1 089°(k∈Z)．
(1)由－360°≤α＜720°，得－360°≤k·360°＋1 089°＜720°(k∈Z)，－1 449°≤k·360°＜－369°(k∈Z)，
所以k＝－4，－3，－2，
所以在－360°～720°内与角1 089°终边相同的角分别为
－351°、9°、369°.
(2)由α＜0°，得k·360°＋1 089°＜0°(k∈Z)，
1．
(3)由α＞0°，得k·360°＋1 089°＞0°(k∈Z)，
写出终边在直线y＝x上的角的集合．
解　终边在直线y＝x上的第一象限角的集合为
M＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}，
第三象限角的集合为N＝{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}．
∴终边在直线y＝x上的角的集合为
M∪N＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}
＝{α|α＝2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}
＝{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．
∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．
题型二　终边在一条直线上的角
【例2】
写出终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合．
解　第二象限时，α＝k·360°＋135°，k∈Z；第四象限时，α＝k·360°＋315°＝k·360°＋180°＋135°，即第二象限角α＝k·360°＋135°＝2k·180°＋135°，第四象限角α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z，综合知：终边在第二、四象限角平分线的角的集合{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．
2．
已知α是第二象限角，试确定2α， 的终边所在的位置．
解　因为α是第二象限角，
所以k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z.
所以2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z，
所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上．
因为k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，
题型三　　相关角所在象限的判定
【例3】
已知α是第三象限角，则 是 (　　)．
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第四象限角
D．第二或第四象限角
　　　　
3．
答案　D
若α是第三象限的角，则 是 (　　)．
A．第一象限的角
B．第三象限的角
C．第四象限的角
D．第一象限或第三象限或第四象限的角
误区警示　以偏概全而出错
【示例】
答案　D
任意角包括正角、负角、零角．在平面直角坐标系中，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限就叫做第几象限角，当角的终边在坐标轴上时叫做轴线角(或象限界角)．与α终边相同的角有无数多个，这无数多个组成的集合为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
课堂总结
1．
2．
由α所在象限，确定 所在象限，也可用如下方法判断：
(1)画出区域：将坐标系每个象限二等分，得8个区域；
3.
(2)标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(如图所示)；
(3)确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为所求．
由α所在象限，确定 所在象限，也可用如下方法判断：
4．
(1)画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到12个区域；
(2)标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，如图所示；
(3)确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为所求．