3.1.2弧度制_课件1-湘教版必修2（24张PPT）

1．理解弧度制的意义，能正确进行弧度与角度的换算．
2．理解弧度制下，任意角的集合与实数集之间建立一一
对应的关系．
3．掌握扇形的弧长公式及扇形的面积公式．
弧度制
角的单位制
(1)角度制：规定周角的 为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：单位圆上长度为1的圆弧所对的圆心角取为度量的单位，称作弧度(radian)，这样的单位制称为弧度制(radian measure)．
自学导引
1．
(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α＝x弧度所对的弧长为l，那么l，x，r之间存在的关系是： ;
这里x的正负由角α的__________________决定．正角的弧
度数是一个____，负角的弧度数是一个____，零角的弧度数是__．
角度与弧度的互化
(1)周角＝360°＝2π弧度；
_______ 弧度，
终边的旋转方向
正数
负数
0
2．
0.017 45
1
扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
3．
自主探究
下列叙述中，正确的是 (　　)．
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角
的一种度量单位
答案　D
预习测评
1．
一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是 (　　)．
2．
答案　A
在半径为2的圆中，圆心角为 所对的弧长是________．
3．
α＝kπ＋ (k∈Z)表示的角的终边在________上．
答案　y轴
4．
弧度制的有关概念
关于弧度制的理解，主要明确如下几点：
名师点睛
1．
(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的定值，“弧度”或“度”仅仅是为了能使角的概念描述得更具体而设置的一个“过渡量”，这对于推广角的概念有积极的意义．
角度制与弧度制的区别与联系
(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度“°”为单位表示角时，度“°”就不能省去．
2．
(2)弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法．弧度制与角度制相比有一定的优点．其一是在进位上，角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算，而弧度制是十进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运用起来方便．
(3)需注意的一个问题，在今后表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度制表示角，但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用，例如：α＝2kπ＋30°
(k∈Z)，β＝k·360°＋ π(k∈Z)都是不允许的．
(1)将下列各角度化成弧度：①1 080°；②－750°；
(2)将下列各弧度化成角度：①－ ；② .
题型一　角度制与弧度制的换算
【例1】
典例剖析
1.
用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)
题型二　 　弧度制表示角的范围
【例2】
点评　首先可以利用弧度制与角度制间的关系将有关角化为弧度数，同时在表示所给角的范围时还要注意正角和负角之间的转化．
用弧度制表示第二象限角的集合为________．
2．
解答下列各题：
(1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解　(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，
题型三　扇形的弧长与面积
【例3】
①代入②得r2－5r＋4＝0，解之得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8 cm，此时，θ＝8>2π舍去．
(2)设扇形的圆心角为x，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，
∴l＝40－2r，
已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积．
3．
将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式为________．
错解　因为－1 485°＝－4×360°－45°
＝－4×360°＋(－360°＋315°)＝－5×360°＋315°，
所以－1 485°化为2kπ＋α形式应为－10π＋315°
答案　－10π＋315°
错因分析　只考虑了将－1 485°写成了“2kπ”的组合形式，而忽视了对α的要求，忽视了角度和弧度的统一，这是初学者易犯的一个错误．
误区警示　因角度制与弧度制混用而出错
【示例】
正解　由－1 485°＝－5×360°＋315°，
纠错心得　表示角时，要么全用角度制，要么全用弧度制，不能混用．
角度制与弧度制的互化：熟记基本关系180°＝π弧度．然后用公式 进行求解，并注意各自的单位．
角进行了推广后，实数与角之间建立了一种一一对应关系，即每一个角都有唯一的实数与它对应，反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应．
使用弧度制下的弧长公式，扇形面积公式有诸多优越性，但是如果已知角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算．
课堂总结
1．
2．
3．