3.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质_课件1(1)-湘教版必修2（23张PPT）

1．理解正弦函数、余弦函数的奇偶性的概念，并能够判
断和应用三角函数的奇偶性．
2．理解正弦函数和余弦函数的对称性．
3．理解正弦函数、余弦函数最大值和最小值的概念，会
求三角函数的最值或值域．
正弦函数、余弦函数的图象与性质
正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是__，定义域关于____对称．
(2)由sin(－x)＝______知正弦函数y＝sin x是__上的__函数，它的图象关于_____对称．
(3)由cos(－x)＝____知余弦函数y＝cos x是R上的__函数，它的图象关于____对称．
自学导引
1．
R
原点
－sin x
R
奇
原点
cos x
偶
y轴
y＝sin x的定义域为__，值域为________．y＝cos x的定义域为__，值域为________．
正弦函数y＝sin x
(1)最大值1，当且仅当x＝ ＋2kπ(k∈Z)时取得；
2．
3．
R
[－1，1]
R
[－1，1]
(3)图象与x轴的交点(y＝0的点)的坐标为(kπ，0)，(k∈Z)．
余弦函数y＝cos x：
4．
已知f(x)＝sin(2x＋φ)，试求φ为何值时：(1)f(x)是奇函数？(2)f(x)是偶函数？
提示(1)∵f(x)的定义域为R.
∴当f(x)为奇函数时必有f(0)＝0，
即sin φ＝0，∴φ＝kπ(k∈Z)．
即当φ＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝sin(2x＋φ)是奇函数．
(2)∵偶函数的图象关于y轴对称，且正余弦函数在对称轴处取最值．
∴要使f(x)为偶函数，需有f(0)＝±1，
自主探究
函数f(x)＝sin 3x是 (　　)．
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
答案　A
预习测评
1．
2.
答案　B
函数y＝4sin(2x＋π)关于 (　　)．
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝ 对称
答案　B
3．
设M和m分别是函数y＝ cos x＋1的最大值和最小值，则M－m等于 (　　)．
4．
答案　B
根据正弦函数和余弦函数的奇偶性与周期性可知，正弦曲线和余弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形．
(1)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值．正弦曲线的对称轴为x＝kπ＋ k∈Z)，余弦曲线的对称轴为x＝kπ(k∈Z)．
名师点睛
1．
2．
判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝－3cos 2x；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
解　(1)显然x∈R，
∵f(－x)＝－3cos(－2x)＝－3cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
题型一　正弦函数、余弦函数的奇偶性
【例1】
典例剖析
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
点评　判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系．
A．奇函数　　　　　　B．非奇非偶函数
C．偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析　∵f(x)＝xsin x，定义域为R，f(－x)＝－xsin(－x)
＝xsin x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
答案　C
1.
题型二　图象的对称性
【例2】
点评　正弦函数、余弦函数图象的对称轴就是过最值点且垂直于x轴的直线，对称中心是其图象与x轴的交点．但正、余弦函数在某个指定区间内的图象，不一定有对称轴或对称中心．如函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象有一个对称中心(π，0)，但没有对称轴；函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象有一条对称轴x＝π，但没有对称中心．
函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ的一个取值是
(　　)．
2.
答案　A
求下列函数的最大值和最小值：
题型三　正弦函数、余弦函数的最值
【例3】
点评　求三角函数的最值(或值域)，方法灵活，因题而异，其基本思路是将所求函数的最值(或值域)转化为正、余弦函数的最值(或值域)．
3.
误区警示　在求msin x的最值时考虑不周全而出错
【示例】
错因分析　函数y＝a＋bsin x的最值受b的影响，当b＞0时，最大值为a＋b，最小值为a－b；当b＜0时，最大值为a－b，最小值为a＋b.
纠错心得　对于msin x及mcos x，不能简单地认为它们的最大值为m，最小值为－m.应按m的符号进行讨论．一般地，msin x及mcos x的最大值为|m|，最小值为－|m|.
讨论对称问题时要注意最值点、平衡点的必然联系，形成思维网络．
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，判断函数定义域关于原点对称后，可先把解析式化简后再判断奇偶性．函数的奇偶性体现了图象的对称性，要牢记正弦曲线、余弦曲线的对称轴与对称中心．
讨论三角函数的所有性质都要在其定义域内进行．
课堂总结
1．
2．
3．