3.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质_课件1-湘教版必修2（23张PPT）

1．会用正弦线画正弦曲线，会利用平移作余弦函数的图象．
2．会用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线的简图．
正弦函数、余弦函数的图象与性质
正弦函数图象的画法
(1)几何法—借助三角函数线；
(2)描点法—五点法．
函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上起关键作用的点有以下五个：
自学导引
1．
余弦函数图象的画法
(1)依据诱导公式cos x＝sin ，要得到y＝cos x的图象，只须把y＝sin x的图象向__平移 个单位长度即可．
(2)用“五点法”画出余弦函数y＝cos x在[0，2π]上的图象时所取的五个关键点分别为：

2．
左
函数y＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
自主探究
在同一坐标系里作出函数y＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k.
由图可知，当函数y＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点时，k的取值范围是
1＜k＜3.
正弦曲线上最高点的纵坐标是 (　　)．
　　　　
预习测评
1．
答案　D
y＝1＋sin x，x∈[0，2π)的图象与直线y＝ 有______个交点 (　　)．
A．1 B．2 C．3 D．0
答案　B
在[0，2π]上，f(x)＝cos x的零点有________个 (　　)．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
2．
3．
在“五点法”中对于正弦曲线，最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于 (　　)．
4．
答案　B
正弦曲线的几何作法
利用单位圆中的正弦线，可以作出正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象，具体分为如下五个步骤：
(1)作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧画单位圆．
(2)把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)如图．过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0， …，2π等角的正弦线．
名师点睛
1．
(3)找横坐标：把x轴上从0～2π(2π≈6.28)这一段分成12等份．
(4)找纵坐标：将正弦线对应平移，即可找出相应的12个点．
(5)连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得y＝sin x，x∈[0，2π]的图象．
我们通过图象的平移作正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．因为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫做正弦曲线．
下图是正弦曲线y＝sin x，(x∈R)的图象：
“五点法”
在精确度要求不太高的情况下，可用五点法作出y＝sin x的图象，x∈[0，2π]的图象上有五点起决定作用，它们是(0，0)、 (2π，0)．描出这五
2．
点后，其图象的形状基本上就确定了．
因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做“五点法”．
作出下列函数的简图．
(1)y＝1－sin x，x∈[0，2π]；
(2)y＝－1－cos x，x∈[0，2π]．
解　(1)利用“五点法”作图
列表：
?
题型一　“五点法”作图
【例1】
典例剖析
描点作图，如图所示：
(2)列表：
描点作图，如图所示．
点评　作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．
作出函数y＝ 的图象．
解　原函数可化为y＝|sin x|，
作出函数y＝sin x的图象，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，其图象如图：
1.
求函数y＝lg sin x＋ 的定义域．
题型二　利用图象求定义域
【例2】
点评　求有关正弦函数、余弦函数的定义域问题，就是先列出使函数解析式有意义的关于sin x和cos x的不等式或不等式组，再借助正弦曲线、余弦曲线找出使不等式成立的x的取值范围．此类问题也可借助单位圆中的正弦线、余弦线求解．
函数y＝ 的定义域是______________．
2.
在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
解　建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0，2π)的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．
题型三　　利用三角函数的图象判断方程解的个数
【例3】
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．
点评　三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．
方程sin x＝x的实数解的个数为 (　　)．
A．1 B．2 C．3 D．5
解析　在同一平面直角坐标系中，作出直线y＝x和正弦曲线y＝sin x，观察图象可知，x＝0是方程的一个实数解．而在(0，＋∞)上总有sin x答案　A
3．
当x∈[ ，π]时，sin x＝2m－1，求实数m的取值范围．
错解　因为－1≤sin x≤1，所以－1≤2m－1≤1，解得m的取值范围0≤m≤1.
误区警示　不注意三角函数的取值范围而出错
【示例】
纠错心得　三角函数的取值范围与定义域有关，因此，在求解有关范围问题时，一定要先看清定义域，再由定义域推得三角函数的取值范围，最后求出正确答案．
正弦曲线和余弦曲线的形状完全相同，只是在同一直角坐标系下的位置不同．
三角函数图象直观地反映了三角函数的性质，所以画好三角函数的图象是研究三角函数性质的关键，因此一定要掌握正弦、余弦函数的图象特征，特别是会灵活运用五点作图法准确作出函数图象．
关键点指的是图象的最高点、最低点及与x轴的交点．
利用正弦曲线、余弦曲线，可以根据三角函数值的范围判断角的范围，也可以判断某些超越方程实数解的个数．要求准确作图，数形结合，综合分析．
课堂总结
1．
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3．
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