4.5.1向量的数量积_课件1-湘教版必修2（21张PPT）

向量的数量积
[学习目标]
1．理解向量数量积的含义及其物理意义，体会向量数量积与向量投影的关系．
2．能正确熟练地应用向量数量积的定义、运算律进行运算．
[知识链接]
1．如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？
答：　W＝|F||s|cosθ
2．向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
答:向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向．
[预习导引]
1．两个向量的夹角规定〈a，b〉为a，b之间所夹的 的 角，取值范围规定为 ．
2．向量的数量积(内积)定义|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
最小
非负
[0，π]
3．定理5：数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b ·a，对任意向量a，b成立；
(2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)，对任意向量a，b和实数λ成立；
(3)分配律：(a＋a′)·b＝a·b＋a′·b，对任意向量a，a′，b成立.
要点一　平面向量数量积的基本概念
例1　下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线?a·b＝|a||b|；④|a||b|0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长．其中正确的是________．
答案　①②⑥
解析　由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线?a·b＝±|a||b|，所以③错．对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错；a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错；|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故⑧错．
综上可知①②⑥正确．
规律方法　对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．
跟踪演练1　已知a、b、c是三个非零向量，则下列问题中真命题的个数为 (　　)
①a·b＝±|a|·|b|?a∥b；
②a、b反向?a·b＝－|a|·|b|；
③a⊥b?|a＋b|＝|a－b|；
④|a|＝|b|?|a·c|＝|b·c|.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　①∵a·b＝|a||b|cos θ，∴由a·b＝±|a||b|及a、b为非零向量可得cos θ＝±1，∴θ＝0或π.∴a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是真命题．②若a、b反向，则a、b的夹角为π，∴a·b＝|a||b|·cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③当a⊥b时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a、b为邻边的四边形为矩形，∴a⊥b，故命题③是真命题．④当|a|＝|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|.故命题④是假命题．
综上，在四个命题中，前3个是真命题，第4个是假命题．
要点二　平面向量数量积的基本运算
例2　已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
解　①当a∥b时，
若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；
规律方法　非零向量共线的充要条件是a·b＝±|a|·|b|，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能．
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；
②当a与b的夹角是60°时，有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝9.
跟踪演练2　若向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，求a·b＋b·c＋c·a.
解　法一　由已知得|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，
向量a与b同向，而向量c与它们反向．
∴a·b＋b·c＋c·a＝3cos 0°＋4cos 180°＋
12cos 180°＝3－4－12＝－13.
法二　∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，
∴a·b＋b·c＋c·a＝＝＝－13.
答案　C
2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________.
答案　－25
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．
再见