4.4向量的分解与坐标表示_课件1-湘教版必修2（36张PPT）

向量的分解与坐标表示
[学习目标]
1．理解向量的线性组合及其意义，会用基表示向量．
2．掌握向量的坐标表示及其坐标运算．
3．掌握向量平行的坐标表示及其应用．
4．理解并掌握平面向量基本定理．
2．0能不能作为基？
答：由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基。
3．平面向量的基唯一吗？
答：不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基。
[预习导引]
1．线性组合
将一组向量的 称为这些向量的线性组合．比如，xe1＋ye2就是e1，e2的线性组合．
实数倍之和
2．定理3
设e1，e2是平面上两个互相垂直的单位向量，则
(1)平面上任意一个向量v都可以分解为e1，e2的线性组合：v＝xe1＋ye2，其中x，y是两个实数．
(2)两个向量u＝ae1＋be2和v＝xe1＋ye2相等的充分必要条件是： 且 .
a＝x
b＝y
3．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，
即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝ ，
即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝ ，即实数与向
量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
(4)一个向量的坐标等于向量终点的坐标 ．
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx，λy)
减去始点的坐标
4．向量平行的坐标表示
(x1，y1)∥(x2，y2)? .
5．定理4(平面向量基本定理)
设e1，e2是平面上两个不平行的非零向量，则
(1)平面上任意一个向量v可以分解为e1，e2的线性组合：
.
(2)向量u＝ae1＋be2与v＝xe1＋ye2相等?线性组合式中的对应系数相等： .
x1y2－y1x2＝0
v＝xe1＋ye2
a＝x且b＝y
规律方法　(1)向量的坐标运算主要是用加、减、数乘运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
规律方法　向量的坐标表示是给出向量的另一种形式，它只与向量的始点、终点的相对位置有关，三者中给出任意两个，都可以求出第三个．
要点三　向量平行问题
例3　已知：a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求x.
规律方法　u∥v，可以用存在λ∈R，使u＝λv来求解，也可
以用向量平行的坐标表示公式．
规律方法　(1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．
(2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设c＝xa＋yb，其中x，y∈R，然后得到关于x，y的方程组求解．
解　如图，连接FD .
规律方法　(1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线．注意方程思想的应用．(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础．应根据条件灵活应用，熟练掌握．
1．已知a＝(0，－9)，b＝(－4,5)，则2a＋b等(　　)
A．(0,13) B．(0，－13) C．(－4,13) D．(－4，－13)
答案　D
解析　2a＋b＝2(0，－9)＋(－4,5)＝(－4，－18＋5)＝(－4，－13)．
2．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(　　)
A．(－7,0) B．(7,6)
C．(6,7) D．(7，－6)
答案　D
1．向量的加法、减法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决，就可以转化为我们熟知的数量运算．
2．向量共线常常用来解决交点坐标的问题和三点共线的问题以及求参数的值或范围的问题，解决此类问题关键是向量共线的条件.
再见