4.5.2利用数量积计算长度和角度_课件1-湘教版必修2（21张PPT）

利用数量积计算长度和角度
[学习目标]
1．掌握利用向量的数量积的性质，求长度和角度，判断两向量是否垂直，了解其几何意义．
2．会利用向量数量积的有关运算进行计算或证明．
[知识链接]
1．向量数乘的运算律有哪些？
答　(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；
λ(a－b)＝λa－λb.
2．向量数量积的运算律有哪些？
答 (1)交换律：a·b＝b·a，对任意向量a，b成立；
(2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)，对任意向量a，b和实数λ成立；
(3)分配律：(a＋a′)·b＝a·b＋a′·b，对任意向量a，a′，b成立．
[预习导引]
1．向量的数量积的性质
(1)如果b是单位向量，则a·b＝b·a＝|a|cos〈a，b〉．
(2)a·a＝|a|2或|a|＝(长度公式)．
(3)cos〈a，b〉＝ ＝(夹角余弦公式)．
(4) a·b＝0?a⊥b(垂直条件)．
(5)|a·b| |a||b|.
(6)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
(7)(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2.
(8)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
≤

要点一　向量模的运算
例1　已知向量a，b满足|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，求|a－b|.
要点二　向量夹角的运算
例2　设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
规律方法　求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．
跟踪演练2　已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
要点三　向量垂直应用
例3　已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直．
规律方法　向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线；a·b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线；a与b垂直的等价条件是a·b＝0.
跟踪演练3　已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？
答案　B
答案　B
3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为 (　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案　C
答案　－8或5
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．两个向量垂直等价于它们的数量积等于0.
3．在实数中，若ab＝0则a＝0或b＝0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，因为其中cos θ有可能为0.
再见