5.1.1 两角和与差的正弦与余弦课件-湘教版必修2（19张PPT）

5.1.1 两角和与差的正弦与余弦
由此能否得到 大家可以
猜想，是不是等于 呢?
在初中已经学过?
，
，
根据在第一章所学的知识可知这种猜想是错误的！
下面就一起探讨两角差的余弦公式
α-β
如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1,∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？
M
P
P1
O
x
y
cos(α－β)
=OM
α
β
用三角函数线方法探究两角差的余弦公式
如何用线段分别表示sinβ和cosβ？
P
P1
O
x
y
A
sinβ
cosβ
β
OAcosα＝cosαcosβ ，它表示哪条线段长？
PAsinα ＝sinαsinβ ，它表示哪条线段长？
P
P1
O
x
y
A
sinαsinβ
cosαcosβ
B
C
cosαcosβ＝OB
sinαsinβ＝CP
AB⊥x轴
PC⊥ AB
α
α
利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？
sinαsinβ
cosαcosβ
P
P1
O
x
y
A
B
C
M
cos(α－β)
＝cosαcosβ＋sinαsinβ
x
y
P
P1
M
B
O
A
C
+
1
1
两角差的余弦公式三角函数线推导过程．
对于任意角α、β都有：
需要注意的是：以上的推导过程是在α，β为锐角，且α＞β的情况下成立的。那么此公式对任意α，β角都成立吗？答案是肯定的，但是需要进一步的推广，且推广的过程也是比较繁琐的，有兴趣的同学可以自己试一试，另外请大家课下探索其他的证明方法。
记作
探究：两角差的余弦公式的变化
思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？
cosα＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.
思考2：利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？
cosβ＝cos[α －(α－β)]
＝cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα.
　　思考3：若cosα＋cosβ＝a，sinα＋sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？
　　思考4：若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？
解:
cos15°=cos（45°－30°)
= cos45°cos30°+sin45°sin30°
∵
∴
方法一
例1　利用差角余弦公式求cos15°的值。
解:
cos15°=cos（60°－45°)
= cos60°cos45°+sin60°sin45°
∵
∴
方法二
做一做
利用差角公式求值时，常常进行角的分拆与组合.即公式的变用.
例2
1.两角差的余弦公式：
2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.
3.在差角的余弦公式中， 运用时要注意角的变换如 ， 等.同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.
课堂小结
思考交流：
由公式 出发，你能推导出两角和与
差的三角函数的其他公式。
谢 谢