第5章 三角恒等变换 复习课件-湘教版必修2（25张PPT）

第5章 三角恒等变换 复习课件
本 章 归 纳 整 合
专题一：三角变换中的求值问题
三角变换中的求值问题主要有两类，给角求值和给值求值。
给角求值一般是利用和、差、倍公式进行变换，使其出现特殊角，若为非特殊角，则应变为可消去或约分的情况，从而求出其值。
给值求值一般应先化简所求的式子，弄清实际所求，或变化已知的式子，寻找已知与所求的联系，再求值。
【例1】
点评：由于已知条件中的角与所求式中的角度不一致，将它们统一起来再变换是解题的关键。
【例2】
三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角，统一三角函数的名称。在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一。通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简。最后结果应为：（1）能求值尽量求值；（2）三角函数名称尽量少；（3）项数尽量少；（4）次数尽量低；（5）分母、根号下尽量不含三角函数。
专题二：化简三角函数式
【例3】
点评：化简三角函数式的基本要求是：减少角的种类，使形式尽量简洁。为使形式尽量简洁，要注意，有根号的去根号，异角化同角，异次化同次，能求值的求出值。
【例4】
点评：1±sin α和1±cos α都可以通过升幂而转化为完全平方式，如果需要开方，则一定要注意角的范围，必要时需进行讨论。
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式。
证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，采取化繁为简，左右归一，变更命题等方法，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同。
条件恒等式的证明则要认真观察、比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径。常用代入法、消去法、两头凑等。
专题三：三角恒等式的证明
已知tan（α＋β）＝2tan β，求证：3sin α＝sin（α＋2β）。
【例5】
∴sin（α＋β）·cos β＝2cos（α＋β）·sin β。
而sin（α＋2β）＝sin [（α＋β）＋β]
＝sin（α＋β）·cos β＋cos（α＋β）·sin β
＝2cos（α＋β）·sin β＋cos（α＋β）·sin β
＝3cos（α＋β）·sin β。
又sin α＝sin [（α＋β）－β]
＝sin（α＋β）·cos β－cos（α＋β）·sin β
＝2cos（α＋β）·sin β－cos（α＋β）·sin β
＝cos（α＋β）·sin β。
故sin（α＋2β）＝3sin α。
点评：三角式的化简或证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一。
【例6】
专题四：三角变换的综合应用
【例7】
点评：本题是与向量结合的综合题，解题时，应先利用向量模及数量积的坐标运算，找出α所满足的关系式，再化简求值即可。
【例8】
检测题
1.（2011北京高一期末检测）已知角α的终边经过点P（1， ），则cos 2α的值为（　　）
A． B． C． D．
答案：A
解析：依题意知，

所以cos 2α＝2cos2α－1＝2? －1＝ 。
2．（2011重庆南开中学高一检测）设θ∈ ， ，则cos θ－sin θ的值是（　　）
A． B． C． D．
答案：D
解析：由 ，得sin 2θ＝ ，
于是（cos θ－sin θ）2＝1－sin 2θ＝ ，
而θ∈ ，
所以cos θ＜sin θ，于是cos θ－sin θ＝ 。
3.（原创题）函数f（x）＝sin2 －1的最小正周期为（　　）
A． B． C．π D．2π
答案：B
解析：由于f（x）＝sin2 －1＝ －1＝
sin 4x－ ，所以最小正周期为 。
4．（2011浙江宁波高一期中检测）若 ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
答案：A
解析：由于 ，
所以 ，
于是
＝ －1＝2? －1＝ 。
谢 谢