黑龙江省哈尔滨市中学2020-2021学年高二下学期期末考试理科数学试题 Word版含答案

哈尔滨中学2020-2021学年度下学期期末
学业阶段性评价考试高二学年数学学科试卷（理科）
（考试时间：120分钟
满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在客观题答题卡．上。
1．命题“，”的否定是（
）
A．，
B．，
C．，
D．不存在，
2．设随机变量服从正态分布，若，则的值为（
）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.6
3．已知离散型随机变量的分布列如表所示，则常数为（
）
0
1
A．
B．
C．或
D．
4．每年新春佳节时，我国许多地区的人们有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．如图是一张“春到福来”的剪纸窗花，为了估计深色部分的面积，将窗花图案放置在边长为20cm的正方形内，在该正方形内随机生成1000个点，恰有535个点落在深色区域内，则此窗花图案中深色区域的面积约为（
）
A．
B．
C．
D．
5．设，，那么是的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．掷一枚硬币两次，记事件“第一次出现正面”，“第二次出现反面”，下列结论正确的为（
）
A．
B．
C．与互斥
D．与相互独立
7．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词搜索指数变化的走势图．据该走势图，下列结论正确的是（
）
A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的搜索指数稳定性小于11月份的搜索指数稳定性，故去年10月份的方差小于11月份的方差
8．二项式展开式中，的系数是（
）
A．40
B．10
C．-20
D．-10
9．某工厂对一批新研发产品的长度（单位：mm）进行测量，将所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，据此图估计这批产品长度的中位数是（
）
A．23.25
mm
B．22.50
mm
C．21.75
mm
D．21.25
mm
10．若函数在上是单调函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
11．某学校派出5名优秀教师去边远地区三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（
）
A．80种
B．90种
C．120种
D．150种
12．已知函数有两个零点，，且，则下列说法错误的是（
）
A．
B．
C．
D．有极小值点，且
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上。
13．某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则______．
14．直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为______．
15．对某种产品的6件不同的正品和4件不同次品一一进行测试，直到区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第5次测试被全部发现，则这样的测试方法有______种。
16．下列命题中，正确命题的序号为______．
①已知随机变量服从二项分布，若，，则；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③某厂家声称自己的产品合格率为99%，市场质量管理人员抽取了这个厂家的2件产品进行检验，发现不都合格，由此可知厂家所声称的合格率不可信。
④某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大．
三、解答题：本题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）
张先生家住小区，他在科技园区工作，从家开车到公司上班有，两条路线（如图），路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的均为；上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走路线，求他遇到红灯的次数的分布列和数学期望．
18．（本题满分12分）
已知某单位甲、乙、丙三个部门员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列和数学期望；
19．（本题满分12分）
已知函数，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．
20．（本题满分12分）耐盐碱水稻俗称“海水稻”，是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻，海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉，某试验基地为了研究海水浓度对亩产量（吨）的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表，绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量与海水浓度之间的相关关系，用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为．
（1）求，并估计当浇灌海水浓度为8时该品种的亩产量；
（2）（i）完成下列残差表：
海水浓度
3
4
5
6
7
亩产量（吨）
0.62
0.58
0.49
0.4
0.31
残差
（ii）统计学中常用相关指数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，如假设，就说明预报变量的差异有80%是由解释变量引起的，请计算相关指数（精确到0.01），并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？
附：残差公式，相关指数
21．（本题满分12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其高度均在区间内，将其按，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm及以上的树苗为优质树苗．
（1）求图中的值
（2）已知抽取这120棵树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：
A试验区
B试验区
合计
优质树苗
20
非优质树苗
60
合计
将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；
（3）用样本估计总体，
若从这批树苗中随机抽取4棵，其中优质树苗的棵数为，求的数学期望．
下面的临界值表仅供参考：
0.15
0.10
0.05
0.25
0.01
0.005
0.001
2.702
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中．
22．（本题满分12分）
已知函数，
．
（1）若，求的取值范围；
（2）当时，证明：．
期末数学理答案
1-12
CBABA
DCABB
DC
13．；14．4；15．576；16．②③④．
17．（1）设走路线最多遇到1次红灯为事件，则．
（2）依题意，的可能取值为0，1，2．
则；；
，
随机变量的分布列为：
0
1
2
．
18．（1）由己知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人。因此应从甲、乙、两三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
．
所以。随机变量的分布列为
0
1
2
3
随机变量的数学期望．
19．（1），，
，则．
所以在点处的切线方程为，即．
（2）因为对于任意，都有成立，所以，
即问题转化为对于恒成立，即
对于恒成立，令，则，
令，，则．所以在区间上单调递增，
故，进而，所以在区间上单调递增，
函数，
要使对于恒成立，只要，所以，即实数的取值范围是．
20．（1）经计算，，，
由可得，，
当时，，所以当海水浓度为8时，该品种的亩产量为0.24吨．
（2）（i）由（1）知，从而有
浓度（千分之）
3
4
5
6
7
亩产量（吨）
0.62
0.58
0.49
0.4
0.31
残差
-0.02
0.02
0.01
0
-0.01
（ii），所以亩产量的变化有98%是由海水引起的．
21．（1）根据直方图数据，有，解得．
（2）根据直方图可知，样本中优质树苗有，列联表如下：
A试验区
B试验区
合计
优质树苗
10
20
30
非优质树苗
60
30
90
合计
70
50
120
可得．
所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系．
（3）由己知，这批树苗为优质树苗的概率为，且服从二项分布，故数学期望．
22．（1），
当时，．所以函数在上单调递增，所以，满足题意．
当时，，函数在上单调递减，，不符合题意．
当时，令，在存在，使得成立，
所以时，，函数在上单调递减，则，不符合题意．
综上，的取值范围为．
（2）当时，，
要证，即证，即，
设，则
．
由（1）知，又，
所以，所以在上单调递增，故，
所以，，．