2020-2021学年人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件（25张）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件（25张） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 958.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-23 08:14:22 | ||
图片预览
文档简介
13.4 课题学习
引例1 在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖渠能使渠道最短？
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
A
引例2 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
两点之间,线段最短
①
②
③
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
问题1：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
P
引入新知
“两点的所有连线中，线段最短”
“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
探索新知
B
A
l
思考：能否化未知为已知，化“同侧”为“异侧”？
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
(II)两点在一条直线同侧
条件：若将点B“移”到l 的另一侧B′处，则需满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等。
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
(II)两点在一条直线同侧
方法：我们可以利用轴对称的
有关知识，找到上问中符合条
件的点B′。
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
(II)两点在一条直线同侧
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
B′
C
(II)两点在一条直线同侧
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
B
·
l
A
·
B′
C
(II)两点在一条直线同侧
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
B
·
l
A
·
B′
C
C′
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
若直线l 上任意一点（与点
C 不重合）与A，B 两点的距离
和都大于AC +BC，就说明AC +
BC 最小．
B
·
l
A
·
B′
C
C′
思考： 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上
任取一点C′（与点C 不重合）呢？
再思考：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
B
·
l
A
·
B′
C
C′
通过将A、B两点在直线l的同一侧转化为A、B点在直线l的两侧，借助轴对称的知识解决问题的。
牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.
A?
B?
P
Q
.
.
.
.
巩固练习
如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）
A．AB B．DE C．BD D．AF
解析：如图，连接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，
DP=DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP=CP，∴AP+PE=CP+PE，
∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，
此时，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，
可得△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，
∴AP+EP最小值等于线段AF的长．
D
连接中考
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（ ）
A．P是m上到A、B距离之和最短的点，
Q是m上到A、B距离相等的点.
B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，
P是m上到A、B距离相等的点.
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点.
D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点 .
A
基础巩固题
课堂检测
.
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．10 B．15
C．20 D．30
A
课堂检测
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
A
C
B
D
河
1000
课堂检测
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．
x
y
O
B
A
B'
P
解析：作出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，点P就是所求的点.
课堂检测
如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
D
D ′
C
C′
E
E′
B
能力提升题
课堂检测
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
于是AD=FD′,
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小.
A
D ′
C
C′
E
E′
B
F
G
D
课堂检测
（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
A
B
C
D
P
O
A
B
N
O
A
B
M
图①
图②
图③
图①
图②
图③
拓广探索题
课堂检测
A
B
C
D
M'
C'
P
图①
P
O
A
B
P'
P''
E
F
图②
N
O
A
B
M
N'
E
F
图③
课堂检测
原理
线段公理和垂线段最短
最短路径问题
解题方法
造桥选址问题
关键是将固定线段“桥”平移
最短路径问题
轴对称知识+线段公理
解题方法
课堂小结
引例1 在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖渠能使渠道最短？
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
A
引例2 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
两点之间,线段最短
①
②
③
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
问题1：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
P
引入新知
“两点的所有连线中，线段最短”
“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
探索新知
B
A
l
思考：能否化未知为已知，化“同侧”为“异侧”？
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
(II)两点在一条直线同侧
条件：若将点B“移”到l 的另一侧B′处，则需满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等。
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
(II)两点在一条直线同侧
方法：我们可以利用轴对称的
有关知识，找到上问中符合条
件的点B′。
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
(II)两点在一条直线同侧
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
B′
C
(II)两点在一条直线同侧
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
B
·
l
A
·
B′
C
(II)两点在一条直线同侧
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
B
·
l
A
·
B′
C
C′
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
若直线l 上任意一点（与点
C 不重合）与A，B 两点的距离
和都大于AC +BC，就说明AC +
BC 最小．
B
·
l
A
·
B′
C
C′
思考： 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上
任取一点C′（与点C 不重合）呢？
再思考：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
B
·
l
A
·
B′
C
C′
通过将A、B两点在直线l的同一侧转化为A、B点在直线l的两侧，借助轴对称的知识解决问题的。
牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.
A?
B?
P
Q
.
.
.
.
巩固练习
如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）
A．AB B．DE C．BD D．AF
解析：如图，连接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，
DP=DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP=CP，∴AP+PE=CP+PE，
∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，
此时，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，
可得△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，
∴AP+EP最小值等于线段AF的长．
D
连接中考
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（ ）
A．P是m上到A、B距离之和最短的点，
Q是m上到A、B距离相等的点.
B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，
P是m上到A、B距离相等的点.
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点.
D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点 .
A
基础巩固题
课堂检测
.
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．10 B．15
C．20 D．30
A
课堂检测
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
A
C
B
D
河
1000
课堂检测
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．
x
y
O
B
A
B'
P
解析：作出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，点P就是所求的点.
课堂检测
如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
D
D ′
C
C′
E
E′
B
能力提升题
课堂检测
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
于是AD=FD′,
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小.
A
D ′
C
C′
E
E′
B
F
G
D
课堂检测
（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
A
B
C
D
P
O
A
B
N
O
A
B
M
图①
图②
图③
图①
图②
图③
拓广探索题
课堂检测
A
B
C
D
M'
C'
P
图①
P
O
A
B
P'
P''
E
F
图②
N
O
A
B
M
N'
E
F
图③
课堂检测
原理
线段公理和垂线段最短
最短路径问题
解题方法
造桥选址问题
关键是将固定线段“桥”平移
最短路径问题
轴对称知识+线段公理
解题方法
课堂小结