2020-2021学年人教版数学八年级上册14.2.1平方差公式课件（45张）

14.2.1 平方差公式
计算下列多项式的积：
(x+1)(x-1) =
(m+2)(m-2) =
(2x+1)(2x-1) =
x2 - 1
m2 - 4
4x2 - 1
(3x)2 = ______
(- 4x)2 = ______
9x2
16x2
a
a
b
b
a2-b2
a
b
b
b
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
a-b
a-b
(a+b)(a-b) = a2-b2
(a+b)(a-b)
= a2-ab+ab-b2
-ab
+ab
= a2-b2
a2
b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积，
等于这两个数的平方差.
§14.2.1 平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
两个数的和
这两个数的差
这两数的平方差
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
两个二项式相乘
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
符号相同
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
符号
相反
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
平方差
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
(符号相同的项)2-(符号相反的项)2
(a+b)(a-b)=a2-b2
说明:
公式中的a,b可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示一个单项式或一个多项式.
计算：
(x+1)(x-1) =
(m+2)(m-2) =
(2x+1)(2x-1) =
X2-1
m2-4
4x2-1
例1 运用平方差公式计算：
1、( 3x + 2 )( 3x – 2 ) ;
2、( b + 2a )( 2a – b );
3、( -x + 2y )( -x - 2y ).
分析:
⑴ (3x+2)(3x-2)
3x
3x
a
a
2
2
b
b
= a2 - b2
=
(3x)2
-
22
用公式关键是识别两数
符号相同的项 a
符号相反的项 b
(
)
(
)
+
-
解:
⑴ (3x+2)(3x-2)
=
(3x)2
3x
3x
-
2
2
22
= 9x2 - 4
⑵ (b+2a)(2a-b);
b
-b
+2a
2a
= (2a+b)(2a-b)
2a
2a
= (2a)2
= 4a2 – b2
b
b
-
b2
(3) (-x+2y)(-x-2y)
= (-x)2-(2y)2
= x2-4y2
计算下列各题，看谁做得又快又准？
(1)(x+1)(x-1)
(2)(m+2)(m-2)?
(3)(2x+1)(2x-1)
(4)(-3m-4)(-3m+4)
=x 2-1
=m 2-4
=4x 2-1
=9m 2-16
a2 - b2 =(a+b)(a-b)
逆向思维训练：
（ n-m ）（ ）=n2-m2
( -2x +__ ) ( ) =4x2-9y2
（-5+a）( ) =25-a?

计算：
（3－X）（3＋X）
(2) (b＋2a)(2a－b)
(3）(－X－2)(2－X）
ㄨ
下面各式的计算对不对？
如果不对，应当怎样改正？
(1) (x+2)(x-2) = x2 - 2
(2) (-3a-2)(3a-2) = 9a2 - 4
x2 - 4
ㄨ
4 - 9a2
运用平方 差公式计算：
(1) (a+3b)(a-3b) =
a2 - 9b2
(2) (3+2a)(-3+2a) =
4a2 - 9
(1) (a+b)(?a?b) ；
(2) (a?b)(b?a) ;
(3) (a+2b)(2b+a);
(4) ?(a?b)(a+b) ;
(5) (?2x+y)(y?2x).
(不能)
下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算?
(第一个数不完全一样 )
(不能)
(不能)
(能)
?(a2 ?b2)=
?a2 + b2 ;
(不能)
下列各式中,能用平方差公式运算的是( )
A.(-a+b)(-a-b) B.(a-b)(b-a)
C.(2a-3b)(3a+2b) D.(a-b+c)(b-a-c)
2.下列各式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x) B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y) D.(-2b-5)(2b-5)
A
C
例2　计算　　　　　　　　　　　（1） a2 (a+b)(a?b)＋ a2b2　　　（2）(2x－5)(2x＋5)－2x(2x－3)
解：（1）原式＝ a2（ a2－b2）＋a2b2
＝a4－a2b2＋a2b2
＝a4
（2）原式＝（2 x ）2 －25－ （4 x 2－6 x ）
＝4 x 2 －25－ 4 x 2＋6 x
＝6 x －25
例3 计算：
⑴ 102 ×98;
⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);
⑴ 102 ×98
动 脑筋！
谁是a?
谁是b?
102
= (100+2)
98
(100-2)
= 1002-22
= 10000-4
= 9996
⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
动 脑筋！
y
y
y
y
2
2
= y2 - 22
1
5
- (y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= -4y+1
运用平方差公式计算：
1、(p+q)(-q+p) =
2、(-x-y) (x-y) =
3、(2a+b)(2a-b) =
4、(x2+y2)(x2-y2)=
5、 51 × 49 =
p2-q2
位置变化
y2-x2
符号变化
4a2-b2
系数变化
x4-y4
指数变化
2499
一拆为二
(a+b)(a-b)=a2-b2
1、 (2x－1)(2x＋1)－2(x－2)(x＋2)
2、(2n＋3n)(2n－3n)
3、解方程：
3x(x＋1)＋(x＋2)(x－2)＝4(x2＋8)
2x2+7
22n－32n
x＝12
灵活运用平方差公式计算：
1、(3x+4)(3x-4) – (2x+3)(3x-2);
2、(x+y)(x-y)(x2+y2);
跳一跳:

（ )
(x4+y4)
(x4+y4)
(x4+y4)
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) … (22n+1)
运用平方差公式计算：
王二小同学在计算（2+1)(22+1)(24+1)时，
将积式乘以（2-1）得：

解：原式 = (2-1)(2+1)(22+1)(24+1)
= (22-1)(22+1)(24+1)
= (24-1)(24+1)
= 28-1
你能根据上题计算:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) … (22n+1)
的结果吗？
24n-1
(a+b-c)(a-b-c)能用平方差公式运算吗?若能结果是哪两数的平方差?
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积，
等于这两个数的平方差.
如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形(a>b ),把余下的部分剪成一个矩形(如图2).通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,这个等式是( )
A. a2–b2 = (a+b) (a–b)
B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a–b)2=a2–2ab+b2
D. (a+2b)(a–b)=a2+ab–2b2
b
a
图1
b
a
图2
巩固练习
A
1. 化简(x–1)(x+1)的结果是　 ．
2. 某同学化简a(a+2b)–(a+b)(a–b)出现了错误，解答过程如下：原式=a2+2ab–(a2–b2) (第一步)
=a2+2ab–a2–b2(第二步)
=2ab–b2 (第三步)
(1)该同学解答过程从第　　步开始出错，错误原因是　 ；
(2)写出此题正确的解答过程．
原式=a2+2ab–(a2–b2)=a2+2ab–a2+b2=2ab+b2．
x2–1
二
去括号时没有变号
连接中考
1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(–x＋y)(x–y)
C．(–x–y)(y–x) D．(x＋y)(–x–y)
C
2. 计算(2x+1)(2x–1)等于(　　)
A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1
A
3. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．
10
基础巩固题
课堂检测
(1)(a+3b)(a– 3b)；
=4a2–9；
=4x4–y2.
原式=(2a+3)(2a–3)
=a2–9b2 ；
=(2a)2–32
原式=(–2x2 )2–y2
原式=(a)2–(3b)2
(2)(3+2a)(–3+2a)；
(3)(–2x2–y)(–2x2+y).
4. 利用平方差公式计算：
课堂检测
解:
解:
解:
5. 计算： 20152 – 2014×2016.
解：
20152 – 2014×2016
= 20152 – (2015–1)(2015+1)
= 20152
– (20152–12 )
= 20152
– 20152+12
=1
课堂检测
6. 利用平方差公式计算:
(1)(a–2)(a+2)(a2 + 4)
解:原式=(a2–4)(a2+4)
=a4–16.
(2) (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4–y4)(x4+y4)
=x8–y8.
课堂检测
先化简，再求值：(x+1)(x–1) +x2(1–x) +x3，其中x＝2.
解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3
=2x2–1.
将x＝2代入上式，
原式=2×22–1=7.
能力提升题
课堂检测
已知x≠1，计算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3，
(1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝ 1–x4
(1)观察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
1–xn+1
–63
2n＋1–2　
x100–1　
拓广探索题
课堂检测
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
1.符号表示：(a+b)(a–b)=a2–b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.
课堂小结