2020-2021学年人教版数学八年级上册14.3.1提公因式法课件（23张）

14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
1．了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系． 　　
2．理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式． 　　
3．通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.
整式的乘法
计算下列各式:
x(x+1)=
(x+1)(x－1)=
x2 + x
x2－1
请把下列多项式写成整式的乘积的形式:
(1)x2+x =__________;
(2)x2–1=__________.
x(x+1)
(x+1)(x-1)
上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
整式的乘法与因式分解有什么关系？
x2-1
因式分解
整式乘法
(x+1)(x-1)
因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
由p(a+b+c) = pa+pb+pc可得: pa+pb+pc=p(a+b+c)
这样就把pa+pb+pc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式p,另一个因式(a+b+c)是pa+pb+pc除以 p所得的商.
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
它的各项都有一个公共的因式p ,我们把因式 p 叫做这个多项式各项的 _______ .
pa+pb+pc
公因式
【例1】把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
分析：找公因式
1.系数的最大公约数 4
2.找相同字母 aｂ
3.相同字母的最低指数 a1b2
公因式为：4ab2
【解析】8a3b2+12ab3c
=4ab2?2a2+4ab2?3bc
=4ab2(2a2+3bc).
【例题】
【解析】a（x－3）+2b（x－3）
=(x－3)(a+2b).
【例2】把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.
分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a(x－3)与2b(x－3)，每项中都含有（x－3）,因此可以把(x－3)作为公因式提出来.
把下列各式分解因式:
1.a（x－y）+b（y－x）;
分析：虽然a（x－y)与b(y－x)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y)与(y－x）互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如：
y－x=－（x－y）
【解析】a（x－y）+b（y－x）
=a（x－y）－b（x－y）
=（x－y）（a－b）.
【跟踪训练】
【解析】6（m－n）3－12（n－m）2
=6（m－n）3－12［－（m－n）］2
=6（m－n）3－12（m－n）2
=6（m－n）2（m－n－2）.
2. 6（m－n）3－12（n－m）2
1.填空
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=______（a－2）;
（2）y－x=_____（x－y）;
（3）b+a=______（a+b）;
（4）（b－a）2=_____（a－b）2;
（5）－m－n=_____（m+n）;
（6）－s2+t2=_____（s2－t2）.
-
-
+
+
-
-
2.（苏州·中考）分解因式 a2－a= ．
【解析】 a2－a=a(a-1).
答案：a(a-1)
3.（盐城·中考）因式分解

【解析】用提公因式法因式分解：
答案：2a(a-2)
4.写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma+mb
（2）4kx－8ky
（3）5y3+20y2
（4）a2b－2ab2+ab
m
4k
5y2
ab
5.把下列各式分解因式
（1）8x－72
（2）a2b－5ab
（3）4m3－6m2
（4）a2b－5ab+9b
（5）－a2+ab－ac
=8（x－9）
=ab（a－5）
=2m2（2m－3）
=b（a2－5a+9）
=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）
【解析】原式=（a+b－c)(a－b+c)－(b－a+c)(a－b+c)
=（a－b+c)［(a+b－c)－(b－a+c)］
=（a－b+c)(a+b－c－b+a－c）
=（a－b+c)(2a－2c）
=2（a－b+c)(a－c）.
6.把(a+b－c)(a－b+c)+(b－a+c)(b－a－c)分解因式.
1.一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法
2.分解因式的方法：
注意符号变化
通过本课时的学习，需要我们掌握：
已知a+b=5，ab=3，求a2b+ab2的值.
解: a2b+ab2 =ab(a+b)
=3 × 5
=15
巩固练习
1. 分解因式：a2–5a=_________　．
2. 若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=　　．
解析：∵a+b=4，ab=1，
∴a2b+ab2=ab(a+b)
=1×4
=4．
a(a–5)
4
连接中考
1.多项式15m3n2+5m2n–20m2n3的公因式是(　　)
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D ．5mn2
2. 把多项式(x+2)(x–2)+(x–2)提取公因式(x–2)后，余下的部分是(　　)
A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3
3.下列多项式的分解因式，正确的是(　　)
A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz) B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2)
C．–x2+xy–xz=–x(x2+y–z) D．a2b+5ab–b=b(a2+5a)
B
C
D
课堂检测
基础巩固题
4.把下列各式分解因式：
(1)分解因式：m2–3m=　 　．
(2)12xyz–9x2y2=_____________；
(3)因式分解：(x+2)x–x–2=___________　．
(4) –x3y3–x2y2–xy=_______________；
3xy(4z–3xy)
–xy(x2y2+xy+1)
(5)(x–y)2+y(y–x)=_____________.
(y–x)(2y–x)
5.若9a2(x–y)2–3a(y–x)3＝M·(3a＋x–y)，则M等于_____________.
3a(x–y)2
m(m–3)
(x+2)(x–1)
课堂检测
6.简便计算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013–20142;
(3)(–2)101+(–2)100.
(2) 原式=2013 ×(2013+1) –20142
=2013×2014 –20142=2014×(2013–2014)
= –2014．
解：(1) 原式=1.99 ×(1.99+0.01)=3.98；
(3)原式=(–2)100 ×(–2+1) =2100 ×(–1)= –2100.
课堂检测
解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
(2)原式=(2x+1)[(2x+1)–(2x–1)]
=(2x+1)(2x+1–2x+1)=2(2x+1).
(1)已知: 2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.
(2)化简求值：(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)，其中x= .
当x= 时，
能力提升题
原式=2×(2× +1)=4.
课堂检测
△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由．
∴△ABC是等腰三角形．
解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab–c–2bc＝0，
(a–c)＋2b(a–c)＝0，(a–c)(1＋2b)＝0，
∴a–c＝0或1＋2b＝0，
即a＝c或b＝–0.5(舍去)，
拓广探索题
课堂检测