2020-2021学年人教版数学八年级上册14.3.2因式分解（公式法）课件（23张）

公式法
学习目标:
1.理解平方差公式的意义，弄清平方差公式的形式和特点；
掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式
把多项式分解因式。
2.理解完全平方公式的意义，弄清完全平方公式的形式和特点；
掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方
公式把多项式分解因式
学习重点：
1.利用平方差公式分解因式．
2.运用完全平方公式分解因式
学习难点：
1.利用平方差公式分解因式．
2.运用完全平方公式分解因式
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
1. 多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．
问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
2．提公因式法分解因式的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．
问题3：你能将a2-b2分解因式吗？
3.要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式：
a2-b2=(a+b)(a-b)．
多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方差公式分解因式
观察平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的项、指数、符号有什么特点？
（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是需要分解因式的多项式
由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．
例1 分解因式:
(1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析：在(1)中，4x2 = (2x)2，9=32，4x2－9 = (2x )2 –3 2，即可用平方差公式分解因式.
在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2－n2.
4x2 – 9
= (2x)2 – 3 2
= (2x+3)(2x – 3).
(x+p)2 – (x+q) 2
= [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)]
=(2x+p+q)(p–q).
例2 分解因式:
(1)x4—y4; (2) a3b —ab.
分析:(1)x4－y4写成(x2)2 － (y2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.
(2)a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式,再进一步分解.
解:(1) x4－y4
= (x2+y2)(x2－y2)
= (x2+y2)(x+y)(x－y).
(2) a3b－ab
=ab(a2－ 1)
=ab(a+1)(a－ 1).
分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
练习
1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式?为什么?
(1) x2+y2 ; (2) x2－y2;
(3) －x2+y2; (4) －x2－y2.
2.分解因式:
(1)a2－ b2; (2)9a2－4b2;
(3) x2y－4y ; (4) －a4 +16.
1. 回答：下列各式是不是完全平方式
是
是
是
否
是
否
3. 请补上一项，使下列多项式成为完全平方式
思考：
你能将多项式a2+2ab+b2 与a2－2ab+b2分解因式吗？这两个多项式有什么特点？
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a－b)2=a2－2ab+b2.
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的２倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2－2ab+b2=(a－b)2
·
例3 分解因式：
(1) 16x2+24x+9； (2) –x2+4xy–4y2.
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=
2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
a2
2
a
b
b2
+
·
解：(1)16x2+24x+9 = (4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2.
+
例4 分解因式:
(1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2－12(a+b)+36.
分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解.
　解：(1)3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2 .
(2)(a+b)2－12(a+b)+36
=(a+b)2－2·(a+b)·6+62
=(a+b－6)2.
将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m2－12m+36.
练习
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2－4a+4; (2)1+4a2;
(3) 4b2+4b－1 ; (4)a2+ab+b2.
2.分解因式：
(1) x2+12x+36; (2) －2xy－x2－y2;
(3) a2+2a+1; (4) 4x2－4x+1;
(5) ax2+2a2x+a3; (6) －3x2+6xy－3y2.
1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．
2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．
3．第一步分解因式以后，如果所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式．直到每个多项式因式都不能分解为止．
若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式
a2–2bc=c2–2ab，试判断这个三角形的形状.
解：∵a2–2bc=c2–2ab，
∴(a2–c2)+ 2ab–2bc=0，(a+c)(a–c)+ 2b（a-c）=0，
∴(a–c)(a+c+2b)=0.
∵a+c+2b≠0，∴a–c=0，即a=c，
∴这个三角形是等腰三角形.
巩固练习
分析：已知等式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解，得到a=c，即可确定出三角形形状.
1. 多项式4a–a3分解因式的结果是(　　)
A．a(4–a2) B．a(2–a)(2+a)
C．a(a–2)(a+2) D．a(2–a)2
2. 若a+b=4，a–b=1，则(a+1)2–(b–1)2的值为　 　．
解析：∵a+b=4，a–b=1，
∴(a+1)2–(b–1)2=(a+1+b–1)(a+1–b+1)=(a+b)(a–b+2)
=4×(1+2)=12．
B
12
连接中考
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋(–b)2 B．5m2–20mn
C．–x2–y2 D．–x2＋9
D
2. 将多项式x–x3因式分解正确的是(　　)
A．x(x2–1) B．x(1–x2)
C．x(x+1)(x–1) D．x(1+x)(1–x)
D
3.若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为(　　)
A．–21 B．21 C．–10 D．10
A
课堂检测
基础巩固题
4.把下列各式分解因式：
(1)16a2–9b2=_________________;
(2)(a+b)2–(a–b)2=_________________;
(3) 因式分解：2x2–8=_________________;
(4) –a4+16=_________________.
(4a+3b)(4a–3b)
4ab
(4+a2)(2+a)(2–a)
5.若将(2x)n–81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x–3)，则n的值是_____________.
4
2(x+2)(x–2)
课堂检测
1. 已知4m+n=40，2m–3n=5．求(m+2n)2–(3m–n)2的值．
原式= – 40×5= –200．
解：原式=(m+2n+3m – n)(m+2n – 3m+n)
=(4m+n)(3n – 2m)
= –(4m+n)(2m – 3n)，
当4m+n=40，2m–3n=5时，
能力提升题
课堂检测
2.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得
6.82–4×1.62
＝6.82– (2×1.6)2
＝6.82–3.22
＝(6.8＋3.2)(6.8 – 3.2)
＝10×3.6
＝36 (cm2)
答：剩余部分的面积为36 cm2.
课堂检测
(1)992–1能否被100整除吗？
解：(1)因为 992–1=(99+1)(99–1)=100×98，
所以，(2n+1)2–25能被4整除.
(2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？
所以992–1能被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5)
=(2n+6)(2n–4)
=2(n+3) ×2(n–2)=4(n+3)(n–2).
拓广探索题
课堂检测
平方差公式分解因式
公式
a2–b2=(a+b)(a–b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
课堂小结