扬州市邗江区、宝应县、仪征市2021年第二学期期中学业质量监测
高一数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．
下列复数中，纯虚数是（
）
A．
B．
－i
C．(2i)2
D．
5i+8
2．
＋
cos60°=（ ）
A．
B．－
C．
D．
3．
一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，
若，那么原△ABO的面积是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量a=(3，4)，b
=(8，6)，=(2，k)，且a?c=
b?c，则k的值为（
）
A．－4
B．4
C．5
D．－5
5．
已知：α，β均为锐角，tanα=，tanβ=，则α+β＝（
）
A．
B．
C．
D．
6．“全民健身活动周”
中，某长跑运动员沿公路向正北方向前进时,看见正西方向有两个相距1500
m的地标恰好与它在一条直线上，继续前进3分钟后,
看见一地标在他的南偏西60°方向上，另一地标在他的南偏西75°方向上，则他跑步的速度是（
）
A．125
米/分
B．125米/分
C．250
米/分
D．250米/分
7．
设向量a，b，c满足|a|=|b|=1，a?b=－，a－c，b－c的夹角为60°，则|
c
|的最大值等于（ ）
A．2
B．
C．
D．1
8．
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120o，直线BD交AC于点D，将△ABC分成两部分，且∠CBD
=3∠ABD，BD=1，则a＋2c的最小值为（ ）
A．
B．4
C．4
D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．设向量a，b满足|a|=|b|=1，且|
b－2a
|=，则以下结论正确是（
）
A．a⊥b
B．|
a＋b
|=2
C．|
a－b
|=
D．向量a，b夹角为60o
10．设
f(α)=sinxα＋cosxα，x∈{n|n=2k，k∈N＋}，下列结论正确的是（
）
A．x=2时，f(α)的取值范围为{1}，
B．x=4时，f(α)的取值范围为[,1]，
C．x=6时，f(α)的取值范围为[,1]，
D．对于x∈{n|n=2k，k∈N＋}，f(α)的取值范围为[,1]，
11．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)=
4：5：6，下列结论正确的是（
）
A．cosB+cosC=，
B．若AD为BC边上的角平分线，则=＋，
C．BC边上的中线长为，
D．若b＋c
=8，则△ABC的外接圆半径是，
12．瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：eiθ=cosθ＋isinθ（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（ ）
A．|4e5i|=4，
B．i2020+2021i
=
，
C．若复数eiθ?的虚部为，θ∈(0,π)，则(eiθ)2的实部为，
D．已知z1=，z2=eiθ，复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则三角形O
Z1Z2面积的最大值为.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知a,b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2=
▲
.
14．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，
E，F分别是棱BC，CC1的中点，
则异面直线EF与B1D1所成的角为
▲
.
15．
已知sin(α－)=，α∈(0,π)
，则tan(2α－)=
▲
.
16．践行“劳动教育”系列活动中，某班学生被分配剪“六芒星”彩纸，如图，“六芒星”是由两个边长为3的全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若=x＋y，当x＋y取得最大值时，?的值是
▲
.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知复数z满足z?=2，且z的虚部为－1，z在复平面内所对应的点在第四象限.
（1）求z；
（2）若z，z2在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠OAB.
18．（本小题满分12分）
已知cos(＋α)?cos(－α)=－，α∈(，).
（1）求sin
2α的值；
（2）求tan
α－的值．
19．（本小题满分12分）
已知向量a=(cos，sin)，b=(cos，－sin)，且x∈(0，)．
（1）求a?b及|a＋b|；
（2）若f(x)=
a?b－2λ|a＋b|的最小值为－，求正实数λ的值．
20．（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
（1）求||；
（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．
①当λ=时，求?；
②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设△ABD中边BD所对的角为A，△BCD中边BD所对的角为C，经测量已知AB=BC=CD=2，AD=2.
（1）若∠C=60°，求∠A；
（2）霍尔顿发现无论BD多长，cosA﹣cosC为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
（3）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记△ABD
与△BCD
的面积分别为S1和S2，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出S12+S22的最大值.
22．（本小题满分12分）
已知A，B，C为平面内不共线三点，S△ABC表示△ABC的面积
（1）若A(,1)，B(﹣2,2)，C(0,0)，求
S△ABC；
（2）若
A(x1,y1)，B
(x2,y2)，C(0,0)，证明：S△ABC
=|
x1y2
﹣x2y1|；
（3）若A(2cos,
sin)，B
(2cosβ,
sinβ)，C(2cosγ,
sinγ)，其中，且坐标原点恰好为△ABC的重心，判断S△ABC是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
注
意
事
项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
本试卷共6页，包含单项选择题（共8题）、多项选择题（共4题）、填空题（共4题）、解答题（共6题），满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
（第14题图）
A
B
C
D
E
A
B
C
D扬州市邗江区、宝应县、仪征市2021年第二学期期中学业质量监测
高一数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．
下列复数中，纯虚数是（
）A
A．
B．
－i
C．(2i)2
D．
5i+8
2．
＋
cos60°=（ ）B
A．
B．－
C．
D．
3．
一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，
若，那么原△ABO的面积是（
）C
A．
B．
C．
D．
4．已知向量a=(3，4)，b
=(8，6)，=(2，k)，且a?c=
b?c，则k的值为（
）D
A．－4
B．4
C．5
D．－5
5．
已知：α，β均为锐角，tanα=，tanβ=，则α+β＝（
）B
A．
B．
C．
D．
6．“全民健身活动周”
中，某长跑运动员沿公路向正北方向前进时,看见正西方向有两个相距1500
m的地标恰好与它在一条直线上，继续前进3分钟后,
看见一地标在他的南偏西60°方向上，另一地标在他的南偏西75°方向上，则他跑步的速度是（
）C
A．125
米/分
B．125米/分
C．250
米/分
D．250米/分
7．
设向量a，b，c满足|a|=|b|=1，a?b=－，a－c，b－c的夹角为60°，则|
c
|的最大值等于（ ）A
A．2
B．
C．
D．1
8．
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120o，直线BD交AC于点D，将△ABC分成两部分，且∠CBD
=3∠ABD，BD=1，则a＋2c的最小值为（ ）D
A．
B．4
C．4
D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．设向量a，b满足|a|=|b|=1，且|
b－2a
|=，则以下结论正确是（
）AC
A．a⊥b
B．|
a＋b
|=2
C．|
a－b
|=
D．向量a，b夹角为60o
10．设
f(α)=sinxα＋cosxα，x∈{n|n=2k，k∈N＋}，下列结论正确的是（
）ABCD
A．x=2时，f(α)的取值范围为{1}，
B．x=4时，f(α)的取值范围为[,1]，
C．x=6时，f(α)的取值范围为[,1]，
D．对于x∈{n|n=2k，k∈N＋}，f(α)的取值范围为[,1]，
11．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)=
4：5：6，下列结论正确的是（
）ABD
A．cosB+cosC=，
B．若AD为BC边上的角平分线，则=＋，
C．BC边上的中线长为，
D．若b＋c
=8，则△ABC的外接圆半径是，
12．瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：eiθ=cosθ＋isinθ（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（ ）ABC
A．|4e5i|=4，
B．i2020+2021i
=
，
C．若复数eiθ?的虚部为，θ∈(0,π)，则(eiθ)2的实部为，
D．已知z1=，z2=eiθ，复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则三角形O
Z1Z2面积的最大值为.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知a,b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2=
▲
.3＋4i
14．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，
E，F分别是棱BC，CC1的中点，
则异面直线EF与B1D1所成的角为
▲
.
60°
15．
已知sin(α－)=，α∈(0,π)
，则tan(2α－)=
▲
.
16．践行“劳动教育”系列活动中，某班学生被分配剪“六芒星”彩纸，如图，“六芒星”是由两个边长为3的全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若=x＋y，当x＋y取得最大值时，?的值是
▲
.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知复数z满足z?=2，且z的虚部为－1，z在复平面内所对应的点在第四象限.
（1）求z；
（2）若z，z2在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠OAB.
【解析】（1）设复数z=x－i（x，y∈R），
因为z?=2，，所以x2＋1=2，得x
=1或x
=－1，
……………………………
2分
又z在复平面内所对应的点在第四象限，所以z=1－i；
……………………………4分
（2）z2=(1－i)
2=－2i，
……………………………
6分
所以A(1,－1)，B(0,
－2)，O(0,
0)，=(－1,
1)，=(－1,
－1)，…………………
8分
所以cos∠OAB=
=0，
所以∠OAB
=.
……………………………
10分
18．（本小题满分12分）
已知cos(＋α)?cos(－α)=－，α∈(，).
（1）求sin
2α的值；
（2）求tan
α－的值．
【解析】（1）∵cos(＋α)·cos(－α)＝cos＋α·sin(＋α)＝sin(2α＋)＝－，………
2分
∴sin(2α＋)＝－.
∵α∈，∴2α＋∈，
……………………………
6分
∴cos(2α＋)＝－，∴sin
2α＝sin[(2α＋)－]
＝sin(2α＋)cos－cos(2α＋)sin＝.
……………………………8分
（2）∵α∈(，)，∴2α∈(，π)，
又由(1)知sin
2α＝，∴cos
2α＝－.
……………………………
10分
∴tan
α－＝－＝＝＝－2×＝2.
………
12分
19．（本小题满分12分）
已知向量a=(cos，sin)，b=(cos，－sin)，且x∈(0，)．
（1）求a?b及|a＋b|；
（2）若f(x)=
a?b－2λ|a＋b|的最小值为－，求正实数λ的值．
【解析】（1）a?b=coscos－sinsin=cos2x
a＋b=(
cos
＋cos，sin－sin)
……………………………
2分
|a＋b|2=(
cos
＋cos)2＋(sin－sin)2
=2+2
cos2x=4cos2x．
……………………………
4分
又x∈(0，)，则cosx≥0，因此|a＋b|=2cosx．
……………………………
6分
（2）由（1）知f(x)=cos2x﹣4λcosx＝2cos2x﹣4λcosx﹣1，
则f(x)=2(cosx﹣λ)2﹣1﹣2λ2，cosx∈[0，1]，
……………………………
8分
①当0＜λ＜1时，当cosx=λ时，f(x)有最小值﹣1﹣2λ2=－，解得λ=．…………
10分
②当λ≥1时，当cosx=1时，f(x)有最小值1﹣4λ=－，解得λ=（舍去），
综上可得λ=．
……………………………
12分
20．（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
（1）求||；
（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．
①当λ=时，求?；
②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）||=
……………………………
2分
（2）①λ=时，=，=，
则D、E分别是BC，AB的中点，∴=+=+，=(+)，…
4分
∴?=(+)?(+)
=?+?+?+2=；
……………………………
6分
②假设存在非零实数λ，使得⊥，
由=λ，得=
(1﹣λ)+
λ，
又=λ，∴=﹣+
(1﹣λ)，
……………………………
8分
∴?=λ(1﹣λ)
2﹣λ?+(1﹣λ)2?﹣(1﹣λ)
2
=4λ(1﹣λ)﹣λ+(1﹣λ)
2﹣(1﹣λ)=﹣3λ2+2λ=0，
……………………………
10分
解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；
即存在非零实数λ=，使得⊥．
……………………………
12分
21．（本小题满分12分）
“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设△ABD中边BD所对的角为A，△BCD中边BD所对的角为C，经测量已知AB=BC=CD=2，AD=2.
（1）若∠C=60°，求∠A；
（2）霍尔顿发现无论BD多长，cosA﹣cosC为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
（3）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记△ABD
与△BCD
的面积分别为S1和S2，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出S12+S22的最大值.
【解析】（1）由BC=CD=2，∠C=60°，所以△BCD
是等边三角形，所以BD=2，
cosA=
=，
因为0
………………………………2分
（2）在△ABD中，由余弦定理得BD2=16﹣8cosA，
在△BCD中，由余弦定理得BD2=8﹣8cosC，
…………………4分
则8(cosA
﹣cosC
)=8，cosA
﹣cosC
=1；
…………………6分
（3）S1=2sinA，S2=2sinC，
则S12+S22=16﹣(12cos2A+4cos2C)，
……………………8分
由（2）知：cosA
=cosC
+1，代入上式得：
S12+S22=﹣24
cos2A
+8cosA
+12，
………………10分
配方得：
S12+S22=﹣24
(cosA﹣)
2+14，
因为0当cosA=时，S12+S22取到最大值14.
……………………………12分
22．（本小题满分12分）
已知A，B，C为平面内不共线三点，S△ABC表示△ABC的面积
（1）若A(,1)，B(﹣2,2)，C(0,0)，求
S△ABC；
（2）若
A(x1,y1)，B
(x2,y2)，C(0,0)，证明：S△ABC
=|
x1y2
﹣x2y1|；
（3）若A(2cos,
sin)，B
(2cosβ,
sinβ)，C(2cosγ,
sinγ)，其中，且坐标原点恰好为△ABC的重心，判断S△ABC是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）因为A(,1)，B(﹣2,2)，C(0,0)，，
所以
=(,1)，=(﹣2,2)，
所以
S△ABC
=|||?sinC=4
sinC，
因为cosC=﹣，所以sinC
=，
所以S△ABC
=2
.……………………………
2分
（2）因为
A(x1,y1)，B
(x2,y2)，C(0,0)，所以
=(x1,y1)，=(x2,y2)，
所以S△ABC
=|||?sinC
……………………………4分
因为cosC=，
所以1﹣cos2C=1﹣()2，
所以sinC
=，
所以S△ABC
=|||?sinC=|
x1y2
﹣x2y1|；
……………………………6分
（3）因为O为△ABC的重心，所以S△ABC
=3
S△ABO
，
由(2)可知S△ABC
=|
xAyB
﹣xByA|=
|sin(﹣β)
|
…………………8分
又因为为重心，所以，
平方相加得：2+
2cos(﹣β)=1，cos(﹣β)=
﹣
……………………………10分
所以|
sin(﹣β)
|=
，
所以S△ABC=，
所以S△ABC是定值，值为
.……………………………12分
注
意
事
项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
本试卷共6页，包含单项选择题（共8题）、多项选择题（共4题）、填空题（共4题）、解答题（共6题），满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
（第14题图）
A
B
C
D
E
A
B
C
D