五年级数学下册知识讲义-3 长方体和正方体的体积公式的应用-人教版
文档属性
| 名称 | 五年级数学下册知识讲义-3 长方体和正方体的体积公式的应用-人教版 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 164.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-21 19:37:54 | ||
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文档简介
小学数学
长方体和正方体的体积公式的应用
我们知道，正方体是特殊的长方体，那么可以用同一个公式计算它们的体积吗？如果可以，那么这个公式是什么？
在长方体和正方体中，无论怎么放置，总会有一个面朝下，通常我们把朝下的这个面叫做底面。这个底面的面积，叫做底面积。
→长方体的底面积＝长×宽
→正方体的底面积＝棱长×棱长
1.
长方体和正方体统一体积计算公式：长方体（或正方体）的体积＝底面积×高；用字母表示为。
2.
已知长方体的底面积、高、体积三个量中的任意两个量，可以求出第三个量。
①
已知底面积和高，求体积。直接用长方体体积公式“”计算。
②
已知体积和高，求底面积。用长方体体积公式变形公式“”计算。
③
已知体积和底面积，求高。用长方体体积公式变形公式“”计算。
例题1
一个长方体的钢坯，横截面的面积是８，长是0.
7dm，10个这样的钢坯的体积是多少？
解答过程：我们先求出一个钢坯的体积，钢坯的横截面的面积可以看作是底面积，长可以看作钢坯的高，根据长方体和正方体的统一体积公式，即可求出一个钢坯的体积。
答案：V=Sh=8×0.7=5.
6（）
5.
6×10=56（）
答：10个这样的钢坯的体积是56立方分米。
例题2
一块正方体的方钢，棱长是20cm，把它锻造成一个高80cm的长方体模具，这个长方体模具的底面积是多少平方厘米？
解答过程：锻造前后体积不变。先求出正方体的体积，也就是长方体模具的体积，再根据Ｖ＝Ｓｈ可以推导出S=V÷h，即用长方体模具的体积除以它的高，就能求出长方体模具的底面积。
答案：20×20×20÷80=100
答：这个长方体模具的底面积是100。
技巧点拨：根据公式Ｖ＝Ｓｈ，可推导出S=V÷h，h=V÷S，已知这三个量中的任意两
个量，都可以求出第三个量。
例题3
一个长方体，表面积是368cm?，底面积是40cm?，底面周长是36cm，求这个长方体的体积。
解答过程：求这个长方体的体积，底面积已知，还需要知道高。长方体的表面积减去2个底面积的和，就是4个侧面的面积和。把4个侧面展开，如图所示：底面周长相当于展开图的长，高相当于展开图的宽。用展开图的面积除以36，就可以求出高。
答案：（368－40×2）÷36×40
＝288÷36×40
＝8×40
＝320（cm?）
答：这个长方体的体积是320立方厘米。
技巧点拨：长方体的表面积－底面积×2＝4个侧面的面积和；4个侧面的面积和＝底面周长×高。
例题4
将一个长方体的高减少5cm，就变成了正方体，正方体的表面积比原来长方体的表面积减少了60cm?。原长方体的体积是多少立方厘米？
解答过程：由长方体的高减少5cm，就变成了正方体可知，原长方体的上下底面是正方形，原长方体的长和宽相等。表面积减少60cm?，减少部分的面积实际上就是4个面积相等的长方形，如下图所示。用60除以4就是1个长方形的面积，再用这个面积除以5就能得出正方形的棱长，即原长方体的长和宽。然后用正方体的棱长加上减少的5cm就是原长方体的高，最后根据长方体的体积计算公式，求出原长方体的体积。
答案：原长方体的长和宽：60÷4÷5＝3（cm）
原长方体的高：3＋5＝8（cm）
原长方体的体积：8×3×3＝72（cm?）
答：原长方体的体积是72
cm?。
技巧点拨：把长方体截取一段后，减少部分的面积是由4个相同的图形组成的，明确这个关系是解题的关键。
（答题时间：10分钟）
关卡一
神笔填空
1.
一个长方体的横截面是边长为3厘米的正方形，它的长是5厘米，体积是（ ）立方厘米。
2.
一个正方体水箱的底面积是64平方分米，水箱的体积是（ ）立方分米。
3.
有沙16立方米，要垫在长8米、宽2.
5米的沙坑里，可以垫的厚度是（ ）米。
4.
填出下表中长方体或正方体的相关数据
底面积
高
体积
24
120
14cm
224
35
12dm
关卡二
精挑细选
1.
一个正方体的棱长是6厘米，它的表面积和体积相比是（
）
A.
一样大
??B.
表面积大
?C.
体积大
D.
无法比较
2.
将一个正方体钢坯熔铸成长方体，熔铸前后的（
）
A.
体积和表面积都相等
B.
体积和表面积都不相等
C.
体积相等，表面积不等
关卡三
计算我最棒
1.
哈尔滨冰雪节上的一个冰雕作品的形状是长方体，它的长和宽都是8m，高是3.
5m，它的体积是多少立方米？
2.
王叔叔的小货车油箱的底面积是16，高是2.
5dm，求油箱的体积是多少立方分米。
关卡一
神笔填空
1.
45
解析：V=3×3×5=45（cm3）
2.
512
解析：正方体水箱，底面积是64，所以棱长是8，所以Ｖ＝（dm3）
3.
0.8
解析：求厚度实际就是求长方体的高度。
4.
底面积
高
体积
24
5m
120
16
14cm
224
35
12dm
420
关卡二
精挑细选
1.
D
解析：表面积的单位是面积单位，体积的单位是体积单位，因此无法比较。
2.
C
关卡三
计算我最棒
1.
V=abh=8×8×3.
5=224（）
答：它的体积是224立方米。
2.
Ｖ＝Ｓｈ=16×2.5=40（）
答：油箱的体积是40立方分米。
长方体和正方体的体积公式的应用
我们知道，正方体是特殊的长方体，那么可以用同一个公式计算它们的体积吗？如果可以，那么这个公式是什么？
在长方体和正方体中，无论怎么放置，总会有一个面朝下，通常我们把朝下的这个面叫做底面。这个底面的面积，叫做底面积。
→长方体的底面积＝长×宽
→正方体的底面积＝棱长×棱长
1.
长方体和正方体统一体积计算公式：长方体（或正方体）的体积＝底面积×高；用字母表示为。
2.
已知长方体的底面积、高、体积三个量中的任意两个量，可以求出第三个量。
①
已知底面积和高，求体积。直接用长方体体积公式“”计算。
②
已知体积和高，求底面积。用长方体体积公式变形公式“”计算。
③
已知体积和底面积，求高。用长方体体积公式变形公式“”计算。
例题1
一个长方体的钢坯，横截面的面积是８，长是0.
7dm，10个这样的钢坯的体积是多少？
解答过程：我们先求出一个钢坯的体积，钢坯的横截面的面积可以看作是底面积，长可以看作钢坯的高，根据长方体和正方体的统一体积公式，即可求出一个钢坯的体积。
答案：V=Sh=8×0.7=5.
6（）
5.
6×10=56（）
答：10个这样的钢坯的体积是56立方分米。
例题2
一块正方体的方钢，棱长是20cm，把它锻造成一个高80cm的长方体模具，这个长方体模具的底面积是多少平方厘米？
解答过程：锻造前后体积不变。先求出正方体的体积，也就是长方体模具的体积，再根据Ｖ＝Ｓｈ可以推导出S=V÷h，即用长方体模具的体积除以它的高，就能求出长方体模具的底面积。
答案：20×20×20÷80=100
答：这个长方体模具的底面积是100。
技巧点拨：根据公式Ｖ＝Ｓｈ，可推导出S=V÷h，h=V÷S，已知这三个量中的任意两
个量，都可以求出第三个量。
例题3
一个长方体，表面积是368cm?，底面积是40cm?，底面周长是36cm，求这个长方体的体积。
解答过程：求这个长方体的体积，底面积已知，还需要知道高。长方体的表面积减去2个底面积的和，就是4个侧面的面积和。把4个侧面展开，如图所示：底面周长相当于展开图的长，高相当于展开图的宽。用展开图的面积除以36，就可以求出高。
答案：（368－40×2）÷36×40
＝288÷36×40
＝8×40
＝320（cm?）
答：这个长方体的体积是320立方厘米。
技巧点拨：长方体的表面积－底面积×2＝4个侧面的面积和；4个侧面的面积和＝底面周长×高。
例题4
将一个长方体的高减少5cm，就变成了正方体，正方体的表面积比原来长方体的表面积减少了60cm?。原长方体的体积是多少立方厘米？
解答过程：由长方体的高减少5cm，就变成了正方体可知，原长方体的上下底面是正方形，原长方体的长和宽相等。表面积减少60cm?，减少部分的面积实际上就是4个面积相等的长方形，如下图所示。用60除以4就是1个长方形的面积，再用这个面积除以5就能得出正方形的棱长，即原长方体的长和宽。然后用正方体的棱长加上减少的5cm就是原长方体的高，最后根据长方体的体积计算公式，求出原长方体的体积。
答案：原长方体的长和宽：60÷4÷5＝3（cm）
原长方体的高：3＋5＝8（cm）
原长方体的体积：8×3×3＝72（cm?）
答：原长方体的体积是72
cm?。
技巧点拨：把长方体截取一段后，减少部分的面积是由4个相同的图形组成的，明确这个关系是解题的关键。
（答题时间：10分钟）
关卡一
神笔填空
1.
一个长方体的横截面是边长为3厘米的正方形，它的长是5厘米，体积是（ ）立方厘米。
2.
一个正方体水箱的底面积是64平方分米，水箱的体积是（ ）立方分米。
3.
有沙16立方米，要垫在长8米、宽2.
5米的沙坑里，可以垫的厚度是（ ）米。
4.
填出下表中长方体或正方体的相关数据
底面积
高
体积
24
120
14cm
224
35
12dm
关卡二
精挑细选
1.
一个正方体的棱长是6厘米，它的表面积和体积相比是（
）
A.
一样大
??B.
表面积大
?C.
体积大
D.
无法比较
2.
将一个正方体钢坯熔铸成长方体，熔铸前后的（
）
A.
体积和表面积都相等
B.
体积和表面积都不相等
C.
体积相等，表面积不等
关卡三
计算我最棒
1.
哈尔滨冰雪节上的一个冰雕作品的形状是长方体，它的长和宽都是8m，高是3.
5m，它的体积是多少立方米？
2.
王叔叔的小货车油箱的底面积是16，高是2.
5dm，求油箱的体积是多少立方分米。
关卡一
神笔填空
1.
45
解析：V=3×3×5=45（cm3）
2.
512
解析：正方体水箱，底面积是64，所以棱长是8，所以Ｖ＝（dm3）
3.
0.8
解析：求厚度实际就是求长方体的高度。
4.
底面积
高
体积
24
5m
120
16
14cm
224
35
12dm
420
关卡二
精挑细选
1.
D
解析：表面积的单位是面积单位，体积的单位是体积单位，因此无法比较。
2.
C
关卡三
计算我最棒
1.
V=abh=8×8×3.
5=224（）
答：它的体积是224立方米。
2.
Ｖ＝Ｓｈ=16×2.5=40（）
答：油箱的体积是40立方分米。