初中数学华师大版八年级上学期第12章12.5因式分解同步练习
数学考试
题号 一 二 三 四 总分
评分
一、单选题
1．（2021七下·镇海期末）对多项式3x2﹣3x因式分解，提取的公因式为（ ）
A．3 B．x C．3x D．3x2
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵3x2﹣3x ，
∴3x2﹣3x =3x（x-1），
则提取的公因式为3x.
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的提公因式法即可求解.
2．（2021七下·吴兴期末）下列式子直接能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：16a2+8a+1=（4a+1）2，故选项A符合题意；
B、a2-3a+9不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项B错误；
C、4a2+4a-1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项C错误；
D、a2-8a-169不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项D错误.
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式法分解因式的式子特点：a2±2ab+b2=（a±b）2，逐项进行判断，即可得出答案.
3．（2021·广元）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；去括号法则及应用
【解析】【解答】解：A. ，原选项计算错误，不合题意；
B. ，原选项计算正确，符合题意；
C. ，原选项计算错误，不合题意；
D. ，原选项计算错误，不合题意.
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式，平方差公式以及去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内的各项符号不变；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内的各项符号与原来的符号相反和多项式×多项式：用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加可得结果.
4．（2021八下·杨浦期末）如果二次三项式 能在实数范围内分解因式，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：∵二次三项式x2+4x+p能在实数范围内分解因式，
∴△=16-4p≥0，
解得：p≤4，
故答案为：D．
【分析】先求出△=16-4p≥0，再计算求解即可。
5．（2021·曾都模拟）对于 这类特殊的三次方程可以这样来解.先将方程的左边分解因式： ，这样原方程就可变为 ，即有 或 ，因此，方程 和 的所有解就是原方程的解.据此，显然 有一个解为 ，设它的另两个解为 ， ，则式子 的值（ ）
A． B．1 C． D．7
【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
则 ，
即 ，
，
， ， ，
.
故答案为：B
【分析】将 进行变形，再进一步因式分解得 ，得到关于x的方程求解即可.
6．（2021七下·余姚竞赛）已知 （ 为任意有理数），则M与N的大小关系是（ ）
A．M>N B．M【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】∵M-N=a2+4b2-4ab=（a-2b）2≥0
∴M≥N
故答案为：C.
【分析】利用作差比较法：M-N=a2+4b2-4ab=（a-2b）2，进而判断M与N的大小关系．
7．（2021七下·濉溪期中）对于①x-3xy=x(1-3y) ，②(x+3)(x-1)=x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．①是因式分解，②是乘法运算
C．都是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】B
【知识点】有理数的乘法运算律；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：根据题意可得，①为因式分解，②为乘法运算
故答案为：B.
【分析】根据整式乘法的定义以及因式分解的定义，判断得到答案即可。
8．（2020·扬州模拟）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）= .例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= .如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”.根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F（48）= ；（2）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F（t）的最大值为 . （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）48可以分解为1×48，2×24，3×16，4×12，6×8
∵48-1>24-2>16-3>12-4>8-6
∴6×8是48的最佳分解，∴F（48）= ，故（1）正确；
（ 2 ）对任意一个完全平方数m设m=n2（n为正整数）
∵
∴n×n是m的最佳分解
∴对任意一个完全平方数m，总有 ，故（2）正确；
（ 3 ）51-15=36，故15为吉祥数；62-26=36，故36为吉祥数，故（3）正确；
（ 4 ）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为T=10y+x
∵t为吉祥数
∴T-t=10y+x-(10x+y)=9y-9x=36
∴y=x+4
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数
∴吉祥数有：15，26，37，48，59
∴ ， ， ， ，
∴最大值为 ，故（4）正确；
故答案为：D.
【分析】根据最佳分解的定义判断（1）和（2），根据吉祥数的定义判断（3）和（4），即可得出答案.
9．（2020七下·温州期中）如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边 EF 交 CD 于点H，在边 BE 上取点 M 使BM=BC，作 MN∥BG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N．
欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了 ，连结AC，记△ABC的面积为 ，图中阴影部分的面积为 ．若 ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】 解：
∵
∴
故答案为：C
【分析】本题关键是把表示出来，利用a、b的关系即可得到比值。三角形的面积易求，阴影部分的面积可看成大正方形EBGF的面积减去小正方形HFNL的面积。综上所述即可得到答案
二、填空题
10．（2021·仙桃）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式 ，
，
故答案为： .
【分析】首先提取公因式5x2，可得原式=5x2(x2-1)，然后利用平方差公式分解即可.
11．（2021·十堰）已知 ，则 .
【答案】36
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】∵ ，
∴原式= ，
故答案是：36.
【分析】利用因式分解将原式变形为，然后整体代入计算即可.
12．（2020七上·景德镇期末）已知 为实数，若 均为多项式 的因式，则 .
【答案】100
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】解： 均为多项式 的因式，且三次项系数为1
设另一个因式为
则
整理得：
由此可得：
故答案为：100.
【分析】根据三次项系数为1，可设另一个因式为 ，然后建立等式，分别用k表示m，n，p的值，再代入求解即可.
13．（2019七上·徐汇期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝ ．
【答案】21
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），
∴a＝6，
乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），
∴b＝9，
∴2a+b＝12+9＝21．
故答案为：21．
【分析】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a符合题意，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b符合题意，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可．
14．（2019七上·静安期中）观察下列各式：
(x 1)(x+1)=x 1
(x 1)(x +x+1)=x 1
(x 1)(x +x +x+1)=x 1…
根据以上规律， 求1+2+2 +…+ .
【答案】22018-1
【知识点】因式分解的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：1+2+2 +…+22016+22017
=（2-1）(1+2+2 +…+ 22016+22017 )
=22018-1
故答案为：22018-1
【分析】把原式进行变形，即原式乘以（2-1）后根据题中的规律可得结果.
三、计算题
15．（2021·铁锋模拟）
（1）计算： ．
（2）分解因式： ．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】实数的运算；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、立方根、0指数幂及负指数幂的性质化简，再计算即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可。
16．（2021·元阳模拟）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】解：原式 ．
当 时，原式 ．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】利用完全平方公式以及平方差公式进行因式分解，化简式子，得到答案即可。
四、综合题
17．（2021七下·余姚竞赛）材料阅读：若一个整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为13=32+22，所以13是“完美数”；再如：因为a2+2ab+2b2=（a+b）2+b2（a、b是正整数），所以a2+2ab+2b2也是“完美数”．
（1）解决问题：
请你写出一个大于20小于30 的“完美数”，并判断53是否为“完美数”；
（2）探究问题：
①已知x2+y2-2x+4y+5＝0，求x+y的值．
②已知S＝x2+4y2+4x-12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
【答案】（1）解：25=42+32，
∵53=49+4=72+22，
∴53是“完美数”
（2）解：①
且
②
要使S是完美数，只要k -13=0
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据先“完美数”的定义写出一个即可（答案不唯一），再由“完美数”的定义判断53是否是完美数即可。
（2）①根据完全平分公式将条件变为：(x-1)2+(y+2)2＝0”，再根据非负数的性质求解即可。
②假设S是完美数，将 代数式利用完全平分公式将条件变为： ，再k-13取为平方数即可。
18．（2021七下·慈溪期中）实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片.
实验过程： 用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.
探索问题：
（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片 张，长方形纸片 张；
（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；
（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在方框内.
【答案】（1）3；3
（2）解：a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）或（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
（3）解：如图④，2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）由（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可知需要两种正方形纸片3张，长方形纸片3张；
故答案为：3；3；
【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则可得（2a＋b）（a＋b）＝2a2＋3ab＋b2，可知需要两种正方形纸片3张，长方形纸片3张；
（2）正方形、长方形硬纸片共8块的面积等于长为a＋3b，宽为a＋b的矩形面积，所以a2＋4ab＋3b2＝（a＋3b）（a＋b）；
（3）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于长为a＋2b，宽为2a＋b的矩形面积，则2a2＋5ab＋2b2＝（2a＋b）（a＋2b）.
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期第12章12.5因式分解同步练习
数学考试
题号 一 二 三 四 总分
评分
一、单选题
1．（2021七下·镇海期末）对多项式3x2﹣3x因式分解，提取的公因式为（ ）
A．3 B．x C．3x D．3x2
2．（2021七下·吴兴期末）下列式子直接能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·广元）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021八下·杨浦期末）如果二次三项式 能在实数范围内分解因式，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·曾都模拟）对于 这类特殊的三次方程可以这样来解.先将方程的左边分解因式： ，这样原方程就可变为 ，即有 或 ，因此，方程 和 的所有解就是原方程的解.据此，显然 有一个解为 ，设它的另两个解为 ， ，则式子 的值（ ）
A． B．1 C． D．7
6．（2021七下·余姚竞赛）已知 （ 为任意有理数），则M与N的大小关系是（ ）
A．M>N B．M7．（2021七下·濉溪期中）对于①x-3xy=x(1-3y) ，②(x+3)(x-1)=x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．①是因式分解，②是乘法运算
C．都是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
8．（2020·扬州模拟）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）= .例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= .如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”.根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F（48）= ；（2）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F（t）的最大值为 . （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2020七下·温州期中）如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边 EF 交 CD 于点H，在边 BE 上取点 M 使BM=BC，作 MN∥BG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N．
欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了 ，连结AC，记△ABC的面积为 ，图中阴影部分的面积为 ．若 ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2021·仙桃）分解因式： .
11．（2021·十堰）已知 ，则 .
12．（2020七上·景德镇期末）已知 为实数，若 均为多项式 的因式，则 .
13．（2019七上·徐汇期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝ ．
14．（2019七上·静安期中）观察下列各式：
(x 1)(x+1)=x 1
(x 1)(x +x+1)=x 1
(x 1)(x +x +x+1)=x 1…
根据以上规律， 求1+2+2 +…+ .
三、计算题
15．（2021·铁锋模拟）
（1）计算： ．
（2）分解因式： ．
16．（2021·元阳模拟）先化简，再求值： ，其中 ．
四、综合题
17．（2021七下·余姚竞赛）材料阅读：若一个整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为13=32+22，所以13是“完美数”；再如：因为a2+2ab+2b2=（a+b）2+b2（a、b是正整数），所以a2+2ab+2b2也是“完美数”．
（1）解决问题：
请你写出一个大于20小于30 的“完美数”，并判断53是否为“完美数”；
（2）探究问题：
①已知x2+y2-2x+4y+5＝0，求x+y的值．
②已知S＝x2+4y2+4x-12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
18．（2021七下·慈溪期中）实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片.
实验过程： 用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.
探索问题：
（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片 张，长方形纸片 张；
（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；
（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在方框内.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵3x2﹣3x ，
∴3x2﹣3x =3x（x-1），
则提取的公因式为3x.
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的提公因式法即可求解.
2．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：16a2+8a+1=（4a+1）2，故选项A符合题意；
B、a2-3a+9不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项B错误；
C、4a2+4a-1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项C错误；
D、a2-8a-169不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项D错误.
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式法分解因式的式子特点：a2±2ab+b2=（a±b）2，逐项进行判断，即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；去括号法则及应用
【解析】【解答】解：A. ，原选项计算错误，不合题意；
B. ，原选项计算正确，符合题意；
C. ，原选项计算错误，不合题意；
D. ，原选项计算错误，不合题意.
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式，平方差公式以及去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内的各项符号不变；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内的各项符号与原来的符号相反和多项式×多项式：用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加可得结果.
4．【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：∵二次三项式x2+4x+p能在实数范围内分解因式，
∴△=16-4p≥0，
解得：p≤4，
故答案为：D．
【分析】先求出△=16-4p≥0，再计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
则 ，
即 ，
，
， ， ，
.
故答案为：B
【分析】将 进行变形，再进一步因式分解得 ，得到关于x的方程求解即可.
6．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】∵M-N=a2+4b2-4ab=（a-2b）2≥0
∴M≥N
故答案为：C.
【分析】利用作差比较法：M-N=a2+4b2-4ab=（a-2b）2，进而判断M与N的大小关系．
7．【答案】B
【知识点】有理数的乘法运算律；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：根据题意可得，①为因式分解，②为乘法运算
故答案为：B.
【分析】根据整式乘法的定义以及因式分解的定义，判断得到答案即可。
8．【答案】D
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）48可以分解为1×48，2×24，3×16，4×12，6×8
∵48-1>24-2>16-3>12-4>8-6
∴6×8是48的最佳分解，∴F（48）= ，故（1）正确；
（ 2 ）对任意一个完全平方数m设m=n2（n为正整数）
∵
∴n×n是m的最佳分解
∴对任意一个完全平方数m，总有 ，故（2）正确；
（ 3 ）51-15=36，故15为吉祥数；62-26=36，故36为吉祥数，故（3）正确；
（ 4 ）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为T=10y+x
∵t为吉祥数
∴T-t=10y+x-(10x+y)=9y-9x=36
∴y=x+4
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数
∴吉祥数有：15，26，37，48，59
∴ ， ， ， ，
∴最大值为 ，故（4）正确；
故答案为：D.
【分析】根据最佳分解的定义判断（1）和（2），根据吉祥数的定义判断（3）和（4），即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】 解：
∵
∴
故答案为：C
【分析】本题关键是把表示出来，利用a、b的关系即可得到比值。三角形的面积易求，阴影部分的面积可看成大正方形EBGF的面积减去小正方形HFNL的面积。综上所述即可得到答案
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式 ，
，
故答案为： .
【分析】首先提取公因式5x2，可得原式=5x2(x2-1)，然后利用平方差公式分解即可.
11．【答案】36
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】∵ ，
∴原式= ，
故答案是：36.
【分析】利用因式分解将原式变形为，然后整体代入计算即可.
12．【答案】100
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】解： 均为多项式 的因式，且三次项系数为1
设另一个因式为
则
整理得：
由此可得：
故答案为：100.
【分析】根据三次项系数为1，可设另一个因式为 ，然后建立等式，分别用k表示m，n，p的值，再代入求解即可.
13．【答案】21
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），
∴a＝6，
乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），
∴b＝9，
∴2a+b＝12+9＝21．
故答案为：21．
【分析】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a符合题意，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b符合题意，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可．
14．【答案】22018-1
【知识点】因式分解的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：1+2+2 +…+22016+22017
=（2-1）(1+2+2 +…+ 22016+22017 )
=22018-1
故答案为：22018-1
【分析】把原式进行变形，即原式乘以（2-1）后根据题中的规律可得结果.
15．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】实数的运算；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、立方根、0指数幂及负指数幂的性质化简，再计算即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可。
16．【答案】解：原式 ．
当 时，原式 ．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】利用完全平方公式以及平方差公式进行因式分解，化简式子，得到答案即可。
17．【答案】（1）解：25=42+32，
∵53=49+4=72+22，
∴53是“完美数”
（2）解：①
且
②
要使S是完美数，只要k -13=0
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据先“完美数”的定义写出一个即可（答案不唯一），再由“完美数”的定义判断53是否是完美数即可。
（2）①根据完全平分公式将条件变为：(x-1)2+(y+2)2＝0”，再根据非负数的性质求解即可。
②假设S是完美数，将 代数式利用完全平分公式将条件变为： ，再k-13取为平方数即可。
18．【答案】（1）3；3
（2）解：a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）或（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
（3）解：如图④，2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）由（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可知需要两种正方形纸片3张，长方形纸片3张；
故答案为：3；3；
【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则可得（2a＋b）（a＋b）＝2a2＋3ab＋b2，可知需要两种正方形纸片3张，长方形纸片3张；
（2）正方形、长方形硬纸片共8块的面积等于长为a＋3b，宽为a＋b的矩形面积，所以a2＋4ab＋3b2＝（a＋3b）（a＋b）；
（3）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于长为a＋2b，宽为2a＋b的矩形面积，则2a2＋5ab＋2b2＝（2a＋b）（a＋2b）.
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