6.1 平面向量的概念
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
1．从物理背景、几何背景入手，从矢量概念引入向量的概念，提升数学抽象的核心素养．2．类比实数在数轴上的表示，给出向量的几何意义，培养数学抽象和直观想象的核心素养．3．通过相等向量和平行向量的学习，提升逻辑推理的核心素养．
高尔夫球是一项非常有趣的运动，这项运动需要全身器官的整体协调，而击球的关键在于两个“D”，即方向(Direction)和距离(Distance)，初学者中有不少人只想把球打远，而忽视方向的重要性，其实，把球打直要比打远更重要！所以擅长打高尔夫的人都会谨记这样一个原则：“方向比距离更重要”．
方向走对了，哪怕走得慢却能一步一步靠近成功；可倘若走错了方向，不仅白忙活一场，更可能离成功越来越远．
问题：你能从数学的角度来解释高尔夫球运动中“方向比距离更重要”的原因吗？
知识点1 向量与数量
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．
1．海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，那么海拔是向量吗？温度也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？
[提示] 海拔不是向量，它只有大小没有方向．温度也是只有大小没有方向，不是向量．海拔的正负、温度的零上或零下都只是相对规定的标准来说的，不是指方向．
1．给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中是向量的有________．(填序号)
②③④⑤ [质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量．速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，所以是向量．]
知识点2 向量的几何表示
(1)具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量可以用有向线段来表示．向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||．向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，．
2．(1)向量可以比较大小吗？
(2)有向线段就是向量吗？
[提示] (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．
2．如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出________个向量．
12 [由向量的几何表示，知可以写出12个向量，它们分别是，，，，，，，，，，，．]
知识点3 向量的有关概念
零向量
长度为0的向量，记做0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量．向量a，b平行，记作a∥b．规定：零向量与任意向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量．a与向量b相等，记作a＝b
3．“向量平行”与“几何中的直线平行”一样吗？
[提示] 向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行包括所在直线重合的情况，故也称向量共线．
3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)长度为0的向量都是零向量．
( )
(2)零向量的方向都是相同的．
( )
(3)单位向量的长度都相等．
( )
(4)单位向量都是同方向．
( )
(5)任意向量与零向量都共线．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________．(填序号)
(1)与；(2)与；
(3)与；(4)与．
(1)(4) [由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：
＝，≠，≠，＝．]
类型1 向量的有关概念
【例1】 判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b．
(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．
(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
1．理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向．
2．共线向量与平行向量
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．
1．给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是________．
③ [①错误．若b＝0，则①不成立；
②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；
③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；
④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上．]
类型2 向量的表示及应用
【例2】 (对接教材P5－T1)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
(2)，使||＝4，点B在点A正东；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°．
[解] (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
用有向线段表示向量的基本思路是什么？
[提示] 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定有向线段的终点．必要时，需依据三角形的相关知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量．
2．飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1
400
km到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行1
400
km到达C地，那么C地在A地的什么方向上？C地距A地多远？
[解] 如图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则||＝1
400
km．
表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则||＝1
400
km．
所以为飞机从A地到C地的位移．
在△ABC中，AB＝BC＝1
400
km，且∠ABC＝75°－15°＝60°，
故△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，AC＝1
400
km．60°－15°＝45°，
所以C地在A地北偏东45°方向上，距离A地1
400
km．
类型3 相等向量和共线向量
【例3】 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c．
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？
[提示] 不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．
2．若∥，则从直线AB与直线CD的关系和与的方向关系两个方面考虑有哪些情况？
[提示] 分四种情况
(1)直线AB和直线CD重合，与同向；
(2)直线AB和直线CD重合，与反向；
(3)直线AB∥直线CD，与同向；
(4)直线AB∥直线CD，与反向．
[解] (1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，．
(2)与a共线的向量有，，，，，，，，．
(3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，．
1．本例条件不变，写出与向量相等的向量．
[解] 相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以题图中与相等的向量有，，．
2．本例条件不变，写出与向量长度相等的共线向量．
[解] 与长度相等的共线向量有：，，，，，，．
3．在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？
[解] 由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，所以△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1．
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．
3．如图所示，△ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与长度相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
[解] (1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，
∴与共线的向量为，，，，，，．
(2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，
∴EF＝BC，BD＝DC＝BC，∴EF＝BD＝DC．
∵AB，BC，AC均不相等，
∴与长度相等的向量为，，，，．
(3)与相等的向量为，．
1．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量( )
A．都相等
B．都共线
C．都不共线
D．模都相等
D [因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．]
2．汽车以120
km/h的速度向西走了2
h，摩托车以45
km/h的速度向东北方向走了2
h，则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
C [速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．]
3．(多选题)下列条件，能使a∥b成立的有( )
A．a＝b
B．|a|＝|b|
C．a与b方向相反
D．|a|＝0或|b|＝0
ACD [若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量都平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b．]
4．如图，在圆O中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
C [由题图可知，三向量方向不同，但长度相等，即这三个向量的模相等．]
5．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，
(1)与平行的向量有________；
(2)与模相等的向量有________．
[答案] (1)，， (2)，，，，，，，，
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)向量的概念是什么？如何用有向线段表示一个向量？
(2)如何区别零向量、单位向量、平行向量与相等向量的概念？
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2
-6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
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习
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养
1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．(难点)2．掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点)3．能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)
1．教材从几何角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，结合了对应的物理模型，提升直观想象和数学建模的核心素养．2．对比数的加法，给出了向量的加法运算律，培养数学运算的核心素养．
在生活中，你是否有这样的经验：
两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力．
在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力．
问题：你能从数学的角度解释上述现象吗？
知识点1 向量的加法
1．向量加法的定义
(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a．
2．向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
平行四边形法则
已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作?ABCD，则对角线上的向量＝a＋b
3．|a＋b|与|a|、|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．
两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
[提示] 不是，向量相加要考虑大小及方向，而模相加是数量的加法．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．
( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．
( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．
( )
(4)|a|＋|b|＞|a＋b|．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
知识点2 向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a．
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
2．(1)＋＋等于( )
A． B． C． D．
(2)如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________．
(3)小船以10
km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10
km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h．
(1)C (2) (3)20 [(1)＋＋＝＋＋＝．(2)由平行四边形法则可知＋＝．(3)根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度的大小为＝20(km/h)．]
类型1 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
【例1】 (1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)：
①＋＝________；
②＋＝________；
③＋＋＝________．
(2)(对接教材P8例1)①如图甲所示，求作向量和a＋b；
②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c．
甲 乙
1．向量加法的三角形法则和平行四边形法则的使用条件有什么不同？两者有何联系？
[提示] (1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
如图所示，＝＋(平行四边形法则)，又因为＝，
所以＝＋(三角形法则)．
2．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，＋＋＋…＋An－1An的运算结果是什么？
[提示] 将三角形法则进行推广可知＋＋＋…＋An－1An＝．
(1)① ② ③ [如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
①＋＝＋＝．
②＋＝＋＝．
③＋＋＝＋＋＝．]
(2)[解] ①首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b．如图所示．
②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b．再以OD，OC为邻边作?ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c，即为所求．
1．在本例(1)条件下，求＋．
[解] 因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，
所以＋＝．
2．在本例(1)图形中求作向量＋＋．
[解] 过A作AG∥DF交CF的延长线于点G，
则＋＝，作
＝，连接，
则＝＋＋，如图所示．
1．应用三角形法则应注意的问题
使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”，即首尾相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点．
2．应用平行四边形法则应注意的问题
(1)平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和．
(2)基本步骤可简述为：共起点，两向量所在线段为邻边作平行四边形，找共起点的对角线对应的向量．
1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A．
B．
C．
D．
B [以OP，OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ之间的对角线OF对应的向量即所求向量．]
类型2 向量加法运算律的应用
【例2】 (1)化简：
①＋；
②＋＋；
③＋＋＋＋．
(2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋．
[解] (1)①＋＝＋＝．
②＋＋＝＋＋＝0．
③＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0．
(2)①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝．
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0．
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．
实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
2．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( )
A． B． C． D．
D [原式＝(＋)＋(＋＋)＝＋0＝．]
类型3 向量加法的实际应用
【例3】 如图，用两根绳子把重10
N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计)．
[解] 如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10
N的重力用表示，则＋＝．
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°．
∴||＝||·cos
30°＝10×＝5，
||＝||·cos
60°＝10×＝5．
∴A处所受的力的大小为5
N，B处所受的力的大小为5
N．
利用向量的加法解决实际应用问题的步骤是什么？你认为有哪些关键点和技巧？
[提示] (1)利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
(2)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量．
(3)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．
3．如图所示，在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
[解] 设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km，从B地按南偏东55°的方向飞行800
km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和是＋＝．
依题意，有||＋||＝800＋800＝1
600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°．
从而飞机飞行的路程是1
600
km，两次飞行的位移和的大小为800
km，方向为北偏东80°.
1．(多选题)下列各式一定成立的是( )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
ABC [A，B，C项满足运算律及运算法则，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等，需满足三角形法则．]
2．(多选题)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是( )
A．＋
B．＋＋
C．＋＋
D．＋＋
ABD [在A中，＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝．]
3．如图，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是( )
A．＋＝
B．＋＋＝0
C．＋＝
D．＋＝
D [由向量加法的平行四边形法则，可知＋＝≠．]
4．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________．
13 [|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13．]
5．若a表示“向东走8
km”，b表示“向北走8
km”，则|a＋b|＝________km，a＋b的方向是________．
8 东北方向 [如图所示，作＝a，＝b，
则a＋b＝＋＝．
所以|a＋b|＝||
＝＝8(km)，
因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)向量加法的概念是什么？
(2)向量加法的“三角形法则”和“平行四边形法则”的内容是什么？如何选用？
(3)向量加法的交换律和结合律是什么？
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-6.2.2 向量的减法运算
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1．理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．(难点)2．掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．(重点)3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点)
1．类比数的运算，自然引入向量的减法运算是加法运算的逆运算，顺利给出向量减法的三角形法则，培养数学抽象和数学建模的核心素养．2．通过对向量的减法的学习，提升数学运算和逻辑推理素养．
一架飞机由天津―→香港，再由香港―→天津．
问题：飞机的两次位移分别是什么？它们之间有什么关系？
知识点 向量的减法运算
1．相反向量
(1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a．
(2)性质：①－(－a)＝a．
②对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．
③若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．
2．向量的减法
(1)定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法．
(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示．
在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|?
[提示] 当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)0－a＝－a．
( )
(2)－(－a)＝a．
( )
(3)a＋(－a)＝0．
( )
(4)a＋0＝a．
( )
(5)a－b＝a＋(－b)．
( )
(6)a＋(－a)＝0．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×
2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )
A．m＝n
B．m＝－n
C．|m|＝|n|
D．方向相反
A [由条件可知，当m≠0且n≠0时，B，C，D项都成立，故选A．]
3．化简－＋＋的结果等于( )
A． B．
C． D．
B [原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝．]
4．如图，在?ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝________，＝________．
a＋b b－a [由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－a．]
类型1 向量减法的几何意义
【例1】 (1)如图所示，四边形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．
(1)A [＝－＝(＋)－＝a＋c－b．]
(2)[解] 法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c．
法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－c．
图① 图②
如何作两个已知向量的差向量？
[提示] 求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c．
[解] 法一：先作a－b，再作a－b－c即可．
如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b．连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量．则向量即为所求作的向量a－b－c．
图① 图②
法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②．
(1)作＝－b和＝－c；
(2)作＝a，则＝a－b－c．
类型2 向量减法的运算及简单应用
【例2】 (1)如图所示：
①用a，b表示；
②用b，c表示．
(2)化简下列各向量的表达式：
①＋－；
②(－)－(－)；
③(＋＋)－(－－)．
[解] (1)由题意知＝a，＝b，＝c．
①＝－＝－－＝－a－b．
②＝－＝－(＋)＝－b－c．
(2)①＋－＝－＝．
②法一：(加法法则)
原式＝－－＋
＝(＋)－(＋)
＝－＝0．
法二：减法法则(利用相反向量)
原式＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0．
法三：减法法则(创造同一起点)
原式＝－－＋
＝(－)－(－)－(－)＋(－)
＝－－＋－＋＋－＝0．
③(＋＋)－(－－)
＝(＋)－(－)＝－＝0．
1．向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和．
(2)起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
2．与图形相关的向量运算化简
首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算．
2．(多选题)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是( )
A．＋＝0
B．＋＝
C．＋＝
D．＋＝0
ABD [由||＝||，且与的方向相反，知与是一对相反向量，因此有＋＝0，故选项A正确；由向量加法的平行四边形法则知＋＝，故选项B正确；由－＝，得＝＋，故选项C错误；与是一对相反向量，故＋＝0，故选项D正确．]
3．化简下列向量的表达式：
(1)－＋－；
(2)(－)＋(－)．
[解] (1)－＋－＝＋－＝－＝．
(2)(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝．
类型3 向量减法几何意义的应用
【例3】 (1)在四边形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是( )
A．菱形
B．矩形
C．正方形
D．不确定
(2)已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
1．已知a，b是不共线的向量，如何在同一个平行四边形中作出a－b和a＋b?
[提示] 如图所示，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则a＋b＝，a－b＝．
2．已知向量a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？
[提示] 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|．
(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立．
(2)当a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图①所示，根据三角形的性质，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|．同理可证||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|．
(3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图②所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|．②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图③所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|．
综上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|．
(1)B [∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵|－|＝|－|，∴||＝||．
∴四边形ABCD为矩形．]
(2)[解] ∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，
∴3≤|－|≤15．
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15．
∴|－|的取值范围为[3,15]．
1．将本例(2)的条件改为“||＝8，||＝5”，求||的取值范围．
[解] 因为＝－，||＝8，||＝5，
|||－|||≤|－|≤||＋||，
所以3≤||≤13，
当与同向时，||＝3；
当与反向时，||＝13．
所以||的取值范围是[3,13]．
2．在本例(2)条件不变的情况下，求|＋|的取值范围．
[解] 由|||－|||≤|＋|≤||＋||，
∵||＝6，||＝9，∴3≤|＋|≤15．
当与同向时，|＋|＝15；
当与反向时，|＋|＝3．
∴|＋|的取值范围为[3,15]．
3．本例(2)中条件“||＝9”改为“||＝9”，求||的取值范围．
[解] ＝－，又||＝||，
由|||－|||≤|－|≤||＋||，
∴3≤||≤15．
∴||的取值范围为[3,15]．
用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可；
(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．
1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－等于( )
A． B． C． D．
C [在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝．]
2．(多选题)在菱形ABCD中，下列等式中成立的是( )
A．－＝
B．－＝
C．－＝
D．－＝
ABD [如图，根据向量减法的三角形法则知A、B、D均正确，C中，－＝－－(＋)＝－2≠，故选ABD．]
3．化简－＋－＝________．
0 [－＋－
＝(＋)＋(－)
＝＋＝0．]
4．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是________．
[3,13] [因为＝－，故
当，同向共线时，||＝||－||＝3；
当，反向共线时，||＝||＋||＝13；
当，不共线时，|||－|||＜|－|＜||＋||，即3＜||＜13．
综上可得3≤||≤13．]
5．若a≠0，b≠0且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角为________．
30° [如图，设＝a，＝b，
则a－b＝，
因为|a|＝|b|＝|a－b|，
所以||＝||＝||，
所以△OAB是等边三角形，
所以∠BOA＝60°．
因为＝a＋b，且在菱形OACB中，
对角线OC平分∠BOA．
所以a与a＋b所在直线的夹角为30°．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)什么是相反向量？相反向量与相同向量的共同点和不同点分别是什么？
(2)向量的减法与加法之间有什么联系？
(3)向量减法的几何意义是什么？如何作两个已知向量的差向量？
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-6.2.3 向量的数乘运算
学
习
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心
素
养
1．了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(重点)2．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点)3．理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．(难点)4．理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点)
1．通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，再过渡到数乘运算及数乘运算律，养成数学抽象和数学运算的核心素养．2．通过判断向量共线的学习，培养逻辑推理和数据分析的核心素养．
一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？
问题：类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”你能猜想实例中a＋a＋a的结果吗？
知识点1 向量的数乘运算
(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
①λ(μ
a)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb；
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；
λ(a－b)＝λa－λb．
(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
1．(多选题)已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是( )
A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
B．－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的
C．－2a与2a是一对相反向量
D．a－b与－(b－a)是一对相反向量
ABC [先从实数的正负判断两向量方向的关系，再找两向量模的关系，从而得出结论．
A正确，∵2＞0，∴2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|．
B正确，∵5＞0，∴5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|，
又－2＜0，∴－2a与a的方向相反，且|－2a|＝2|a|，
∴5a与－2a的方向相反，且－2a的模是5a的模的．
C正确，按照相反向量的定义可以判断．
D不正确，∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，而a－b与b－a是一对相反向量，
∴a－b与－(b－a)为相等向量．]
2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是( )
A．b＝2a
B．b＝－2a
C．a＝2b
D．a＝－2b
A [因为a，b方向相同，故b＝2a．]
3．化简：2(3a＋4b)－8a＝________．
－2a＋8b [原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b．]
知识点2 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
定理中把“a≠0”去掉可以吗？
[提示] 定理中a≠0不能去掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa．
4．判断下列各小题中的向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个不共线向量)．
(1)a＝5e1，b＝－10e1；
(2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；
(3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2．
[解] (1)∵b＝－2a，∴a与b共线．
(2)∵a＝b，∴a与b共线．
(3)设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，
∴(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2．
∵e1与e2是两个不共线向量，∴
这样的λ不存在，因此a与b不共线．
类型1 向量的线性运算
【例1】 (对接教材P14例5)化简下列各式：
①3(6a＋b)－9；
②－2；
③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a．
[解] ①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a．
②原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0．
③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c．
向量数乘运算的方法
(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程来解——把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
1．(1)化简；
(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y．
[解] (1)原式＝
＝
＝＝a－b．
(2)由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b．
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b．
类型2 向量共线定理
【例2】 (1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；
(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．
1．如何证明向量a与b共线？
[提示] 要证明向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)即可，一般地，把a和b用相同的两个向量m，n表示出来，观察a与b具有倍数关系即可．
2．如何证明A，B，C三点在同一直线上？
[提示] 要证三点A，B，C共线，只需证明与或与共线即可．
[解] (1)证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
∴＝－＝e1－4e2．
又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，
∴＝2，∴∥．
∵AB与BD有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ，使＝λ，
即－＝λ(－)，
所以＝(1－λ)＋λ，
故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1．
1．本例(1)中把条件改为“＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2”，则A，B，C，D中哪三点共线？
[解] ∵＝e1＋2e2，＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2．
∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．
2．本例(1)中条件“＝2e1－8e2”改为“＝2e1＋ke2”且A，B，D三点共线，如何求k的值？
[解] 因为A，B，D三点共线，则与共线．设＝λ(λ∈R)，
∵＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2．由e1与e2不共线可得
∴λ＝2，k＝－8．
3．试利用本例(2)中的结论判断下列三点P，A，B，是否共线．
①＝＋；
②＝－2＋3；
③＝－．
[解] ①中∵＋＝1，∴P，A，B三点共线；
②中∵－2＋3＝1，∴P，A，B三点共线；
③中∵＋＝≠1，
∴P，A，B三点不共线．
1．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．
(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点?存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1．
2．利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得λ的值．
2．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f．
(1)将用e，f表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
[解] (1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f．
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与同向，且的模为的模的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
类型3 用已知向量表示未知向量
【例3】 (1)如图，?ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A．a－b
B．a＋b
C．a＋b
D．a－b
(2)如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，．
(1)D [＝＋＝＋＝－＝a－b．]
(2)[解] 由三角形中位线定理，知DEBC，故＝，即＝a．
＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b．
＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b．
1．本例(1)中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a，b表示．
[解] 因为DG∥AB，
所以△DFG∽△BFA，
又因为DF＝OD＝×BD＝BD，所以＝＝，
所以＝＋＝＋＝a＋b．
2．本例(1)中，将“若＝a，＝b，则＝”改为“若点F为边AB的中点，设a＝，b＝，用a，b表示”．
[解] 由题意
解得
所以＝－＝a＋b．
用已知向量表示其他向量的方法有哪些？如何求解此类问题？
[提示] 用已知向量表示其他向量有直接法和方程法
(1)直接法．
(2)方程法．
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系．
3．如图所示，在四边形ABCD中，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，．
[解] ＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c．
＝＋＋＝－－＋＝－c－b＋a＝a－b－c．
1．等于( )
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
B [原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b．]
2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )
A．＝3
B．＝2
C．＝
D．＝2
D [由题意可知：＝－3；＝－2＝2．故只有D正确．]
3．(多选题)下列非零向量a，b中，一定共线的是( )
A．a＝2e，b＝－2e
B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2
C．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2
ABC [对于A，b＝－a，有a∥b；对于B，b＝－2a，有a∥b；
对于C，a＝4b，有a∥b；对于D，a与b不共线．]
4．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．
－4 [因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)??k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0?k＜0)．]
5．如图所示，已知＝，用，表示，则＝________．
－＋ [＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)向量数乘的定义是什么？其几何意义又是什么？
(2)向量数乘的运算律有哪些？
(3)共线向量定理的内容是什么？如何利用共线向量定理解决三点共线问题？
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-6.2.4 向量的数量积
学
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任
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核
心
素
养
1．平面向量的数量积．(重点)2．投影向量的概念．(难点)3．向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)
1．通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养．2．通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养．
大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ．
问题：该大力士所做的功是多少？
知识点1 向量的数量积
1．两向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向．
②当θ＝π时，向量a，b反向．
③当θ＝时，向量a，b垂直，记作a⊥b．
2．平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|·cos
θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos
θ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
1．(1)等边△ABC中，向量，所成的角是60°吗？
(2)向量夹角的范围与两直线所成的角的范围相同吗？
(3)向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？
[提示] (1)不是，向量，所成的角是120°．
(2)向量的夹角和两直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和．
(3)两个向量数量积的运算结果是一个数量，向量线性的结果是向量．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0．
( )
(2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0．
( )
(3)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b．
( )
(4)若a·b＝a·c，则b＝c．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝( )
A． B． C．1 D．－
A [a·b＝1×1×cos
60°＝．]
3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A．
B．
C．
D．
C [由条件可知，cos
θ＝＝＝，
又∵0≤θ≤π，∴θ＝．]
知识点2 向量数量积的性质及运算律
1．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos
θ．
(2)a⊥b?a·b＝0．
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝．
(4)|a·b|≤|a||b|．
2．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
2．a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？
[提示] (a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
4．(多选题)下列命题正确的是( )
A．0·a＝0
B．若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0
C．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
D．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
AD [A正确，因为0的长度为0，结合数量积的公式可知0·a＝0．B，C错误，当非零向量a⊥b时，有a·b＝0．D正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2．]
5．已知单位向量a与b的夹角为，若x
a＋b与a垂直，则实数x的值为( )
A． B．－ C． D．－
B [由单位向量a与b的夹角为，可得a·b＝1×1×cos
＝，若x
a＋b与a垂直，则(x
a＋b)·a＝x
a2＋a·b＝x＋＝0，解得x＝－．]
类型1 平面向量的数量积运算
【例1】 (1)(对接教材P17例9)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．
(2)如图，在?ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
①·；②·．
[解] (1)(a＋2b)·(a＋3b)
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos
60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×cos
60°＋6×42＝192．
(2)①因为∥，且方向相同，
所以与的夹角是0°，
所以·＝||||·cos
0°＝3×3×1＝9．
②因为与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°，
所以·＝||||·cos
120°
＝4×3×＝－6．
求平面向量数量积的步骤是什么？
[提示] (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]．
(2)分别求|a|和|b|．
(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos
θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省略．
1．(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：
①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)．
(2)设正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a．
[解] (1)①a·b＝|a||b|cos
θ＝2×3×cos
60°＝3．
②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32＝－4．
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos
120°×3＝－3．
类型2 与向量模有关的问题
【例2】 (1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|．
(1)2 [|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2·|a|·|2b|·cos
60°＋(2|b|)2
＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12，
所以|a＋2b|＝＝2．]
(2)[解] 因为|2a＋b|＝，
所以(2a＋b)2＝10，
所以4a2＋4a·b＋b2＝10．
又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，
所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，
整理得|b|2＋2|b|－6＝0，
解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)．
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
2．若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|a－2b|＝，则|b|＝( )
A． B． C．1 D．2
C [设向量a，b的夹角为θ，因为|a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－4|a||b|cos
θ，
又θ＝120°，|a|＝1，|a－2b|＝，
所以7＝1＋4|b|2＋2|b|，解得|b|＝－(舍去)或|b|＝1．故选C．]
类型3 与向量垂直、夹角有关的问题
【例3】 (1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________．
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
[提示] a⊥b?a·b＝0．
2．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
[提示] |a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos
θ．
两边取绝对值得：
|a·b|＝|a||b||cos
θ|≤|a||b|．
当且仅当|cos
θ|＝1，
即cos
θ＝±1，θ＝0°或π时，取“＝”，
所以|a·b|≤|a||b|，cos
θ＝．
(1)(0,1)∪(1，＋∞) [∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2
＝2k＞0，∴k＞0．
当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k＞0且k≠1．]
(2)[解] 由已知条件得
即
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，∴cos
θ＝＝＝．
∵θ∈[0，π]，∴θ＝．
1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．
[解] ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，
∴k＜0．
当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1．
2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值．
[解] 由已知得|e1＋ke2|＝＝，|ke1＋e2|＝＝，
(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k，
则cos＝＝，
即＝，整理得k2－4k＋1＝0，
解得k＝＝2±．
1．求向量夹角的方法
(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos
θ＝求解．
(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．
(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．
2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos
θ＞0时，θ∈；当cos
θ＜0时，θ∈；当cos
θ＝0时，θ＝．
3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A． B． C． D．π
A [因为(a－b)⊥(3a＋2b)，所以(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝0．设向量a与b的夹角为θ，因为|a|＝|b|，所以3－|b|2cos
θ－2|b|2＝0．因为|b|≠0，所以－cos
θ－2＝0，解得cos
θ＝．因为0≤θ≤π，所以θ＝，故选A．]
1．在?ABCD中，∠DAB＝30°，则与的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
D [如图，与的夹角为∠ABC＝150°．
]
2．已知|a|＝3，|b|＝6，当a∥b时，a·b＝( )
A．18
B．－18
C．±18
D．0
C [当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a||b|cos
0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角为180°，所以a·b＝|a||b|cos
180°＝3×6×(－1)＝－18．故选C．]
3．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为( )
A．
B．
C．
D．
C [因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝．]
4．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝2，若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝________．
－ [根据题意得a·b＝|a|·|b|cos＝1，因为(a＋λb)⊥a，所以(a＋λb)·a＝a2＋λa·b＝＋λ＝0，所以λ＝－．]
5．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________．
等边三角形 [因为·＝||||cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，所以∠BAC＝60°．又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)向量夹角的概念是什么？向量夹角的范围是什么？向量的夹角与两直线的夹角有什么区别？
(2)两个向量数量积的定义是什么？如何求两个向量的数量积？
(3)向量的数量积有哪些性质和运算律？
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