(共37张PPT)
第1课时 集合
第一章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
1.通过实例,理解集合的含义,理解元素与集合的关系.(数学抽象)
2.理解集合中元素的特征性质.(直观想象)
3.理解空集的含义及其表示方法.(数学抽象)
4.理解集合的分类,掌握常用数集的表示方法.(直观想象)
思维脉络
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
图书馆对大学生来说是非常重要的场所,它拥有浩如烟海的文献,蕴藏了各种有价值的知识、信息.图书馆是一所大学的“心脏”,作为大学生专业教育的“第二课堂”,它是高校课堂教学必不可缺的补充.如何在几百万的书籍中快速找到自己需要的书呢?
【知识点拨】
知识点一、集合的概念
(1)集合:把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).集合通常用英文大写字母A,B,C,…来表示.
(2)元素:组成集合的每个对象都是这个集合的元素.集合中的元素通常用英文小写字母a,b,c,…来表示.
名师点析
集合概念的三个性质
(1)描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明.
(2)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.
(3)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式,也可以是人或物等,即对象形式多样化.
微思考
是否可以借助袋子、抽屉等实物来直观地理解集合含义?
提示
可以.比如把某位学生在初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉中,可以认为袋子或抽屉是由该学生在初三用过的所有课本组成的集合,袋子或抽屉里的书是集合的元素.
微练习
下列判断正确的个数为( )
①所有的等腰三角形构成一个集合;②倒数等于它自身的实数构成一个集合;③质数的全体构成一个集合;④由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
知识点二、元素与集合的关系
知识点
关系
概 念
记法
读法
元素与集合的关系
属于
如果a是集合A的元素,就说a属于A
a∈A
a属于A
不属于
如果a不是集合A的元素,就说a不属于A
a?A
a不属于A
名师点析
概念
概念上的区别
符号上的区别
关系
元素
研究对象
英文小写字母a,b,c,…
a∈A或a?A
集合
一些对象组成的整体
英文大写字母A,B,C,…
微思考
设集合M表示“1~10之间的所有质数”.请问3和8与集合M有何关系?
提示
3是集合M中的元素,即3属于集合M,记作3∈M;8不是集合M中的元素,即8不属于集合M,记作8?M.
微练习
集合M是由大于-2,且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是( )
A.
∈M B.0?M
C.1∈M
D.-
∈M
答案
D
知识点三、集合中元素的特点
集合中元素的三大特性:
(1)确定性:集合的元素必须是确定的.
(2)互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.
(3)无序性:集合中的元素可以任意排列.
名师点析
对集合中元素的特点的理解
(1)确定性是集合中元素的基本特征,没有确定性就不能组成集合.例如“课本中的难题”“聪明的孩子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能组成集合.
(2)互异性是判断能否组成集合的另一标准,也是最容易被忽视的性质.例如:组成集合{good中的字母}的元素是g,o,o,d,这句话是不对的,因为在这个单词中,字母“o”虽然出现了两次,但如果归入集合中只能算作一个元素,根据互异性,正确的说法应为集合{good中的字母}的元素有3个,分别为g,o,d.
微思考
(1)我们班比较高的同学能否构成一个集合?我们班身高不低于180
cm的同学能否构成一个集合?说明了什么问题?
提示
比较高的同学不能构成一个集合,因为“比较高”标准不确定;身高不低于180
cm的同学能构成集合,因为“身高不低于180
cm”标准确定,对班内任意一个同学,是否“身高不低于180
cm”是明确的.说明集合中元素具有确定性.
(2)学校超市一天内进了两次货,第一次进的中性笔、矿泉水、面包,第二次进的火腿肠、矿泉水、方便面,把这天进的货物看作一个集合,集合中有哪几个元素?说明什么?
提示
有5个元素,分别是中性笔、矿泉水、面包、火腿肠、方便面.说明集合中元素具有互异性.重复的元素只能算一个.也就是说,集合中的元素是不重复出现的.
(3)我们全班同学构成了一个集合,如果在班内调整一次座位,班级这个集合改变了吗?说明什么?
提示
集合没有改变,因为元素是一样的.说明集合中元素具有无序性.
微练习
集合{3,x,x2-2x}中实数x满足的条件是 .?
答案
x≠0且x≠-1且x≠3
知识点四、集合的分类及相等集合
(1)有限集:含有有限个元素的集合.
(2)无限集:含有无限个元素的集合.
(3)一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集,记作?.空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集.
(4)给定两个集合A和B,如果组成它们的元素完全相同,就称这两个集合相等,记作A=B.
微思考
方程x2+1=0在实数范围内的解能构成集合吗?若能构成集合,集合中元素个数为多少?
提示
该方程的实数解能构成一个集合,该集合中不含任何元素,因此集合中元素个数为0.
知识点五、常见数集及其表示
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N+或N
Z
Q
R
微练习
用符号“∈”或“?”填空.
答案
(1)∈ (2)? (3)∈ (4)? (5)∈
课堂篇
探究学习
探究一
集合中元素的确定性
例1判断下列各组对象能否构成一个集合:
(1)2020年9月召开的本校秋季运动会所有的男队员;
(2)方程x2-1=0的所有实根;
(3)
的近似值的全体;
(4)大于0的所有整数.
解
(1)能,因为男队员是确定的.
(2)能,因为x2-1=0的所有实根为-1,1,满足集合中元素的确定性.
(3)不能,“近似值”无明确标准,故构不成集合.
(4)能,因为大于0的整数是确定的.
反思感悟
集合的判定方法
集合中的元素是确定的,即对任何一个对象我们都能判断它是或不是某个集合中的元素,并且两者必居其一,因此它是判断一组对象能否构成集合的一个标准.若这组对象是明确的、具体的,则它们可以构成一个集合;若是模棱两可的,则不能构成一个集合.
探究二
集合中元素的互异性
例2已知集合A含有两个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值.
解
由题意可知,a=1或a2=a,
(1)若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1.
(2)若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.
综上可知,实数a的值为0.
要点笔记
集合中元素的特征性质
集合中的元素是互不相同的,即集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时,只能写一次,算作集合中的一个元素.
延伸探究(1)本例若去掉条件“a∈A”,其他条件不变,求实数a的取值范围.
(2)已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值.
解
(1)由集合中元素的互异性可知a2≠1,即a≠±1.
(2)若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.当a=1时,集合A有重复元素,所以a≠1;当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,满足集合中元素的互异性,所以a=-1.
探究三
元素与集合的关系
例3已知-3是由x-2,2x2+5x,12三个元素构成的集合中的元素,求x的值.
分析-3是集合中的元素说明x-2=-3或2x2+5x=-3,可分类讨论求解.
解
由题意可知,x-2=-3或2x2+5x=-3.当x-2=-3时,x=-1,把x=-1代入2x2+5x,得集合的三个元素分别为-3,-3,12,不满足集合中元素的互异性;
要点笔记
解决元素与集合的关系问题的通法:根据元素的确定性建立分类讨论的标准,求得参数的值,然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性.
变式训练
用符号“∈”或“?”填空.
答案
(1)∈ (2)? (3)∈
素养形成
分类讨论思想的应用
分类讨论是一种重要的数学思想,它适用于从整体上难以解决的数学问题.运用分类讨论来解决问题时,把问题进行科学的划分十分必要,必须遵循不重不漏和最简的原则.
分类讨论思想在集合中有重要的应用,在本节中,分类讨论思想常应用于元素与集合的关系方面.
典例
已知集合A中含有三个元素0,1,x.若x2∈A,求实数x的值.
解
当x2=0时,得x=0,此时集合A中有两个相同的元素,舍去.当x2=1时,得x=±1.
若x=1,此时集合A中有两个相同的元素,舍去;
若x=-1,此时集合A中有三个元素0,1,-1,符合题意.
当x2=x时,得x=0或x=1,由上可知都不符合题意.
综上可知,符合题意的x的值为-1.
方法点睛
x2是集合中的元素,则它既可能是1,也可能是0,或者是x,需对其进行分类讨论.
当堂检测
1.(多选题)下列对象能构成集合的是( )
A.所有的正数
B.等于2的数
C.接近0的数
D.不等于0的偶数
答案
ABD
2.(2020陕西榆林高一期中)设a,b∈R,集合A中含有3个元素1,a+b,a,集合B中含有3个元素0,
,b.若A=B,则b-a=( )
A.2
B.-1
C.1
D.-2
答案
A
解析
由已知,a≠0,故a+b=0,则
=-1,
所以a=-1,b=1,所以b-a=2.
3.用符号∈或?填空.
(1)设集合A是正整数构成的集合,则0 A,
A,
1 A;?
(2)设集合B是小于
的所有实数构成的集合,则2
B,
1+
B;?
(3)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x构成的集合,则3 C,5 C;?
(4)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)构成的集合,
则-1 D,(-1,1) D.?
答案
(1)? ? ∈ (2)? ∈ (3)? ∈ (4)? ∈
解析
(1)依次应填?,?,∈.
(3)由于n是正整数,所以n2+1≠3.
而当n=2时,n2+1=5,所以依次应填?,∈.
(4)由于集合D中的元素是有序实数对(x,y),
而-1是数,所以-1?D.
又(-1)2=1,所以依次应填?,∈.
4.下列对象构成的集合是空集的是 .(填序号)?
①小于1的自然数;②2米高的人;③方程x2-x+1=0的解集.
答案
③
解析
因为方程x2-x+1=0的判别式Δ=1-4<0,所以方程无解,即解集为空集.而小于1的自然数为0.2米高的人也存在,所以①②都不是空集.
5.设A表示由a2+2a-3,2,3构成的集合,B表示由2,|a+3|构成的集合,已知5∈A,且5?B,求a的值.
解
∵5∈A,∴a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4.
当a=2时,|a+3|=5;当a=-4时,|a+3|=1.
又5?B,∴a=-4.
本
课
结
束(共44张PPT)
第2课时 集合的表示方法
第一章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
1.掌握集合的两种表示方法——列举法和描述法.(数学抽象)
2.能够利用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.(直观想象)
3.理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如数集、解集和一些基本图形构成的集合等.(直观想象)
思维脉络
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
根据集合的概念,我们知道:
1.不等式2x+3<15的所有自然数解组成集合A;
2.不等式2x+3<15的所有实数解组成集合B.
同学们想一下,这两个集合有区别吗?如何表示这两个集合呢?
【知识点拨】
知识点一、列举法
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法.
名师点析
用列举法表示集合时,必须注意以下几点:
(1)元素与元素之间需用“,”隔开.
(2)集合中的元素必须是确定的.
(3)不必考虑元素出现的前后顺序,但不能重复.例如,集合{1,3}与{3,1}表示同一个集合.
(4)一般地,列举法适用于有限集:①元素个数有限且比较少时,可以全部列举出来,如{1,2,3};②元素个数有限且比较多时,可以列举一部分,中间用省略号表示,称为中间省略列举,如从1到1
000的所有正整数组成的集合,可以表示为{1,2,3,…,1
000}.
(5)对于含有较多元素的无限集,如果元素的排列呈现一定的规律,在不发生误解的情况下,也可列出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.如自然数集N可以表示为{0,1,2,3,…},称为尾端省略列举.
(6)这里集合的“{ }”已包含“所有”的意思.例如:{整数},即代表整数集Z,所以不能写成{全体整数}.
微思考
用列举法可以表示无限集吗?
提示
可以.但构成集合的元素必须具有明显的规律,并且表示时要把元素间的规律呈现清楚,如正整数集N+可表示为{1,2,3,4,5,6,…}.
微练习
用列举法表示集合{x∈N|-1≤x≤
}为____________.?
答案
{0,1,2}
知识点二、描述法
一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.此时,集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)},这种表示集合的方法,称为
特征性质描述法,简称描述法.
名师点析
使用描述法表示集合时要注意:
(1)写清该集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1};
(2)用简明、准确的语言进行描述,如方程、不等式、几何图形等;
(3)不能出现未被说明的字母,如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故此集合中的元素是不确定的;
(4)所有描述的内容都要写在大括号内,如“{x∈Z|x=2m},m∈N+”不符合要求,应将“m∈N+”写进“{ }”中,即{x∈Z|x=2m,m∈N+};
(5)元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系来看,若x∈R是明确的,则x∈R可省略不写,如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20};
(6)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如{x|x<-1或x>1};
(7)“{ }”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数},但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的,因为“{ }”本身既表示集合的意思,也表示了“所有”“全体”的意思,此处是初学者容易犯的错误,要注意领会.
微思考
用列举法与描述法表示集合的区别是什么?
提示
表示方法
列举法
描述法
一般形式
{a1,a2,a3,…,an}
{x∈I|p(x)}
适用范围
有限集或规律性较强的无限集
有限集、无限集均可
特点
直观、明了
抽象、概括
微练习
不等式5x<2
021在实数范围内的解集可表示为_____.?
知识点三、区间的概念
已知a
定 义
名 称
符 号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a,b]
?
{x|a开区间
(a,b)
?
{x|a≤x半开半闭区间
[a,b)
?
{x|a半开半闭区间
(a,b]
?
定 义
名 称
符 号
数轴表示
{x|x≥a}
—
[a,+∞)
?
{x|x>a}
—
(a,+∞)
?
{x|x≤a}
—
(-∞,a]
?
{x|x—
(-∞,a)
?
R
—
(-∞,+∞)
取遍数轴上的所有值
名师点析
(1)区间的左端点的值小于右端点的值.
(2)区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开.
(3)左、右端点值a,b都能取到的叫闭区间;左、右端点值a,b有一端能取到,另一端不能取到的叫半开半闭区间;左、右端点值a,b都不能取到的叫开区间.
(4)几何表示时,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点.
微思考
(1)如图,如何把满足数轴上的数的集合表示出来?
提示
A={x|-3(2)能否用更为简洁的符号表示A={x|-3提示
可以用区间表示为(-3,2].
(3)区间与数集有何关系?
提示
(1)联系:区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示,是集合的另一种表达形式;(2)区别:不连续的数集不能用区间表示,如整数集、自然数集等.
微练习
将下列集合用区间及数轴表示出来:
(1){x|x<2};(2){x|x≥3};
(3){x|-1≤x<5}.
答案
(1){x|x<2}用区间表示为(-∞,2),用数轴表示如下:
(2){x|x≥3}用区间表示为[3,+∞),用数轴表示如下:
(3){x|-1≤x<5}用区间表示为[-1,5),用数轴表示如下:
课堂篇
探究学习
探究一
用列举法表示集合
例1用列举法表示下列集合:
(1)36与60的公约数构成的集合;
(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根构成的集合;
(3)一次函数y=x-1与
的图像的交点构成的集合.
分析(1)要明确公约数的含义;(2)注意4是重根;(3)要写成点集形式.
解
(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12}.
(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根是4,2,所求集合可表示为{2,4}.
探究二
用描述法表示集合
例2用描述法表示以下集合:
(1)所有不小于2,且不大于20的实数组成的集合;
(2)使
有意义的实数x组成的集合;
(3)200以内的正奇数组成的集合;
(4)方程x2-5x-6=0的解组成的集合.
分析用描述法表示集合时,关键要先弄清元素的属性是什么,再给出其满足的性质,注意不要漏掉类似“x∈N”等条件.
解
(1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}.
(2)要使该式有意义,需有
解得x≤2,且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2,且x≠0}.
(3){x|x=2k+1,x<200,k∈N}.
(4){x|x2-5x-6=0}.
反思感悟
用描述法表示集合时应注意的问题
1.写清楚该集合中的代表元素,即弄清代表元素是数、点还是其他形式;
2.准确说明集合中元素所满足的特征;
3.所有描述的内容都要写在集合符号内,并且不能出现未被说明的符号;
4.用于描述的语句力求简明、准确,多层描述时,应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系.
变式训练
2给出下列说法:
①在平面直角坐标平面内,第一、三象限内的点组成的集合为{(x,y)|xy>0};
②所有奇数组成的集合为{x|x=2n+1};
③集合{(x,y)|y=1-x}与{x|y=1-x}是同一集合.
其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
答案
A
探究三
含参数问题
例3若集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
分析明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k的值→写出集合A
解
当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.
此时集合A={2},满足题意.
当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.
此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.
综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.
反思感悟
1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.
2.本题因kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,而分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.
3.解集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.
延伸探究(1)本例中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值集合.
(2)本例中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值集合.
探究四
区间概念的理解及应用
例4(1)若集合M是一个数集,且可应用区间(a,3a-1)表示,则实数a的取值范围用区间表示为 ;?
(2)使函数
有意义的实数x的范围用区间表示为 ;?
(3)若区间(5,a)的长度是12,则实数a的值是 .?
变式训练
3(1)若区间[2,a]的长度不超过5,则实数a的取值范围用区间表示为 ;?
解析
(1)由题意可知a-2≤5,且a>2,
所以2素养形成
元素分析法
解决集合问题,应对集合的概念有深刻理解,解题时能不能把集合转化为相关的数学知识是解决问题的关键,而集合离不开元素,所以分析元素是解决问题的核心.元素分析法就是抓住元素进行分析,即元素是什么?具备哪些性质?是否满足元素的三个特征?(即确定性、互异性、无序性)
典例
下列四个集合:
①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2+1}.
(1)它们各自的含义是什么?
(2)它们是不是相同的集合?
分析在解答用描述法表示的集合的问题时,不能只关注条件中的关系式,而不注意“代表元素”的含义.元素是集合的基本组成部分.看到一个集合,先要关注元素是什么,再关注元素的基本特征.
解
(1)①{x|y=x2+1}中的代表元素是x(二次函数y=x2+1中的自变量),表示的是该函数自变量的取值范围.显然x∈R,该集合表示实数集R.
②{y|y=x2+1}中的代表元素是y(二次函数y=x2+1中的因变量),表示的是该函数的函数值构成的集合.由图易知(图略),y≥1,该集合就是{y|y≥1}.
③{(x,y)|y=x2+1}中的代表元素是(x,y),该集合可以理解为是满足y=x2+1的有序实数对(x,y)的集合,也可以认为是坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的集合.
④集合{y=x2+1}表示的是以方程y=x2+1(或函数解析式y=x2+1)为元素的集合.
(2)由(1)知,集合①是实数集,集合②是不小于1的实数集,集合③是抛物线上的点构成的点集,集合④是单元素集.故它们是互不相同的集合.
方法点睛
元素分析法是解决集合问题时常用的基本方法.本题的分析始终关注集合中代表元素及其满足的条件.集合①是后面要学到的函数定义域,集合②是函数的值域.
当堂检测
1.(2020广东乐昌第二中学高一期中)集合{x∈N|x-3<2}用列举法表示是( )
A.{1,2,3,4}
B.{1,2,3,4,5}
C.{0,1,2,3,4,5}
D.{0,1,2,3,4}
答案
D
2.不等式x-2≥0的所有解组成的集合表示成区间是( )
A.(2,+∞)
B.[2,+∞)
C.(-∞,2)
D.(-∞,2]
答案
B
解析
不等式x-2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2},表示成区间为[2,+∞).
3.用列举法表示集合A={y|y=x2-1,-2≤x≤2,且x∈Z}是 .?
答案
{-1,0,3}
解析
∵x=-2,-1,0,1,2,
∴对应的函数值y=3,0,-1,0,3,
∴集合A用列举法可表示为{-1,0,3}.
4.若A={2,3,4},B={x|x=n-m,m,n∈A,m≠n},则集合B中的元素个数为 .?
答案
4
解析
当n=2,m=3时,n-m=-1;
当n=2,m=4时,n-m=-2;
当n=3,m=4时,n-m=-1;
当n=3,m=2时,n-m=1;
当n=4,m=2时,n-m=2;
当n=4,m=3时,n-m=1.
所以集合B中的元素共4个:-2,-1,1,2.
5.用另一种形式表示下列集合:
(1)A={(x,y)|x+y=5,x,y∈N};
解
(1)由x+y=5得y=5-x.
又x,y∈N,
∴x=0,1,2,3,4,5,y对应的值为5,4,3,2,1,0,
∴A={(0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)}.
(2)观察集合中的元素,不难发现,若令分子为n,
则分母为n+2,且n∈N+,n≤5,
本
课
结
束(共49张PPT)
1.1.2 集合的基本关系
第一章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
1.理解集合之间包含与相等的含义,会求一些给定集合的子集.(数学抽象)
2.能使用维恩图表达集合之间的关系,尤其要注意空集这一特殊集合的意义.(逻辑推理)
3.理解集合关系与其特征性质之间的关系,并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
银河系是地球和太阳所属的星系.因其主体部分投影在天空上的亮带被我国称为银河而得名.银河系约有2
000多亿个恒星.银河系侧看像一个中心略鼓的大圆盘,整个圆盘的直径约为10万光年,鼓起处为银心,是恒星密集区,故望去白茫茫的一片.银河系俯视像一个巨大的旋涡,这个旋涡由四个旋臂组成.而我们的地球所属的太阳系位于其中一个旋臂(猎户座臂),距离银河系中心约2.3万光年.
如果我们把银河系所包含的所有行星和恒星所构成的集合叫集合A,把太阳系包含的行星和恒星所构成的集合叫集合B,那么集合A与集合B有怎样的关系?
【知识点拨】
知识点一、维恩图
如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合,那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图.
要点笔记
对维恩图的理解
(1)维恩图为利用数形结合法求解集合问题创造了条件.
(2)用维恩图表示集合的优点是能够直观地表示集合与集合间的关系,缺点是集合中元素的特征性质不明显.
微思考
集合能用直观图形来表示吗?
提示
能,可以用封闭的曲线表示集合,解决问题更加直观.
知识点二、子集、真子集、集合相等的概念
名师点析
1.对子集的理解
(1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A,能推出x∈B.
(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素,那么A不包含于B,或B不包含A,分别记作A?B或B?A.
(3)若A?B,则A有以下三种情况:
①A是空集;②A是由B的部分元素组成的集合;③A是由B的全部元素组成的集合.
故不能简单地认为“若A?B,则A是由B的部分元素组成的集合”.
2.对真子集的理解
(1)真子集的概念也可以叙述为:若集合A?B,存在元素x∈B且x?A,则称集合A是集合B的真子集.
(2)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:①集合A是集合B的子集;②存在元素x∈B,且x?A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立.
(3)?是任何非空集合的真子集,这里强调的是“非空”两字,解题时不能丢掉空集这一情况.
(4)任何集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.
微思考
下列写法哪些是正确的?
①0={0};②{0}?{0};③0∈{0};④0?{0}.
提示
只有②③写法是正确的,一般地,元素与集合之间是属于关系,而反映两个集合间的关系一般用子集、真子集或相等.
微练习
用适当的符号填空(?,=,?).
(1){0,1} N;?
(2){2} {x|x2=x};?
(3){2,1} {x|x2-3x+2=0}.?
答案
(1)? (2)? (3)=
微拓展
对集合相等的理解
(1)A=B的图形表示:
(2)集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.
(3)集合“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b且b≤a,则a=b”,即“若A?B且B?A,则A=B”.
(4)若A=B,则有A?B且B?A.
知识点三、子集、真子集的性质
由子集、真子集和空集的概念可得:
(1)空集是任何集合的子集,??A;
(2)任何一个集合是它自身的子集,即A?A
;
(3)空集只有一个子集,即它自身;
(4)对于集合A,B,C,由A?B,B?C可得
A?C
;
(5)对于集合A,B,C,由A?B,B?C可得
A?C
.
名师点析
1.∈与?、a与{a}、{0}与?的区别
(1)∈与?的区别:∈表示元素与集合之间的关系,因此,有
∈Q,
?Q等;?表示集合与集合之间的关系,因此,有Q?R,??R等.
(2)a与{a}的区别:一般地,a表示一个对象,而{a}表示由一个元素组成的集合(常称单元素集),a是集合{a}的一个元素.因此,有2∈{2},不能写成2={2}.
(3){0}与?的区别:{0}是含有一个元素的集合,?是不含任何元素的集合.因此,有??{0},不能写成?={0},?∈{0}.
2.有限集合的子集问题
若有限非空集合A中含有n个元素,则有:
①集合A的子集的个数为2n;
②集合A的真子集的个数为2n-1;
③集合A的非空子集的个数为2n-1;
④集合A的非空真子集的个数为2n-2.
如,集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为?,{1},{2},{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为?,{1},{2};非空子集个数为22-1=3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分别为{1},{2}.
微思考
?与{?}的关系如何?
提示
??{?}与?∈{?}的写法都是正确的,前者是从两个集合间的关系来考虑的,后者则把?看成集合{?}中的元素来考虑.
微练习
若{1,2}?A?{1,2,3,4,5},则集合A的个数是( )
A.8 B.7 C.4 D.3
答案
A
解析
(方法一)列举法:满足条件{1,2}?A?{1,2,3,4,5}的集合A有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共8个.
(方法二)计数法:因为集合A满足{1,2}?A?{1,2,3,4,5},所以,集合A一定含有元素1,2(可不考虑),可能含有元素3,4,5,故集合A的个数即集合{3,4,5}的子集个数,即23=8(个).
课堂篇
探究学习
探究一
集合的子集、真子集问题
例1已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是( )
A.A?B
B.A=B
C.B?A
D.A?B
答案
A
解析
由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所以A?B.
要点笔记
判断两个集合之间的关系,一般是依据子集等相关定义分析.对于两个连续数集,则可将集合用数轴表示出来,数形结合判断,需注意端点值的取舍.
延伸探究例1中将集合B改为{x|x+3>4},则集合A与B是什么关系?
答案
A?B,且B?A.
答案
A?B
要点笔记
将集合中元素的特征性质进行等价变形,从而发现各性质之间的关系,最后得到集合之间的关系.
A.A=B?C
B.A?B=C
C.A?B?C
D.B?C?A
答案
B
当a∈Z时,6a+1表示被6除余1的数;b∈Z时,3b-2表示被3除余1的数;c∈Z时,3c+1表示被3除余1的数,所以A?B=C.
探究二
确定集合的子集、真子集
例3(1)(2020浙江台州高一检测)已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},则集合A= .若集合B满足{0}?B?A,则集合B= .?
(2)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.
答案
(1){-1,0} {-1,0}
解析
因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,
所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0},
因为集合B满足{0}?B?A,
所以集合B={-1,0}.
(2)解
因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},
所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.
所以A的子集有:
?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),
(1,1),(2,0)}.
反思感悟
1.求集合子集、真子集的步骤
2.求元素个数有限的集合的子集两个关注点
(1)要注意两个特殊的子集:?和自身;
(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.
变式训练
2(1)(2020河南驻马店高一期末)已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,5,6,7},则符合条件的集合M有 个.?
(2)设含有4个元素的集合的全部子集数为S,其中由2个元素组成的子集数为T,则
的值为 .?
解析
(1)根据子集的定义,可得集合M必定含有1,2两个元素,而且含有5,6,7中的至多两个元素,因此,满足条件{1,2}?M?{1,2,5,6,7}的集合M有{1,2},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7}共7个.
(2)含有4个元素的集合的全部子集数S=24=16,其中由2个元素组成的子集
探究三
两个集合相等及其应用
例4已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},若A=B,求x,y的值.
分析A=B→列方程组→解方程组求x,y
反思感悟
1.判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同,有两种方法:(1)将两个集合的元素一一列举出来,进行比较;(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两个集合相等.
2.两个集合相等的问题一般转化为解方程(组),但要注意最后需检验,看是否满足集合元素的互异性.
3.找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键.
{1,a,0}={0,a2,a}.
所以a2=1,a=±1.
当a=1时,不满足互异性,所以a=-1.
所以a2
021+b2
020=(-1)2
021+0=-1.
探究四
由集合间的关系求参数的范围
例5已知集合A={x|-5(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;
(2)若A?B,求实数a的取值范围.
分析(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.
解
(1)若a=-1,则B={x|-5如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,B?A.
(2)由已知A?B.
①当B=?时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.
②当B≠?时,2a-3由已知A?B,如图在数轴上表示出两个集合,
解得-1≤a≤4.
又因为a<1,所以实数a的取值范围为-1≤a<1.
综上,a的取值范围为[-1,+∞).
反思感悟
由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项
(1)求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.
(2)涉及“A?B”或“A?B,且B≠?”的问题,一定要分A=?和A≠?两种情况进行讨论,其中A=?的情况容易被忽略,应引起足够的重视.
延伸探究本例(2)中,是否存在实数a,使得A?B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.
解
因为A={x|-5素养形成
解决集合中含参数问题的方法
对于两个集合A与B,A或B中含有待确定的参数(字母),若A?B或A=B,则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”,解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法.
(1)分类讨论是指:
①A?B在未指明集合A非空时,应分A=?和A≠?两种情况来讨论.
②因为集合中的元素是无序的,由A?B或A=B得到的两集合中的元素对应相等的情况可能有多种,因此需要分类讨论.
(2)数形结合是指对集合A≠?这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上表示出来,分清实心点与空心点,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)将参数确定出来.
(3)解决集合中含参数问题时,最后结果要注意验证.
验证是指:①分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足互异性;②所求参数能否取到端点值.
典例
已知集合A={x|x2-3x-10≤0}.
(1)若B?A,B={x|m+1≤x≤2m-1,m为常数},求实数m的取值范围;
(2)若A?B,B={x|m-6≤x≤2m-1,m为常数},求实数m的取值范围;
(3)若A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1,m为常数},求实数m的取值范围.
分析求出集合A的元素,利用A,B的关系列不等式(组)求m的范围.
解
(1)由A={x|x2-3x-10≤0},得A={x|-2≤x≤5}.∵B?A,∴①若B=?,
则m+1>2m-1,即m<2,此时满足B?A.
由①②得m≤3.
所以m的取值范围为(-∞,3].
方法点睛
空集是任何集合的子集,因此在解A?B(B≠?)的含参数的问题时,要注意讨论A=?和A≠?两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面.
当堂检测
1.设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则2x+y等于( )
A.0
B.1
C.2
D.-1
答案
C
所以2x+y=2.
2.(2021北京期末)已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},集合A与B的关系如图所示,则集合B可能是( )
A.{2,4,5}
B.{1,2,5}
C.{1,6}
D.{1,3}
答案
D
解析
由图可知B?A,∵A={1,2,3},由选项可知{1,3}?A,故选D.
3.(2020浙江高一检测)已知集合M={x|x2-2x-8=0},N={x|ax+4=0},且N?M,则由a的取值组成的集合是 .?
答案
{0,-1,2}
解析
∵M={x|x2-2x-8=0},∴M={4,-2},
若a=0,则N=?,满足N?M.
解得a=2或a=-1.
∴满足条件的a的取值为{0,-1,2}.
4.已知集合M={x|x<2,且x∈N},N={x|-2(1)试判断集合M,N之间的关系;
(2)写出集合M的所有子集和集合N的所有真子集.
解
M={x|x<2,且x∈N}={0,1},N={x|-2(1)M?N.
(2)M的子集有:?,{0},{1},{0,1};
N的真子集有:?,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1}.
本
课
结
束(共40张PPT)
第1课时 交集与并集
第一章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
1.理解两个集合的交集与并集的概念.(数学抽象)
2.会求两个集合的交集与并集.并能利用交集与并集的性质解决相关问题.(数学运算)
3.能使用维恩图或数轴表示集合之间的运算,体会数形结合思想对理解抽象概念的作用.(直观想象)
思维脉络
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
某单位食堂第一天买菜的品种构成的集合记为A={黄瓜,冬瓜,鲫鱼,虾,茄子};第二天买菜的品种构成的集合记为B={黄瓜,猪肉,毛豆,芹菜,虾,土豆}.
问:1.两天所买过的相同菜的品种构成的集合记为C,则集合C等于什么?
2.两天买过的所有菜的品种构成的集合记为D,则集合D等于什么?
【知识点拨】
知识点一、交集
微思考
两个非空集合的交集可能是空集吗?
提示
两个非空集合的交集可能是空集,即A与B无公共元素时,A与B的交集仍然存在,只不过这时A∩B=?.反之,若A∩B=?,则A,B这两个集合可能至少有一个为空集,也可能这两个集合都是非空的,如:A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10},此时A∩B=?.
名师点析
1.对交集概念的理解
(1)对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,包含以下两层意思:①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素;②A与B的公共元素都属于A∩B,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B={2,3},而不是{2}或{3}.
(2)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合A与集合B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是A∩B=?.
(3)当A=B时,A∩B=A和A∩B=B同时成立.
2.求两集合交集的注意点
(1)求两集合的交集时,首先要化简集合,使集合元素的性质特征尽量明显化,然后根据交集的含义写出结果.
(2)在求与不等式有关的集合的交集运算时,数轴分析法直观清晰,因此,应重点
考虑.
微练习
(2021重庆北碚西南大学附中高一期末)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B= .?
答案
{0,1}
解析
由题得A={x||x|<2}={x|-2知识点二、并集
名师点析
对并集的理解
(1)A∪B仍是一个集合,A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“x∈A或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x?B;②x?A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下图所示形象地表示.
(3)对概念中的“所有”的理解,不能认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合,即简单拼凑,还要注意满足集合中元素的互异性,相同的元素(即A与B的公共元素)只能算作并集中的一个元素.例如,A={1,2,4},B={1,4,5,7},A∪B={1,2,4,5,7},而不能写成A∪B={1,2,4,1,4,5,7}.
微思考
(1)集合A∪B中的元素个数如何确定?
提示
①当两个集合无公共元素时,A∪B的元素个数为这两个集合元素个数之和;
②当两个集合有公共元素时,根据集合元素的互异性,同时属于A和B的公共元素,在并集中只列举一次,所以A∪B的元素个数为两个集合元素个数之和减去公共元素的个数.
(2)A∩B与A∪B是什么关系?
提示
集合A∪B={x|x∈A或x∈B}中x∈A或x∈B包含三层意思:“x∈A,且x?B”,如图1所示的阴影部分;“x∈A,且x∈B”,如图2所示的阴影部分;“x∈B,且x?A”,如图3所示的阴影部分.
又A∩B={x|x∈A,且x∈B},则有(A∩B)?(A∪B).当且仅当A=B时,A∩B=A∪B;当且仅当A≠B时,(A∩B)?(A∪B).
微练习
设集合A={1,2},B={2,3},则A∪B等于( )
A.{1,2,2,3}
B.{2}
C.{1,2,3}
D.?
答案
C
知识点三、交集与并集的运算性质
交集的运算性质
并集的运算性质
A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
A∩A=A
A∪A=A
A∩?=?∩A=?
A∪?=?∪A=A
如果A?B,则A∩B=A,反之也成立
如果A?B,则A∪B=B,反之也成立
微练习
(1)若集合A={x|x>0},B={x|1.?
答案
{x|x>0}
解析
∵A?B,
∴A∪B=A={x|x>0}.
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
①若A∩B=?,则A=?或B=?.( )
②A∩B=B?A?B.( )
③A∪B=A?A?B.( )
④A∪B=?,则A=B=?.( )
答案
①× ②× ③× ④√
课堂篇
探究学习
探究一
两个集合的交集运算
例1设A={x|x2-7x+6=0},B={x|4分析首先明确集合A,B中的元素,集合A是一元二次方程x2-7x+6=0的解集,集合B是满足不等式4解
A={1,6},B={5,6,7,8},用维恩图表示集合A,B,如图所示,
依据交集的定义,观察可得A∩B={6}.
反思感悟
集合求交集的解题策略
求两个集合的交集时,首先要识别所给集合,其次要简化集合,即明确集合中的元素,使集合中的元素明朗化,最后再依据交集的定义写出结果.有时要借助于维恩图或数轴写出交集.
变式训练
1已知集合A={x|2(1)若A∩B=?,求a的取值范围;
(2)若A∩B={x|3解
(1)有两类情况,一类是B≠?,即a>0,①B在A的左边,②B在A的右边,如图.
B或B'位置均使A∩B=?成立.
当3a=2或a=4时也符合题意,事实上,2?A,4?A,则A∩B=?成立.
所以,要求3a≤2或a≥4,
解得a∈
∪[4,+∞).
另一类是B=?,a≤0时,显然A∩B=?成立.
综上所述,a的取值范围是
∪[4,+∞).
探究二
两个集合的并集运算
例2设集合A={x|x+1>0},B={x|-2分析首先明确集合A中的元素,集合A是不等式x+1>0的解集,然后借助于数轴写出A∪B.
解
A={x|x>-1},在数轴上分别表示集合A,B,如图所示,由数轴可知A∪B={x|x>-2}.
要点笔记
求两个集合的并集时,若用描述法给出的集合,要先明确集合中的元素是什么,有时直接观察可写出并集,有时则需借助图示写出并集;若用列举法给出集合,则依据并集的定义,可直接观察或借助于维恩图写出并集.
延伸探究本例条件不变,如何求A∩B?(用区间表示)
解
A∩B=(-1,2).
探究三
集合运算性质的运用
例3设A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.
(1)若A∩B=B,求a的取值范围;
(2)若A∪B=B,求a的值.
分析先化简集合A,B,再由已知条件得A∩B=B和A∪B=B,转化为集合A,B的包含关系,分类讨论求a的值或取值范围.
解
由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.
(1)∵A∩B=B,∴B?A,B=?,{0},{2},{0,2}.
当B=?时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;
综上所述,得a的取值范围是{a|a=1或a≤0}.
(2)∵A∪B=B,∴A?B.
∵A={0,2},而B中方程至多有两个根,
∴A=B,由(1)知a=1.
反思感悟
利用交、并集运算求参数的思路
(1)涉及A∩B=B或A∪B=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性.
(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,这时要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的
关系.
变式训练
2集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.
(1)求A∩B;
(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∩C=B,求实数a的取值范围.
解
(1)由题意得B={x|x≥2},
又A={x|-1≤x<3},如图,
所以A∩B={x|2≤x<3}.
所以实数a的取值范围为(-4,+∞).
探究四
集合的交、并综合运算
例4已知集合A={y|y=
x2-2x-3,x∈R},B={y|y=
-x2+2x+13,x∈R},求A∩B,A∪B.
分析先利用配方法确定集合A与B,再利用数轴进行集合的交、并运算.
解
∵A={y|y=(x-1)2-4,x∈R},
∴A={y|y≥-4}.
∵B={y|y=
-(x-1)2+14,x∈R},
∴B={y|y
≤14}.
将集合A,B分别表示在数轴上,如图所示,
∴A∩B={y|-4≤y≤14},A∪B=R.
反思感悟
集合的交、并综合运算一般需要将所给集合进行求解,有方程问题、不等式问题、点集等,把集合明确后,根据集合的特点及集合的交集、并集运算的定义,选取合适的方法进行运算,如可结合数轴、维恩图或函数的图像等.
素养形成
分类讨论思想在集合运算中的应用
分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思,数学中的分类过程就是对事件共性的抽象过程.解题时要明确为什么分类,如何分类,如何确定分类的标准.应用时,首先要审清题意,认真分析可能产生的不同因素.进行讨论时要确定分类的标准,每一次分类只能按照一个标准来分,不能重复也不能遗漏.
典例
设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
解
(1)集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
若A∩B={2},则x=2是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0的实数根,可得a2+4a+3=0,解得a=-3或a=-1.
验证:a=-3时,B={2},a=-1时,B={-2,2},均满足A∩B={2}.
所以,a=-3或a=-1.
(2)A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},
对应的Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).
∵A∪B=A,∴B?A.
①当Δ<0,即a<-3时,B=?,满足条件;
②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足条件;
③当Δ>0,即a>-3时,只有B={1,2},才能满足条件,
由一元二次方程根与系数的关系,得1+2=-2(a+1)且1×2=a2-5.
∴a=-
且a2=7,矛盾.∴a>-3不满足条件.
综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-3}.
方法点睛
将条件转化为两个集合的包含关系,因为集合B是由含参的一元二次方程的解组成的,所以应按其解的个数分类讨论.尤其不要忽略无解的情况,即B为空集的情况.
当堂检测
1.(2021新高考Ⅰ,1)设集合A={x|-2A.{2}
B.{2,3}
C.{3,4}
D.{2,3,4}
答案
B
解析
∵A={x|-22.已知集合A={x|x-a>0},B={x|2-x<0},且A∪B=B,则实数a满足的条件是 .?
答案
a≥2
解析
由题意得A={x|x>a},B={x|x>2},
因为A∪B=B,所以A?B.
在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,
则在数轴上实数a必须在2的右边或与2重合,所以a≥2.
3.已知集合A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则m= .?
答案
3
解析
由于A∩B={2,3},则3∈B,又B={2,m,4},则m=3.
4.已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},
(1)当m=2时,求M∩N,M∪N;
(2)当M∩N=?时,求实数m的取值范围.
解
(1)由题意得,M={2},
当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},
则M∩N={2},M∪N={1,2}.
(2)M={2}≠?,则2不是方程x2-3x+m=0的解,所以4-6+m≠0,即m≠2.
所以实数m的取值范围为{m|m≠2}.
本
课
结
束(共34张PPT)
第2课时 补集与集合的综合运算
第一章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
1.在具体情境中,了解补集和全集的含义.(数学抽象)
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(数学运算)
3.理解补集思想在解题中的应用.(逻辑推理)
4.掌握集合交集、并集、补集的综合运算.(数学运算)
思维脉络
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
太阳系有8颗行星,即水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星.原来被认为是行星的冥王星在第26届国际天文联会通过的第5号决议中,被划为矮行星,并命名为小行星134
340号,从太阳系九大行星中被除名.如果我们把名字中含有“王”
的行星除去,还有几颗行星?上小学的小朋友也会回答还有6颗,但是如果我们用集合的眼光来看,就会发现一个问题:若把太阳系的行星的集合作为U,把名字中含有“王”的行星的集合作为A,把名字中不含有“王”的行星的集合作为B,那么集合A,B,U之间有怎样的关系呢?
【知识点拨】
知识点一、全集
在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是
某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U
表示.
微思考
全集一定包含任何元素吗?
提示
不一定.只要含有所有所要研究的对象即可做全集.换一句话说,所研究对象对应的集合一定为该全集的子集.
知识点二、补集
自然语言
如果集合A是全集U的一个子集,则由U中不属于A的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集,记作?UA,读作
“A在U中的补集”
符号语言
?UA={x|x∈U,且x?A}
图形语言
?
补集的性质
A∪?UA=U,A∩?UA=?;?U(?UA)=A
名师点析
(1)补集是相对于全集而存在的,当全集变化时,补集也随之改变,所以在讨论一个集合的补集时,必须说明是在哪个集合中的补集.
(2)?UA表示集合U为全集时,集合A在全集U中的补集,则?UA?U.如果全集换成其他集合(如R),那么记号中“U”也必须换成相应的集合(如?RA).
(3)求?UA的前提条件为集合A是全集U的子集.
(4)若x∈U,则x∈A,x∈?UA必居其一.
微思考
(1)已知U={a,b,c,d,e,f},A={b,f},如果从全集U中去掉集合A中的元素,剩下的元素构成的集合是什么?
提示
剩余元素构成的集合为{a,c,d,e}.
(2)上述问题中所求得的集合应该怎样命名?
提示
集合{a,c,d,e}可称为子集A在全集U中的补集.符号表示为?UA={a,c,d,e}.
微练习
(1)若U={x|x>0},A={x|x>3},则?UA= .?
答案
{x|0(2)如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A.A∩(?UB)
B.B∩(?UA)
C.?U(A∩B)
D.?U(A∪B)
答案
B
(3)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
①已知U为全集,对任意集合A,B,均有?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).( )
②已知U为全集,对任意集合A,B,均有?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).( )
③A∩(?RA)=R.( )
④若A=?,则?R?=?.( )
答案
①√ ②√ ③× ④×
课堂篇
探究学习
探究一
集合的补集运算
例1已知全集U=R,集合A={x|-3求:(1)?UA,?UB;
(2)?U(A∩B).
分析(1)根据补集的定义,借助于数轴写出;(2)先求A∩B,再根据补集的定义写出.
解
(1)∵A={x|-3在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示.
∴?UA={x|x≤-3或x≥3},?UB={x|x≥1}.
(2)∵A∩B={x|-3∴?U(A∩B)={x|x≥1或x≤-3}.
反思感悟
求集合补集的解题策略
1.如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,再结合补集的定义来求解.另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于维恩图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错.
2.如果所给集合是无限集,则常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据补集的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点值能否取得.
变式训练
1求解下列各题:
(1)设全集U=R,集合A={x|0≤x<3},则?UA= ;?
(2)(2020浙江高一月考)已知集合A={x|-5≤x≤3},B={x|x<-2或x>4},则A∩B= ,?RA= .?
答案
(1){x|x<0或x≥3} (2)[-5,-2) (-∞,-5)∪(3,+∞)
解析
(1)
由于全集U=R,画出数轴(如图所示),由补集的定义可得?UA={x|x<0或x≥3}.
(2)因为集合A={x|-5≤x≤3},B={x|x<-2或x>4},可得A∩B=[-5,-2),可得?RA=(-∞,-5)∪(3,+∞).
探究二
交集、并集、补集的综合运算
例2已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2分析可借助数轴分析求解.
解
把全集U和集合A,B在数轴上表示(如图所示),
由图可知?UA={x|x≤-2或3≤x≤4},A∩B={x|-2?U(A∩B)={x|x≤-2或3≤x≤4},
(?UA)∩B={x|-3反思感悟
集合运算的解题技巧
1.对于无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交、并、补的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点的“取”与“舍”.
2.对于有限集,应先把集合中的元素一一列举出来,再结合交、并、补集的定义来求解,另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于维恩图来求解,这样处理起来,相对来说比较直观、形象,且解答时不易出错.
变式训练
2(2020武汉高一月考)已知集合U={x|1≤x≤7},A={x|2≤x≤5},B={x|3≤x≤7}.求:
(1)A∩B;(2)(?UA)∪B;(3)A∩(?UB).
解
(1)由A={x|2≤x≤5},B={x|3≤x≤7},可得A∩B={x|3≤x≤5}.
(2)由U={x|1≤x≤7},A={x|2≤x≤5},故?UA={x|1≤x<2或5(3)由U={x|1≤x≤7},B={x|3≤x≤7},故?UB={x|1≤x<3},所以A∩(?UB)={x|2≤x<3}.
例3(1)设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|a+1|,2},?UA={5},则a等于 ;?
(2)已知集合A={x|x答案
(1)-4或2 (2)[2,+∞)
解析
(1)由?UA={5},知a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2.
当a=-4时,U={2,3,5},A={3,2},满足?UA={5};
当a=2时,U={2,3,5},A={3,2},满足?UA={5}.所以a的值为-4或2.
(2)?RB={x|x≤1或x≥2},由于A∪?RB=R,如图所示,所以a≥2.
反思感悟
1.由集合补集求有关参数问题的思路流程:
2.含参数问题一般要用到分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想来解决.
延伸探究已知集合A={x|2a-2解
易知?RB={x|x≤1或x≥2}≠?.
∵A??RB,
∴分A=?和A≠?两种情况讨论.
若A=?,此时有2a-2≥a,∴a≥2.
综上可知,实数a的取值范围为(-∞,1]∪[2,+∞).
素养形成
补集思想的综合应用
典例
已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.
(1)若(?RA)∪B≠R,求a的取值范围;
(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.
分析本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用,求解时可先将不相等问题转化为相等问题,求出a的集合后取其补集.
解
(1)∵A={x|0≤x≤2},∴?RA={x|x<0或x>2}.设(?RA)∪B=R,如图所示.
∴a≤0,且a+3≥2,即a≤0,且a≥-1,∴满足(?RA)∪B≠R的实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞).
(2)若A∩B=A,则A?B,又A≠?,
∴当A∩B≠A时,a的取值范围为集合{a|-1≤a≤0}的补集,即(-∞,-1)∪(0,+∞).
方法点睛
有些数学问题,若直接从正面解决较为困难,或解题思路不明朗,或需要考虑的因素太多,可用补集思想考虑其对立面,即从结论的反面去思考,探索已知和未知之间的关系,从而化繁为简,化难为易,开拓解题思路,这就是补集思想的应用.
(1)运用补集思想求参数范围的方法:
①否定已知条件考虑反面问题;
②求解反面问题对应的参数范围;
③将反面问题对应的参数范围取补集.
(2)补集思想适用的情况:从正面考虑情况较多,问题较复杂的时候,往往考虑运用补集思想.
变式训练
已知集合A={x|x<-6或x>3},B={x|k-1≤x-1≤k},若A∩B≠?,求k的取值范围.
解
由已知可得B={x|k≤x≤k+1},
令P={k|-6≤k≤2},
则?RP={k|k<-6或k>2}.
所以当A∩B≠?时,k的取值范围是(-∞,-6)∪(2,+∞).
当堂检测
1.(2020广西高一月考)已知全集U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},则?UA=( )
A.{1,2,3,4,5}
B.{1,5}
C.{2,3,4}
D.以上都不对
答案
B
解析
因为U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},所以?UA={1,5}.
2.(2020天津,1)设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},B={-3,0,2,3},则A∩(?UB)=( )
A.{-3,3}
B.{0,2}
C.{-1,1}
D.{-3,-2,-1,1,3}
答案
C
解析
∵U={-3,-2,-1,0,1,2,3},∴?UB={-2,-1,1},A∩(?UB)={-1,1}.故选C.
3.设全集为U,用集合A,B的交集、并集、补集符号表示图中的阴影部分.
(1) (2) ?
答案
(1)?U(A∪B)(或?UA∩?UB) (2)?UA∩B
4.(2020广东高一测试)已知全集U=R,A=[-1,3],B=[-2,2).
(1)求A∩B,A∪B;
(2)求?U(A∩B),?U(A∪B).
解
(1)A∩B=[-1,3]∩[-2,2)=[-1,2),A∪B=[-1,3]∪[-2,2)=[-2,3].
(2)?U(A∩B)=(-∞,-1)∪[2,+∞),?U(A∪B)=(-∞,-2)∪(3,+∞).
本
课
结
束(共44张PPT)
1.2.1 命题与量词
第一章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
1.理解命题的概念,并会判断命题的真假.(数学抽象)
2.理解全称量词、存在量词的含义.(数学抽象)
3.掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
现在社会中,广告无处不在,广告商都谙熟这样的命题变换艺术:如宣传某种食品的广告词为:“拥有的人们都幸福,幸福的人们都拥有”.初听起来这似乎只是几句普通的赞美词,然后这句话的等价命题就是“不拥有的人们不幸福”.哪个家庭不希望幸福啊?掏钱买一盒就是了.广告商正是利用了等价命题的道理使顾客产生了购物的心理效应,从而达到其经营的目的.
【知识点拨】
知识点一、命题的概念与分类
(1)命题的概念:可供真假判断的陈述语句叫做命题.
(2)分类
名师点析
对命题的理解
①有一类陈述句在数学或其他科学技术中经常出现,但目前不能确定这些语句的真假,随着时间的推移,总能确定它们的真假,这一类语句仍然是命题;
②命题的真假是确定的,一个命题要么为真,要么为假,不能无法判断;
③数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题;
④数学中要判定一个命题为真命题,需要经过严格的数学证明;要判定一个命题为假命题,只需要举出一个反例即可.
(3)命题的形式
在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,通常我们把这种形式的命题中的p称为命题的条件,q称为命题的结论.
名师点析
对命题形式的理解
①“若p,则q”只是命题的一种形式,另外,“如果p,那么q”“只要p,就有q”也是常见的命题形式.
②将含有大前提的命题改写为“若p,则q”的形式时,大前提应保持不变,改写后仍作为大前提,不要写在条件p中.
③改写前后命题的真假不发生变化.
④还有一些命题不能写成“若p,则q”的形式,如“某些三角形没有外接圆”.
微思考
在初中,我们已经学习了命题的定义,它的内容是什么?
提示
对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题.
微练习
(1)(多选题)(2020广东揭阳三中高一期中)下列四个命题中是真命题的是( )
A.一切实数均有相反数
B.?x∈N,使得方程ax+1=0无实数根
C.梯形的对角线相等
D.有些三角形不是等腰三角形
答案
ABD
解析
对于A,一切实数均有相反数,正确;对于B,当x=0时,方程ax+1=0无实数根,正确;对于C,只有等腰梯形的对角线相等,错误;对于D,有些三角形不是等腰三角形,正确.故选ABD.
(2)下列命题中,真命题共有( )
①面积相等的三角形是全等三角形 ②若xy=0,则|x|+|y|=0 ③若a>b,则a+c>b+c ④矩形的对角线互相垂直
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
①②④是假命题,③是真命题.
知识点二、全称量词与全称量词命题
(1)概念
一般地,“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“?”表示.含有全称量词的命题,称为全称量词命题.
(2)表示
全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x,r(x)”的命题,可简记为?x∈M,r(x).
名师点析
对全称量词与全称量词命题的理解
①从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.
②常见的全称量词还有“一切”“任给”等.
③一个全称量词命题可以包含多个变量,如“?x,y∈R,x2+y2≥0”.
④全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
(3)全称量词命题的真假判定
要判定全称量词命题是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明r(x)成立,但要判定全称量词命题是假命题,只需举出一个x0∈M,使得r(x0)不成立即可.
微思考
观察下面的两个语句,思考下列问题:
P:m≤8;
Q:对所有的m∈R,m≤8.
上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?
提示
语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.
微练习
下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数 ②有的矩形是正方形 ③三角形的内角和是180°
A.0 B.1 C.2 D.3
答案
C
解析
①③是全称量词命题.
知识点三、存在量词与存在量词命题
(1)概念
“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为
存在量词,用符号“?”表示.含有存在量词的命题,称为存在量词命题.
(2)表示
存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x,s(x)”的命题,可简记为“?x∈M,s(x)”.
名师点析
对存在量词与存在量词命题的理解
①从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
②常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
③含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
④一个存在量词命题可以包含多个变量,如“?a,b∈R,使(a+b)2=(a-b)2”.
⑤含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
(3)存在量词命题真假判定
要判定一个存在量词命题是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使s(x0)成立即可,否则这一存在量词命题就是假命题.
微思考
观察下面的两个语句,思考下列问题:
P:m>8;
Q:存在一个m0∈Z,m0>8.
上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?
提示
语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.
微练习
下列命题中,是真命题的是( )
A.?x∈R,x2>0
B.?x∈R,x2+2x>0
C.?x∈R,
<0
D.?x∈R,x(x-1)=6
答案
D
解析
?x∈R,x2≥0,故排除A;
取x=0,则x2+2x=0,故排除B;
因为
≥0,故排除C;取x=-2,则x(x-1)=6,故D正确.
课堂篇
探究学习
探究一
命题的判断
例1判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由.
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗?
(2)求证
是无理数.
(3)并非所有的人都喜欢苹果.
(4)大角所对的边大于小角所对的边.
(5)x∈R,x2+4x+4≥0.
分析根据命题的定义进行判断.
解
(1)疑问句,没有对“垂直于同一条直线的两条直线平行”作出判断,不是命题.
(2)祈使句,不是命题.
(3)真命题,人群中有的人喜欢苹果,也存在着不喜欢苹果的人.
(4)假命题,必须在同一个三角形或全等三角形中.
(5)真命题,x2+4x+4=(x+2)2≥0,对于x∈R,可以判断真假,它是命题,且是真命题.
要点笔记
判断一个语句是不是命题的关键点
(1)“是陈述句”;
(2)“可以判断真假”.
这两个条件缺一不可.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题.
变式训练
1下列语句是否为命题?如果是,判断其真假.
(1)函数f(x)=ax2+bx+c是二次函数吗?
(2)偶数的平方仍是偶数.
解
(1)该语句是疑问句,不能判断其真假,故不是命题;(2)所有的偶数的平方都是偶数,无一例外,故该语句是命题且为真命题.
探究二
全称量词命题与存在量词命题的辨析
例2判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)梯形的对角线相等.
(2)存在一个四边形有外接圆.
(3)二次方程都存在实数根.
分析首先确定量词,然后判断命题的类型.
解
(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”,很显然为全称量词命题.
(2)命题为存在量词命题.
(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”,故为全称量词命题.
反思感悟
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
变式训练
2判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题:
(1)凸多边形的外角和等于360°.
(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|.
(3)对任意a,b∈R,若a>b,则
解
(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,是全称量词命题.
(2)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题.
探究三
全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例3判断下列命题的真假.
(1)?x∈R,x2+1>
.
(2)?α,β∈R,(α-β)2=(α+β)2.
(3)存在一个数既是偶数又是负数.
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示.
(5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.
分析对于全称量词命题,判断为真,需要证明,判断为假,举出反例;对于存在量词命题,判断为真,举出特例,判断为假,需要证明.
(2)真命题,例如α=0,β=1,符合题意.
(3)真命题,如数-2,-4等,就既是偶数又是负数.
(4)假命题,如:边长为1的正方形的对角线长为
,它的长度就不是有理数.
(5)假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解.
反思感悟
判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法
(1)要判断一个全称量词命题为真,必须给定集合中的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只要在给定的集合中找到一个元素x0,使命题p(x0)为假.
(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x0,使命题p(x0)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对给定集合中的每一个元素x,使命题p(x)为假.
变式训练
3指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.
(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点.
(2)存在一个实数,它的绝对值不是正数.
(3)?x,y∈Z,使3x-4y=20.
(4)任何数的0次方都等于1.
解
(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题.
(2)存在量词命题.存在一个实数零,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题.
(3)存在量词命题.取x=0,y=-5时,3×0-4×(-5)=20成立,所以该命题是真命题.
(4)全称量词命题,0的0次方无意义,所以该命题是假命题.
探究四
全称量词命题、存在量词命题的应用
例4(1)已知命题p:?x∈
,2x+2-a=0为真命题,求实数a的取值范围.
(2)存在x∈R,使x2+x+a=0成立,求实数a的取值范围.
(3)已知集合A={x|x>2},B={x|x>a},若?a∈A,都有a∈B成立,求实数a的取值范围.
分析把存在与恒成立问题转化为不等式端点值的大小关系.
反思感悟
求解含有量词命题中参数范围的策略
已知含量词的命题真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查.解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.
解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制.
素养形成
分类讨论思想的应用
典例
命题p:关于x的一元二次方程x2-4x+4m=0有两个不相等的根,且一正一负;命题q:关于x的一元二次方程x2-4mx+m=0有两个正根.
若命题p和命题q只有一个为真,你能求出m的取值范围吗?
方法点睛
本题考查真假命题的判断,一元二次方程根与系数的关系,同时考查了分类讨论思想的应用.求解时灵活运用韦达定理是解题的关键.
当堂检测
1.(多选题)下列命题是全称量词命题的是( )
A.中国公民都有受教育的权利
B.每一个中学生都要接受爱国主义教育
C.有人既能写小说,也能搞发明创造
D.任何一个数除0,都等于0
答案
ABD
2.下列命题中,既是真命题又是存在量词命题的是( )
A.存在一个α∈R,使α2=α
B.存在实数x,使|x|=-1
C.对一切α∈R,α=|α|
答案
A
解析
C,D是全称量词命题,B是假命题.
3.命题“有些负数x满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“?”或“?”可表述为 .?
答案
?x<0,(1+x)(1-9x)>0
解析
由题意可知该命题是存在量词命题,所以应用“?”,表述为?x<0,(1+x)(1-9x)>0.
4.指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.
(1)每个二次函数的图像都与x轴相交.
(2)?x∈R,
<0.
(3)存在实数x,
=-x.
解
(1)全称量词命题,如函数y=x2+1的图像与x轴不相交,所以该命题为假命题.
(2)存在量词命题,非负数有算术平方根,且仍为非负数,所以该命题为假命题.
(3)存在量词命题,当x≤0时,
=-x,所以该命题为真命题.
本
课
结
束(共30张PPT)
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
第一章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
思维脉络
1.能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定.(逻辑推理)
2.掌握全称量词命题和存在量词命题与它们的否定在形式上的变化规律.(数学抽象)
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长
了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.
这就是著名的“罗素理发师悖论”问题,如果我们学习了全称量词命题与存在量词命题及其否定的知识,就可以通过逻辑进行分析了.
【知识点拨】
知识点一、命题的否定
1.定义:一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“?p”,读作“非p”或“p的否定”.
2.命题p与其否定?p的真假关系
如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定就应该是假命题;反之亦然.
微思考
什么叫命题的否定?
提示
只否定命题的结论,条件不变,这样的命题叫命题的否定.
知识点二、全称量词命题和存在量词命题的否定
命题类型
存在量词命题
全称量词命题
形式
?x∈M,p(x)
?x∈M,q(x)
否定
?x∈M,?p(x)
?x∈M,?q(x)
结论
存在量词命题的否定是
全称量词命题
全称量词命题的否定是
存在量词命题
名师点析
1.写全称量词命题的否定的方法
(1)更换量词,将全称量词换为存在量词.
(2)将结论否定.
全称量词命题的否定是存在量词命题.
2.写存在量词命题的否定的方法
(1)将存在量词改写为全称量词.
(2)将结论否定.
存在量词命题的否定是全称量词命题.
3.写全称量词命题的否定和存在量词命题的否定的注意点
(1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题,给出全称量词命题的否定时既要否定全称量词,又要否定性质,所以找出全称量词,明确命题所提供的性质是对全称量词命题否定的关键.
(2)存在量词命题的否定是一个全称量词命题,给出存在量词命题的否定时既要否定存在量词,又要否定性质,所以找出存在量词,明确命题所提供的性质是对存在量词命题否定的关键.
微练习
(1)(2021湖北鄂州高一期末)命题“?x≥0,x2-x≥0”的否定是( )
A.?x<0,x2-x<0
B.?x>0,x2-x<0
C.?x≥0,x2-x≥0
D.?x≥0,x2-x<0
答案
D
解析
根据全称量词命题的否定的定义可知,命题“?x≥0,x2-x≥0”的否定是“?x≥0,x2-x<0”.故选D.
(2)“?m,n∈Z,使得m2=n2+2
020”的否定是( )
A.?m,n∈Z,使得m2=n2+2
020
B.?m,n∈Z,使得m2≠n2+2
020
C.?m,n∈Z,有m2≠n2+2
020
D.以上都不对
答案
C
解析
命题“?m,n∈Z,使得m2=n2+2
020”是存在量词命题,其否定为全称量词命题,所以命题的否定是?m,n∈Z,有m2≠n2+2
020.
课堂篇
探究学习
探究一
全称量词命题的否定
例1(1)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:?x∈A,2x∈B,则( )
A.?p:?x∈A,2x?B
B.?p:?x?A,2x?B
C.?p:?x?A,2x∈B
D.?p:?x∈A,2x?B
(2)写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
①p:对所有正数x,
>x+1.
②q:任何一个实数除以1,仍等于这个数.
③r:所有被5整除的整数都是奇数.
④s:任意两个等边三角形都相似.
分析(1)命题p中的量词是“?”,命题的结论是“2x∈B”,改量词,否定结论即可.(2)全称量词改为存在量词,同时否定结论即可.
(1)答案
D
解析
命题p的否定为?p:?x∈A,2x?B.
(2)解
①?p:存在正数x,
≤x+1.例如当x=1时,
②?q:存在一个实数除以1,不等于这个数.由q是真命题可知?q是假命题.
③?r:存在一个被5整除的整数不是奇数.例如10是能被5整除的整数且不是奇数,所以?r是真命题.
④?s:存在两个等边三角形,它们不相似.由s是真命题可知?s是假命题.
反思感悟
1.全称量词命题的否定的两个关注点
(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.
(2)有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定写成“是”或“不是”.
2.常见词语的否定
词语
词语的否定
等于
不等于
大于
不大于(即小于或等于)
小于
不小于(即大于或等于)
是
不是
都是
不都是(与“都不是”区别开)
至多一个
至少两个
至少一个
一个也没有
任意
某个
所有的
某些
3.全称量词命题否定后的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题相反;要说明一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可.
变式训练
写出下列全称量词命题的否定:
(1)p:所有自然数的平方都是正数.
(2)p:任何实数x都是方程5x-12=0的根.
(3)p:对任意实数x,x2+1≥0.
解
(1)有些自然数的平方不是正数.
(2)存在实数x不是方程5x-12=0的根.
(3)存在实数x,使得x2+1<0.
探究二
存在量词命题的否定
例2写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.
(1)p:?x∈R,2x+1≥0.
(2)q:?x∈R,x2-x+
<0.
(3)r:有些分数不是有理数.
分析把存在量词改为全称量词,然后否定结论.
反思感悟
1.存在量词命题否定的方法及关注点
(1)方法:与全称量词命题的否定的写法类似,要写出存在量词命题的否定,先确定它的存在量词,再确定结论,然后把存在量词改写为全称量词,对结论作出否定就得到存在量词的否定.
(2)关注点:注意对不同的存在量词的否定的写法,例如,“存在”的否定是“任意的”,“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等.
注意:不要把命题的否定和否命题混为一谈.
2.对省略量词的命题的否定
对于一个含有量词的命题,容易知道它是全称量词命题或存在量词命题,可以直接写出其否定,而对省略量词的命题在写命题的否定时,应首先根据命题中所叙述的对象的特征,挖掘其隐含的量词,确定是全称量词命题还是存在量词命题,先写成全称量词命题或存在量词命题的形式,再对其进行否定.
3.存在量词命题否定后的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
延伸探究将本例(2)改为:q
:存在x∈R,x2-x-1<0,写出它的否定,并判断真假.
素养形成
分类讨论思想的应用——求参数的取值范围
典例
命题p:?x∈R,ax2+ax+1≥0,若?p是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(0,4]
B.[0,4]
C.(-∞,0]∪[4,+∞)
D.(-∞,0)∪(4,+∞)
解析
当a=0时,不等式恒成立;
当a≠0时,要使不等式恒成立.
综上所述:0≤a≤4,则命题p:0≤a≤4,
则?p:a<0或a>4.
答案
D
方法点睛
本题为含参数的不等式问题,求解时应分a=0或a≠0两类来讨论,求解时应采用数形结合的思想建立不等式组求解.
当堂检测
1.命题“?x>0,x2>0”的否定是( )
A.?x>0,x2≤0
B.?x>0,x2≤0
C.?x≤0,x2≤0
D.?x≤0,x2≤0
答案
B
解析
全称量词命题的否定是存在量词命题.
2.命题“?x∈R,x2+2
019x+2
020<0”的否定为( )
A.?x∈R,x2+2
019x+2
020<0
B.?x∈R,x2+2
019x+2
020≤0
C.?x∈R,x2+2
019x+2
020≥0
D.?x∈R,x2+2
019x+2
020≥0
答案
C
解析
命题的否定为“?x∈R,x2+2
019x+2
020≥0”.
3.(2021安徽高三开学考试)命题“?x∈R,x2-2≥
x”的否定是 .?
答案
?x∈R,x2-2<
x
4.命题“?x∈R,x2+2x+1=0”的否定是 命题.(填“真”“假”之一)?
答案
假
解析
∵由x2+2x+1=0得(x+1)2=0,∴x=-1,
则命题“?x∈R,x2+2x+1=0”是真命题,则命题“?x∈R,x2+2x+1=0”的否定是假命题.
5.写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:?x∈R,x2+2x+2=0;
(2)p:所有的正方形都是菱形;
(3)p:至少有一个实数x,使x3+1=0.
解
(1)?x∈R,x2+2x+2≠0,真命题.
因为?x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立.
(2)至少存在一个正方形不是菱形,假命题.因为所有的正方形都是菱形.
(3)?x∈R,x3+1≠0,假命题.因为当x=-1时,x3+1=0.
本
课
结
束(共52张PPT)
1.2.3 充分条件、必要条件
第一章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
1.理解充分条件、必要条件的意义.(数学抽象)
2.理解充分不必要、必要不充分和充要条件的意义.(数学抽象)
3.掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判定方法.(逻辑推理)
4.掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的简单应用.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
著名童话《爱丽丝漫游奇境记》的作者,英国牛津大学数学讲师卡罗尔曾提出如下趣题:如果已经知道以下信息:①室内所有有日期的信都是用蓝纸写的;②玛丽写的信都是以“亲爱的”开头的;③除了查理以外没有人用黑墨水写信;④我可以看到的信都没有收藏起来;⑤只有一页信纸的信中,没有一封没注明日期;⑥未作记号的信都是用黑墨水写的;⑦用蓝纸写的信都收藏起来了;⑧一页以上信纸的信中,没有一封是做记号的;⑨以“亲爱的”开头的信,没有一封是查理写的.
请判断:我是否可以看玛丽的信?
结论是什么呢?学习了本节内容后,运用充分、必要条件的知识进行逻辑推理就容易判断结果了.
【知识点拨】
知识点一、充分条件与必要条件
命题真假
“如果p,那么q”为真命题
“如果p,那么q”是假命题
推出关系
由p可以推出q,记作p?q
由p推不出q,记作p
q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
名师点析
1.在逻辑推理中“p?q”的几种说法
(1)“如果p,那么q”为真命题.
(2)p是q的充分条件.
(3)q是p的必要条件.
(4)p的必要条件是q.
(5)q的充分条件是p.
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.
2.对充分条件的理解
(1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论或使此结论成立.
(2)只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立,例如x=6?x2=36,但是,当x≠6时,x2=36也可以成立,“x=-6”也是“x2=36成立”的充分条件.
3.对必要条件的理解
(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的,真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.
(2)“p是q的必要条件”的理解:若有q,则必须有p;而具备了p,则不一定有q.
微练习1
用“?”或“
”填空.
(1)a,b都是偶数 a+b是偶数;?
(2)a+b是偶数 a,b都是偶数;?
(3)A∩B=? A=?;?
(4)Rt△ABC中,∠A=30° 边BC长等于斜边长的一半.?
答案
(1)? (2)
(3)
(4)?
微练习2
下列命题中是真命题的是( )
①“x>3”是“x>4”的必要条件;②“x=1”是“x2=1”的必要条件;③“a=0”是“ab=0”的必要条件.
A.①② B.②③
C.②
D.①
答案
D
解析
x>4?x>3,故①是真命题;
x=1?x2=1,x2=1
x=1,故②是假命题;
a=0?ab=0,ab=0
a=0,故③是假命题.
知识点二、充要条件
如果p?q且q?p,则称p是q的充分必要条件(简称充要条件),记作
p?q
.p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.
名师点析
1.对充要条件的两点说明
(1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.
(2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件.
2.常见的四种条件与命题真假的关系
如果有命题“若p,则q”和“若q,则p”,那么p与q的关系有以下四种情形:
命题“若p,则q”
命题“若q,则p”
p与q的关系
真
真
p是q的充要条件
q是p的充要条件
真
假
p是q的充分不必要条件
q是p的必要不充分条件
假
真
p是q的必要不充分条件
q是p的充分不必要条件
假
假
p是q的既不充分也不必要条件
q是p的既不充分也不必要条件
微思考
用定义法判断充分条件和必要条件的一般步骤是什么?
提示
(1)判定“若p,则q”的真假.
(2)尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.
(3)尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.
微练习
“x=0”是“x2=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
答案
D
解析
因为x=0时,x2=0,当x2=0时,x=0,所以“x=0”是“x2=0”的充要条件.
课堂篇
探究学习
探究一
充分条件、必要条件的判断
例1判断下列各题中,p是不是q的充分条件:
(1)p:a∈Q,q:a∈R.
(2)p:a<1.
(3)p:x>1,q:x2>1.
(4)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3.
(5)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC.
(6)已知a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0.
分析逐个判断“若p,则q”是否为真命题.
解
(1)由于Q?R,所以p?q,
所以p是q的充分条件.
(3)由x>1可以推出x2>1.
因此p?q,
所以p是q的充分条件.
(4)设A={a|(a-2)(a-3)=0},B={3},则B?A.
因此p
q,所以p不是q的充分条件.
(5)由三角形中大角对大边可知,若∠A>∠B,
则BC>AC.
因此,p?q,所以p是q的充分条件.
(6)因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,
由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p?q,所以p是q的充分条件.
例2判断下列各题中,q是不是p的必要条件:
(1)p:|x|=|y|,q:x=y.
(2)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形.
(3)p:x=1,q:x-1=
.
(4)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.
(5)p:a是自然数,q:a是正整数.
(6)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形.
分析逐个判断“若p,则q”是否为真命题.
解
(1)若|x|=|y|,则x=y或x=-y,
因此p
q,所以q不是p的必要条件.
(2)直角三角形不一定是等腰三角形.
因此p
q,所以q不是p的必要条件.
(3)当x=1时,x-1=
=0,
所以p?q,所以q是p的必要条件.
(4)设A=[-2,5],B=[-1,5],
则B?A,所以p
q,所以q不是p的必要条件.
(5)0是自然数,但是0不是正整数,
所以p
q,所以q不是p的必要条件.
(6)等边三角形一定是等腰三角形.
所以p?q,所以q是p的必要条件.
反思感悟
充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法:①确定谁是条件,谁是结论.
②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.
③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.
(2)命题判断法:①如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.
②如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
变式训练
1对任意实数a,b,c,在下列命题中,真命题是( )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
答案
B
探究二
充分不必要条件、必要不充分条件的判断
分析从集合观点“小范围大范围”进行理解判断→注意特殊值的使用
答案
(1)充分不必要 (2)既不充分也不必要
反思感悟
充分不必要条件、必要不充分条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件,实际上是判断“若p,则q”和“若q,则p”的真假,若“若p,则q”为真,“若q,则p”为假,则p为q的充分不必要条件;若“若p,则q”为假,“若q,则p”为真,则p为q的必要不充分条件;若“若p,则q”为真,“若q,则p”为真,则p为q的充要条件;若“若p,则q”,“若q,则p”均为假,则p为q的既不充分也不必要条件.
(2)在判断时注意反例法的应用.
变式训练
2判断下列各题中,p是否为q的充要条件:
(1)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0;
(2)p:|x|>3,q:x2>9.
解
(1)若a2+b2=0,则a=b=0,即p?q;若a=b=0,则a2+b2=0,即q?p,故p?q,所以p是q的充要条件.
(2)由于p:|x|>3?q:x2>9,所以p是q的充要条件.
探究三
充分条件与必要条件的应用
例4已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
分析根据条件的充分必要性构建不等式组,解不等式组可得实数m的范围.
反思感悟
由条件关系求参数的取值范围的方法
(1)化简p,q;
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要)转化为集合间的关系;
(3)利用集合间的关系建立不等关系;
(4)求解参数范围.
延伸探究例4中,若p是q的充分不必要条件,其他条件不变,试求m的取值范围.
探究四
充要条件的探求
例5求ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.
分析首先讨论二次项的系数a是否为零,在a≠0时,利用判别式和根与系数的关系求解.
要点笔记
求充要条件的方法
求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合,这就要求转化时思维要缜密.
提醒p是q的充要条件意味着“p成立则q成立;p不成立则q不成立”.
变式训练
3设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},
B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩(?UB)的充要条件是( )
A.m>-1,n<5
B.m<-1,n<5
C.m>-1,n>5
D.m<-1,n>5
答案
A
探究五
充要条件的证明
例6(1)证明:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
(2)一般地,证明:方程f(x)=0有一根为1的充要条件是f(1)=0.
分析从充分性和必要性两个方面证明.
证明
(1)先证充分性:因为a+b+c=0,
所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0(※)中,
得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.
所以方程(※)有一个根为1,
所以a+b+c=0?方程(※)有一个根为1.
再证必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,
所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
所以方程(※)有一个根为1?a+b+c=0,
从而a+b+c=0?方程(※)有一个根为1,
因此方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
(2)充分性:当f(1)=0时,即x=1代入f(x)=0,等式成立,
∴f(1)=0是f(x)=0的充分条件;
必要性:当f(x)=0有一根为1时,即(1,0)为y=f(x)与x轴的一个交点,∴f(1)=0,
∴f(1)=0是f(x)=0的必要条件.
综上所述,方程f(x)=0有一根为1的充要条件是f(1)=0.
反思感悟
充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
延伸探究将本例(1)的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”,“a+b+c=0”改为“ac<0”,如何证明?
证明
充分性:因为ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0(※)中有两个不等实根,由根与系数关系可知这两个根的积为
<0,
所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,
所以ac<0?方程(※)有一个正根和一个负根.
必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,由根与系数关系可知这两个根的积为
<0,
所以ac<0,所以方程(※)有一个正根和一个负根?ac<0,因此方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
素养形成
数形结合思想的应用
在解答有关充分必要条件的判断,或者根据条件间的充分性、必要性求参数的取值范围时,有时要借助于维恩图或数轴求解,可以比较形象、直观地解决问题,培养我们直观想象的核心素养.
1.维恩图的应用
(1)用列举法表示集合,可以很清晰地判断条件间的关系.
(2)把条件用集合来表示,将抽象的条件具体化、形象化,方便判断.
典例1
已知集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},则x∈A是x∈B的( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
分析作出维恩图,判断集合A和集合B之间的关系,进而做出判断.
解析
作出维恩图,如图所示,
可知x∈B?x∈A,但x∈A
x∈B,所以x∈A是x∈B的必要不充分条件.
答案
C
2.数轴的应用
(1)判断涉及集合的条件间的充分性、必要性时,如果集合中的实数为连续性的,则可用数轴表示集合做出判断.
(2)在根据条件间的关系求参数的取值范围时,一般转化为集合间的关系,用数轴法解决,这种解法更加的直观形象,不易出错.
典例2
已知命题p:-10),若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.
分析
把条件间的充分性、必要性转化为集合间的包含关系,在数轴上表示出来,列出不等式组,解不等式组可得参数的取值范围.
解
设A={x|-1因为p是q的必要条件,所以B?A,
在数轴上标出两集合,如图,
所以m的取值范围是(0,1].
当堂检测
1.(2020北京高一期中)“x=2”是“x2=4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
A
解析
由x2=4,解得x=±2.
∴x=2是x2=4的充分不必要条件.
2.“角A=60°”是“三角形ABC是等边三角形”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案
C
解析
角A=60°
三角形ABC是等边三角形,但三角形ABC是等边三角形?角A=60°,所以“角A=60°”是“三角形ABC是等边三角形”的必要不充分条件.
3.已知集合A={x|x2+x-6≤0},B={x|3-m≤x≤m+5},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数m的取值范围为 .?
答案
[6,+∞)
解析
由题得A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,
所以实数m的取值范围为[6,+∞).
本
课
结
束