(共66张PPT)
1.1.1 空间向量及其运算
第一章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的表示方法.(数学抽象)
2.学会空间向量的线性运算及它们的运算律.(数学运算)
3.能用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题.(逻辑推理)
4.理解空间向量夹角的概念,并掌握两个向量数量积的定义、性质及运算律.(数学抽象)
5.能用两个向量的数量积解决立体几何中的角度和长度等问题.(逻辑推理)
课前篇
自主预习
激趣诱思
一天,梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车,上面装满了好吃的东西,于是就想把车子从路上拖下来,三个家伙一齐铆足了劲,使出了平生的力气一起拖车,可是,无论它们怎样用力,小车还是在老地方一步也动不了.原来,天鹅使劲往天上提,虾一步步向后倒拖,梭子鱼又朝着池塘拉去.同学们,你们知道这样拉车,车子为什么不动吗?
知识点拨
1.空间向量的概念
空间向量
空间中既有大小,又有方向的量
零向量、单位向量
始点和终点相同的向量称为零向量,记为0.模等于1的向量称为单位向量,一般记为e
向量的模(或长度)
表示向量a的有向线段的长度,记作|a|
相等向量
大小相等、方向相同的向量
平行向量
(或共线向量)
方向相同或者相反的两个非零向量
共面向量
空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在同一平面内
微判断
(1)两个有共同始点且相等的向量,其终点必相同.( )
(2)两个有公共终点的向量,一定是共线向量.( )
(3)在空间中,任意一个向量都可以进行平移.( )
(4)模相等的向量不一定是相等向量.( )
(5)表示两个平行向量的有向线段所在的直线一定不重合.( )
答案
(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)×
微练行六面体ABCD-A1B1C1D1中,与向量
相等的向量共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
2.空间向量的线性运算及其运算律
(3)数乘:λa,
①当λ≠0,a≠0时,
|λa|=|λ||a|,而且λa的方向:
当λ>0时,λa与a方向相同;
当λ<0时,λa与a方向相反;
②当λ=0或a=0时,λa=0.
(4)线性运算律
①加法交换律:a+b=b+a;
②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);
③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.
名师点析空间向量的线性运算中,加法满足三角形法则和平行四边形法则,减法满足三角形法则.
(2)以向量a,b对应的有向线段为邻边的平行四边形中,a+b与a-b对应的有向线段所表示的是两条对角线,|a+b|与|a-b|为两条对角线的长度.
(3)三个不共面的向量和,等于以这三个向量对应的有向线段为邻边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.
微判断
(1)空间中两个非零向量相加时,可以在空间中任取一点作为它们的共同始点.( )
(2)实数λ与空间向量a相乘的结果可以是0.( )
(3)若a=λb(b≠0),则λ=
.( )
答案
(1)√ (2)× (3)×
微练习1
A.a+b+c B.a+b-c
C.a-b-c
D.-a+b+c
答案
C
微练习2
微思考
首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,它们的和向量有什么特点?
提示
和向量为0.
3.空间向量的夹角
微判断
答案
×
微思考
两个非零向量共线时,其夹角分别是多少?
提示
两个非零向量共线且同向时,
=0;两个非零向量共线且反向时,=π.
4.空间向量的数量积
(1)定义:空间中已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos叫做a,b的数量积(也称为内积),记作a·b.即a·b=|a||b|cos.
(2)规定零向量与任意向量的数量积为0.
微判断
若非零向量a,b为共线且同向的向量,则a·b=|a||b|.( )
答案
√
微思考
两个向量的数量积与数乘向量有何不同?
提示
两个向量的数量积是它们的模与其夹角的余弦值的乘积,其结果是实数;数乘向量是一个数与一个向量的乘积,其结果仍是一个向量,如0·a=0,而0·a=0.
5.空间向量的数量积的性质
(1)a⊥b?a·b=0(a,b均是非零向量);
(2)a·a=|a|2=a2;
(3)|a·b|≤|a||b|;
(4)(λa)·b=λ(a·b);
(5)a·b=b·a(交换律);
(6)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
名师点析(1)空间向量的数量积的运算符号是“·”,不能省略,更不能写成“×”;
(2)空间向量的数量积(内积)是一个实数而不是一个向量,它有别于数乘向量;
(3)若a·b=k,不能得出
(4)a⊥b的充要条件是a·b=0,这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法,同时也说明了命题“a·b=0?a=0或b=0”是错误的.
微判断
(1)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.( )
(2)对于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c).( )
答案
(1)× (2)×
微练习
已知|a|=1,|b|=
,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为( )
A.60° B.30° C.135° D.45°
答案
D
解析
∵a-b与a垂直,∴(a-b)·a=0,
∵
0°≤≤180°,∴=45°.
课堂篇
探究学习
探究一
空间向量的概念
例1给出下列命题:①两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有
;④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中正确的个数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
C
解析
当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等;但两个向量相等,不一定有起点相同、终点相同,故①错;根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同,故②错;根据正方体的性质,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量
的方向相同,模也相等,所以
,故③正确;命题④显然正确;对于命题⑤,空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错.所以正确的个数为2.
反思感悟解决有关向量概念的问题,要熟练掌握空间向量的有关概念,注意区分向量与向量的模以及数量.相等向量只需方向相同,长度相等,与向量的起点和终点没有必然的联系.尤其要注意解决此类概念问题时,要多结合几何图形进行分析,并要与平面向量中的结论进行类比.
变式训练1下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A.空间向量不满足加法结合律
B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反
D.相等向量其方向必相同
答案
D
解析
A中,空间向量满足加法结合律;B中,|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向不确定;C中,向量作为矢量不能比较大小,故选D.
探究二
空间向量的线性运算
例2如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.
例3已知在平行六面体ABCD
-
A'B'C'D'中,M为CC'的中点(如图).化简下列各表达式,并在图中标出化简结果的向量.
反思感悟(1)对于借助几何图形的向量运算,应该在线性运算的基础上挖掘好几何体中本身的特征,如平行、相等、垂直等.
(2)化归与转化思想意识要加强,除借助向量的运算律外,还可以将已知向量转化为与之相等的向量以方便其运算,如例3中第(2)问将
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
答案
A
探究三
求向量的数量积
例4已知长方体ABCD
-
A'B'C'D',AB=AA'=2,AD=4,E为侧面AB'的中心,F为A'D'的中点,计算下列数量积:
反思感悟求两个向量m,n的数量积一般分为两个层次:一是结合图形确定向量m,n的模及的大小,直接利用空间向量数量积的定义来求,此种情况下要注意向量夹角的正确性;二是选定一组基向量表示向量m,n,从而把m,n的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求.当题目中没有明确基底的时候,合理选取基底是至关重要的,比如此题的基底选取既方便向量表示,又方便计算.
变式训练4已知正四面体OABC的棱长为1.求:
探究四
利用数量积证明垂直问题
例5如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
求证:PA⊥BD.
反思感悟(1)由数量积的性质a⊥b?a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量(a,b是非零向量),只要证明这两个向量的数量积为0即可.
(2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,需将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直.
变式训练5如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.
又∵OG∩BD=O,OG?平面GBD,BD?平面GBD,
∴A1O⊥平面GBD.
探究五
利用数量积求解距离或长度问题
例6平行四边形ABCD中,AB=2AC=2且∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离.
反思感悟利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a|=
求解.
变式训练6在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,
∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长.
素养形成
易错点——因将向量夹角与直线夹角混淆而致错
案例如图,空间四边形ABCD中,每条边的长度和两条对角线的长度都等于1,M,N分别是AB,AD的中点,计算
【规范答题】
当堂检测
1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
B
答案
C
3.如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且
答案
C
4.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°,则AC1的长为( )
答案
C
答案
60° 1
6.已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.
本
课
结
束(共57张PPT)
1.1.2 空间向量基本定理
第一章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义.(数学抽象)
2.熟记基底、基向量的概念.会选择恰当的基底表示空间向量.(数学抽象)
3.会用共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理和空间向量基本定理解决空间几何中的简单问
题.(逻辑推理)
课前篇
自主预习
激趣诱思
“道生一,一生二,二生三,三生万物”这句话出自老子《道德经》第四十二章.《说文解字》有对这句话的注释.首先确认“一”是地平线,然后进一步确定:“一生二”是指由地平线延伸出天和地两个平面;“二生三”是指天、地分开后,形成中间的“空”;“三生万物”则是指万物生长于天地之间的“空”.因此,古人观察地平线、天地和万物的存在状态,最后总结成“一生二,二生三,三生万物”这句话.联系一下我们学过的平面向量基本
定理,可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中
所有的向量;推广到三维空间,仍然为给出一组三维的
基底,可以生成空间中的所有向量.
知识点拨
1.平面向量中的结论
(1)共线向量基本定理:如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.
(2)平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb.
微练习
已知直角坐标平面内的两个向量a=(1,3),b=(m,2m-3),使得平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb,则m的取值范围是 .?
答案
{m|m≠-3}
解析
要使c=λa+μb成立,则只需a与b不共线,即只需满足
,即3m≠2m-3,故m≠-3.
2.空间中的共线向量基本定理
两个空间向量a,b,如果a≠0,且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.
微判断
若向量a∥b,则一定存在实数λ,有b=λa.( )
答案
×
微练习
已知向量a,b不共线,p=ka+b,q=a-k2b,若p,q共线,则k的值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
答案
C
解析
若p,q共线,则存在唯一的实数x,使p=xq,即ka+b=xa-xk2b,则
解得k=-1.
3.共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb.
名师点析证明空间向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.
微判断
(1)若p与a,b共面,则p=xa+yb.( )
答案
(1)× (2)√ (3)×
微思考
向量a,b均是非零向量,a,b不共线,在空间中任取一点O,作
若向量c与a,b共面,则表示c的有向线段所在的直线与平面OAB的关系是什么?
提示
表示c的有向线段所在直线与平面OAB平行或该直线在平面OAB中.
4.空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a,b,c不共面,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.其中,空间中不共面的三个向量a,b,c组成的集合{a,b,c},常称为空间向量的一组基底.此时,a,b,c都称为基向量;如果p=xa+yb+zc,则称xa+yb+zc为p在基底{a,b,c}下的分解式.
名师点析(1)任意三个不共面向量都可构成空间的一组基底;任意一组空间的基底都可生成空间的所有向量;每一个空间向量都可被分解到任意一组基底中基向量的三个不同方向;同一个向量在同一组基底下的分解式是唯一的.
(2)对空间任一点O,及不共线的三点A,B,C,若
则P,A,B,C四点共面的充要条件是x+y+z=1.
微判断
(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.( )
(2)若{a,b,c}为空间的一组基底,则a,b,c全不是零向量.( )
(3)如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一组基底,则一定有a与b共线.( )
(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一组基底.( )
答案
(1)× (2)√ (3)√ (4)×
微练习
答案
C
课堂篇
探究学习
探究一
空间向量共线的判定
例1如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1D1,AB的中点,E在
反思感悟1.判断两向量是否共线:判断两向量a,b(b≠0)是否共线,即判断是否存在实数λ,使a=λb.本例中紧紧围绕
之间的倍数关系,正是体现了共线向量定理的应用要领.
2.求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若a∥b,则a=λb(λ∈R)”.这一结论可逆向解决已知条件为向量平行的若干问题.
3.判断或证明空间中的三点(如P,A,B)是否共线的三种方法:
变式训练1
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且
探究二
空间向量共面问题
例2如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分
反思感悟证明空间三向量共面或四点共面的方法
向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.对于此方法的使用要注意涉及的向量的始点、终点问题,如,本例中当MN和CD、DE没有关联的端点时要说明
(2)点M是否在平面ABC内?
又它们有共同的起点M,且A,B,C三点不共线,
∴M,A,B,C四点共面,即点M在平面ABC内.
探究三
基底的判断
∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)
=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3,
反思感悟空间向量有无数组基底.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断.比如此例中将能否构成基底问题转化为一个方程组的解的讨论.
变式训练3下列说法正确的是( )
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.A,B,M,N是空间中的四个点,若
不能构成空间的一个基底,则点A,B,M,N共面
D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}基向量对应相等
答案
C
解析
A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底,所以A错;
B项中空间基底有无数个,所以B错;
D项中因为基底不唯一,所以D错.
故选C.
探究四
用基底表示向量
反思感悟1.空间中,任一向量都可以用一组基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.
2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.
3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
变式训练4在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,
∠DAB=60°,∠BAA1=60°,∠DAA1=60°,M,N分别为D1C1,C1B1的中点.
(2)求直线AC1与MN的夹角.
探究五
空间向量基本定理的应用
例5如图所示,已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM∶MC=2∶1,N为PD中点,求满足
反思感悟选定空间中不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的一项基本功.要结合已知和所求,观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量,再对照目标,将不符合目标要求的向量当作新的所需向量,如此继续下去,直到所有向量都符合目标要求为止.空间向量基本定理表明,用空间三个不共面的向量组{a,b,c}可以表示出任意一个向量,而且a,b,c的系数是唯一的.正是利用唯一性,本例中当把
利用基底表示出来后,就能形成一一对应,进而得到x,y,z的值.本例中基底是明确的,但要灵活运用线性运算朝着基底转化是关键.
答案
B
素养形成
思维拓展——空间向量基本定理的体积形式
【规范答题】
当P在平面ABC或平面ABD或平面ACD时易证结论也成立.
当堂检测
1.给出下列命题,其中错误的是( )
A.空间任意三个向量都可以作为一组基底
B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.若向量a+b,b+c,c+a是空间一个基底,则a,b,c也是空间一个基底
D.已知{a,b,c}是空间向量的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底
答案
A
解析
A选项,空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底,故A错;
B选项,若a∥b,则a,b与任何向量都共面,故不能构成空间的一个基底,故B对;
C选项,设d是空间任意一个向量,由题意存在唯一一组实数(x,y,z),使d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c,则a,b,c也是空间的一个基底,故C对;
D选项,∵{a,b,c}是空间向量的一个基底,则a,b与向量m=a+c一定不共面,
∴{a,b,m}也可以构成空间向量的一个基底,故D对.故选A.
2.下列条件中,使点M与点A,B,C一定共面的是( )
答案
C
A.P∈直线AB
B.P?直线AB
C.O,A,B,P四点共面
D.P,A,B三点共线
答案
ACD
4.自然界中,构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞,其形状一般是平行六面体,具体形状大小由它的三组棱长a,b,c及棱间夹角α,β,γ(合称为“晶胞参数”)来表征.如图是某种晶体的晶胞,其中a=2,b=c=1,α=60°,
β=90°,γ=120°,则该晶胞的对角线AC1的长为 .?
5.在正四面体P-ABC中,M是PA上的点,且PM=2MA,N是BC的中点,若
解析
如图所示.
本
课
结
束(共56张PPT)
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第一章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.在理解空间向量基本定理的基础上掌握空间向量正交分解的原理及坐标表示.(数学抽象)
2.能正确地运用空间向量的坐标,进行向量的线性运算与数量积运算.(数学运算)
3.初步学会用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题.
(逻辑推理、直观想象)
课前篇
自主预习
激趣诱思
我们所在的教室是一个立体图形,即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为坐标原点,沿着三条墙缝作射线可以得到三条坐标轴,有了这三条坐标轴,就可以形成一个可以度量的三维空间,也就是建立了空间直角坐标系(类比平面直角坐标系).如果将图中的小鸟所在的树枝看成“向量”,平行移动这个“向量”,那么它的坐标有变化吗?树枝的端点坐标有变化吗?
知识点拨
1.空间中向量的坐标
一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组(x,y,z)为向量p的坐标,记作p=(x,y,z),其中x,y,z都称为p的坐标分量.
微练习
已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱DD1,BC的中点,
2.空间向量的运算与坐标的关系
空间向量a,b,其坐标形式为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a+b
a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
减法
a-b
a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
数乘
λa
λa=(λx1,λy1,λz1)
数量积
a·b
a·b=x1x2+y1y2+z1z2
特别地,
(1)如果μ,v是两个实数,那么
μa+vb=(μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2).
微练习
(1)已知向量a=(2,-3,5),b=(-2,4,5),则a+b= ,b-a= .
答案
(0,1,10) (-4,7,0)
(2)已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b等于( )
A.(16,0,4) B.(8,-16,4)
C.(8,16,4)
D.(8,0,4)
答案
D
解析
4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).
(3)向量a=(2,-3,
),b=(1,0,0),则cos= .
3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则有a∥b?
(其中x1,y1,z1均不为0);
a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0.
要点笔记若不明确x1y1z1≠0,则可以用以下结论进行求解,即a∥b(a≠0)?b=λa?(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)?
微练习
(1)已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,则( )
答案
D
(2)已知向量a=(1,-2,-1),b=(3,m,-1),若a⊥b,则m= .
答案
2
解析
∵a⊥b,∴a·b=3-2m+1=0,∴m=2.
4.空间直角坐标系
为了确定空间点的位置,在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点O,再作一条数轴z,使它与x轴,y轴都垂直,这样它们中的任意两条都互相垂直.
轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合,这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做坐标原点.每两条坐标轴分别确定的平面xOy,yOz,zOx叫做坐标平面,三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成八个卦限,如图所示.
名师点析(1)空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间,有了一一对应关系,空间一点M的位置完全由有序实数组(x,y,z)确定,因此将(x,y,z)称为点M的坐标,记作M(x,y,z).此时,x,y,z都称为点M的坐标分量,且x称为点M的横坐标(或x坐标),y称为点M的纵坐标(或y坐标),z称为点M的竖坐标(或z坐标).
(2)八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点:
Ⅰ:(+,+,+);Ⅱ:(-,+,+);Ⅲ:(-,-,+);
Ⅳ:(+,-,+);Ⅴ:(+,+,-);Ⅵ:(-,+,-);
Ⅶ:(-,-,-);Ⅷ:(+,-,-).
(3)在空间中建立了空间直角坐标系之后,向量
的坐标与P点的坐标相同,即
=xe1+ye2+ze3=(x,y,z)?P(x,y,z).
微练习
(1)点P(1,2,1)关于xOz平面的对称点的坐标是( )
A.(1,-2,1) B.(-1,-2,1)
C.(1,2,-1)
D.(-1,-2,-1)
答案
A
(2)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取D点为原点建立空间直角坐标系,O,M分别是AC,DD1的中点,写出下列向量的坐标:
答案
(-2,0,1) (1,1,2)
解析
DA=DC=DD1=2,且DA,DC,DD1两两互相垂直,
5.空间直角坐标系中两点之间距离公式及中点坐标
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,
微练习
已知点A(-3,1,5)与点B(4,3,1),则AB的中点坐标是( )
答案
B
课堂篇
探究学习
探究一
空间向量坐标的计算
例1(1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(2a+3b)·(a-2b)= .?
答案
(1)-244 (2)C
解析
(1)(2a+3b)·(a-2b)=2a2+3a·b-4a·b-6b2=2×62-22-6×72=-244.
反思感悟对于空间向量坐标的计算有以下两种途径:
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.本探究中例题就是用给出的向量坐标直接套用数量积相关公式求解.对于(1)问中运算方法还可以先求出2a+3b与a-2b的坐标再计算.
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量按坐标形式设出来,然后通过建立方程组,解方程组求出其坐标.变式中的求参问题便属于这一类型题目.
变式训练1若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x= .?
答案
2
解析
据题意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),
故(c-a)·2b=2(1-x)=-2,解得x=2.
探究二
空间向量平行、垂直的坐标表示
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
解得λ=±1.即c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).
所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
又因为(ka+b)⊥(ka-2b),
所以(ka+b)·(ka-2b)=0,
即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0.
反思感悟1.判断空间向量垂直或平行的步骤.
(1)向量化:将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行.
(2)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直;根据x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或
(x2,y2,z2都不为0)判断两向量是否平行.
2.求出参数值后还要再回归到原题检验解的可行性,解决平行或垂直时用的坐标,含参数的还要注意分类讨论思想的应用.
延伸探究若将本例改为“若ka-b与ka+2b互相垂直”,求k的值.
解
由题意知ka-b=(k+1,k,-2),ka+2b=(k-2,k,4),∵(ka-b)⊥(ka+2b),
∴(ka-b)·(ka+2b)=0,
解
如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体棱长为1,则A(1,0,0),E(0,0,
),B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),
由题意,可设点P的坐标为(a,a,1),
探究三
空间向量的夹角与长度的计算
例3棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.
(1)求证:EF⊥CF;(2)求cos<
>;(3)求CE的长.
(1)证明
以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
反思感悟通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点落在坐标轴上,以便写点的坐标时便捷.对于正方体载体常用的建系方法一般如例题中所述.建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
变式训练3
如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,N为A1A的中点.
解
如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
素养形成
思想方法——用坐标法解决向量的平行或垂直问题
案例1设向量a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求满足下列条件时,实数x的值.
(1)a∥b;(2)a⊥b.
【规范答题】
解
(1)①当x=0时,a=(1,0,1),b=(1,0,1),a=b,满足a∥b.
②当x=1时,a=(1,1,0),b=(0,-3,2),不满足a∥b,
∴x≠1.
综上所述,当x=0,或x=2时,a∥b.
案例2如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=
,CE=EF=1.
求证:(1)AF∥平面BDE;
(2)CF⊥平面BDE;
【规范答题】
证明
(1)如图,设AC与BD交于点G,连接EG.
∵EF∥AG,且EF=1,AG=
AC=1,
∴四边形AGEF为平行四边形,∴AF∥EG.
∵EG?平面BDE,AF?平面BDE,
∴AF∥平面BDE.
(2)∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CE⊥AC,
∴CE⊥平面ABCD.如图,以C为原点,建立空间直角坐标系Cxyz,则
∴CF⊥BE,CF⊥DE.
又BE∩DE=E,
∴CF⊥平面BDE.
归纳提升1.解决此类问题要熟练掌握向量平行和垂直的条件,借助此条件可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算.在应用坐标形式下的平行条件时,一定注意结论成立的前提条件,在条件不明确时要分类讨论.
2.这两个案例渗透了分类讨论、转化、数形结合等多种数学思想.
当堂检测
1.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O为坐标原点,若
,则点B的坐标为( )
A.(-1,3,-3)
B.(9,1,1)
C.(1,-3,3)
D.(-9,-1,-1)
答案
B
2.在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标是( )
A.(0,0,0)
B.(2,-1,-4)
C.(6,-3,-12)
D.(-2,3,12)
答案
C
解析
设对称点为P3,则点M为线段PP3的中点,设P3(x,y,z),由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).
3.(多选)已知a=(2,-3,1),则下列向量中不与a平行的是( )
A.(1,1,1)
B.(-4,6,-2)
C.(2,-3,5)
D.(-2,-3,5)
答案
ACD
解析
若a∥b,b≠0,必有b=λa.则b=(-4,6,-2)时,b=-2(2,-3,1)=-2a,所以a∥b.经检验,其他向量均不与a平行.
4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是 .?
解析
依题意得(ka+b)·(2a-b)=0,
所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,
而|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,
6.在棱长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.应用空间向量方法求解下列问题.
(1)求EF的长.
(2)证明:EF∥平面AA1D1D;
(3)证明:EF⊥平面A1CD.
(1)解
如图建立空间直角坐标系,则A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),D(0,0,0),∵E,F分别为AB,A1C的中点,
∴EF∥AD1,
又AD1?平面AA1D1D,EF?平面AA1D1D,
∴EF∥平面AA1D1D.
本
课
结
束(共43张PPT)
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
第一章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.理解位置向量、方向向量的概念.(数学抽象,直观想象)
2.能利用直线的方向向量解决两条直线所成的角问题.
(数学运算)
3.初步了解两条异面直线的距离的定义.(数学抽象)
课前篇
自主预习
激趣诱思
一场正规的足球赛事需要有裁判执法才能进行.在比赛过程中,裁判员除了说一些必要的语言外,他们更多的是借助专用的手势来把控整场比赛.比如,直接任意球要求裁判单臂侧平举,明确指示踢球方向;间接任意球要求裁判单臂上举,掌心向前,此手势应持续到球踢出,并被场上其他队员触及或成死球时为止.这一规定有着明确的方向性和细节要求,必须进行专业培训才能掌握.在不同领域有不同的“语言”,研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行.同学们,你们知道是如何提炼的吗?提炼出来后又将如何运用呢?
直接任意球手势
间接任意球手势
知识点拨
1.点的位置向量、直线的方向向量
点的位
置向量
一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量唯一确定,此时,通常称为点P的位置向量
直线的方
向向量
一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l
微思考
空间一条直线的方向向量唯一吗?
提示
不唯一.
2.空间中两条直线所成的角
设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ=或θ=π-,特别地,sin
θ=sin,cos
θ=|cos|;
l1⊥l2?=
?v1·v2=0.
微练习
已知直线a,b的方向向量分别是m=(1,k,1),n=(k,k+2,2),若a⊥b,则k= .?
答案
-2或-1
解析
∵a⊥b,∴m⊥n,即m·n=0.
∴k+k2+2k+2=0,即k2+3k+2=0,
∴k=-2或k=-1.
3.两条异面直线的距离
一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,M∈l1,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称MN为l1与l2的公垂线段.并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的
距离.
微思考
怎样在空间直角坐标系中求两条异面直线的公垂线段的长度?
提示
利用向量共线、向量垂直的条件建立方程组,求出公垂线段对应的向量,准确找出公垂线段在图中的位置,运用向量求出公垂线段的长度.
课堂篇
探究学习
探究一
利用向量法判定直线的位置关系
例1设a,b分别是两条不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1,l2的位置关系:
①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);
②a=(5,0,2),b=(0,4,0).
解
①∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),
∴a=-
b.∴a∥b.∴l1∥l2.
②∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),∴a·b=0.
∴a⊥b.∴l1⊥l2.
反思感悟解决直线的位置关系,可用直线对应的方向向量的坐标来刻画,对于此类问题应注意先要进行宏观判断,再合理地选取坐标公式.
若直线l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为u2=(a2,b2,c2).(注:下面的λ,k∈R).
1.如果l1∥l2,那么u1∥u2?u1=λu2?(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2);
2.如果l1⊥l2,那么u1⊥u2?u1·u2=0?a1a2+b1b2+c1c2=0.
变式训练1已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是( )
A.a∥c,b∥c
B.a∥b,a⊥c
C.a∥c,a⊥b
D.以上都不对
答案
C
探究二
异面直线所成的角
例2如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,
∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=
,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.
反思感悟求解异面直线夹角方法,常用的就是建系后利用向量的坐标处理,除此之外还要注意其他方法的要领.
(1)传统法:作出与异面直线所成角相等的平面角,进而构造三角形求解.这种方法灵活技巧性强,强调对夹角定义的挖掘.
运用向量法常用两种途径:
①基底法
在一些不适合建立坐标系的题型中,我们经常采用取定基底的方法,这是小技巧.在由公式cos=
求向量a,b的夹角时,关键是求出a·b及|a|与|b|,一般是把a,b用基向量表示出来,再求有关的量.
②坐标法
根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单.
变式训练2
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M,N分别是BD和AD的中点,则B1M与D1N所成角的余弦值为( )
答案
A
解析
建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则
探究三
证明线线垂直问题
例3如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,
∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.求证:EF⊥BC.
证明
由题意,以点B为坐标原点,在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,
在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
反思感悟证明两直线垂直的基本步骤
建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.对于几何体为三棱锥的情况一定要注意建系的重要性,要使已知数据和所用的点更多地落在坐标平面或坐标轴上为标准.本例中要充分抓住平面ABC和平面BCD互相垂直这一条件.
变式训练3已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=
CC1.求证:AB1⊥MN.
证明
设AB中点为O,作OO1∥AA1.以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
探究四
求异面直线的距离
例4已知三棱锥S-ABC中,SA=BC=13,SB=AC=14,SC=AB=15,求异面直线AS与BC的距离.
分析此题是将不易直接求解的几何体,补成一个易求解的几何体的典型例子,有时还常把残缺形体补成完整形体,不规则形体补成规则形体,不熟悉形体补成熟悉形体等.所以,把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得,故将三棱锥转化为长方体.
解
构造如图所示长方体,使得长方体中三个相邻矩形的对角线长分别为13,14,15.
设AD=x,BD=y,SD=z,
则x2+y2=AB2,y2+z2=SB2,x2+z2=SA2,
由长方体性质,可知BD⊥平面ADSF,BD⊥平面BGCE,平面ADSF∥平面BGCE,
则BD为平面ADSF和平面BGCE之间的距离.
又AS?平面ADSF,BC?平面BGCE,
则BD的长度就是异面直线AS与BC的距离,
要点笔记利用定义法和割补法求解异面直线的距离的思路
定义法就是先作出公垂线,再求公垂线的长,而本例中的割补法实际上是把所求距离转化为平行平面间的距离问题.
变式训练4已知边长为a的两个正方形ABCD和CDEF成120°的二面角,求异面直线CD与AE间的距离.
解
由四边形ABCD和CDEF是正方形,得CD⊥AD,CD⊥DE,即CD⊥平面ADE,过点D作DH⊥AE于点H,
可得DH⊥AE,DH⊥CD,
所以DH是异面直线AE,CD的公垂线.
素养形成
易错点——因混淆向量夹角与异面直线的夹角而致错
案例如图,已知?ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离.
错解
如图,因为∠ACD=90°,
错因分析
由异面直线AB与CD成60°角得到
所成的角为60°,这是错误的.混淆了异面直线所成的角与向量的夹角的定义,从而致误.
向量的夹角与向量的方向有关系,且向量的夹角的范围为0≤θ≤π;异面直线的夹角与直线的方向没有关系,异面直线的夹角的范围是0<θ≤
.两者的范围不一样.
【规范答题】
正解
因为∠ACD=90°,
当堂检测
1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是( )
A.(2,2,6)
B.(-1,1,3)
C.(3,1,1)
D.(-3,0,1)
答案
A
解析
∵A,B在直线l上,∴
=(1,1,3),与
共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量.
2.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m等于( )
A.-2
B.2
C.10
D.6
答案
C
解析
因为a⊥b,故a·b=0,
即-2×3+2×(-2)+m=0,解得m=10.
3.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a,b所成的角是 .?
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上的动点,求证:A1E⊥BD.
证明
以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).
本
课
结
束(共73张PPT)
1.2.2 空间中的平面与空间向量
第一章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.理解平面的法向量的定义并能在空间直角坐标系中正确地求出某一平面的法向量.(数学运算)
2.会用向量语言表达线面、面面的垂直、平行关系.(直观想象)
3.理解并会用三垂线定理及其逆定理.(逻辑推理)
课前篇
自主预习
激趣诱思
牌楼,与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种,多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构,一般较高大.如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢?
知识点拨
1.平面的法向量
如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直,则称n为平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记作n⊥α.
微思考
一个平面的法向量是否唯一?
提示
不唯一,一个平面的法向量有无数多个.
2.平面的法向量的求法
在空间直角坐标系下,求平面的法向量的一般步骤:
(1)设平面的法向量为n=(x,y,z);
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);
(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
(4)解方程组,取其中的一组解,即得平面的一个法向量.
微练习
已知点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面ABC的一个法向量为( )
A.(bc,ac,ab)
B.(ac,ab,bc)
C.(bc,ab,ac)
D.(ab,ac,bc)
答案
A
3.用空间向量处理平行或垂直关系
(1)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则n∥v?l⊥α;n⊥v?l∥α,或l?α.
(2)如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,则n1⊥n2?α1⊥α2;n1∥n2?α1∥α2,或α1与α2重合.
名师点析解答这类问题的关键:一是要清楚直线的方向向量,平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系;二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法.在把向量问题转化为几何问题时,要注意两者的区别,直线的方向向量和平面平行,则直线可能在平面内,也可能与平面平行
微练习
设直线l的一个方向向量d=(6,2,3),平面α的一个法向量n=(-1,3,0),则直线l与平面α的位置关系是( )
A.垂直
B.平行
C.直线l在平面α内
D.直线l在平面α内或平行
答案
D
微判断
(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.( )
(2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直.( )
(3)两个平面的法向量平行,则这两个平面平行或重合;两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.( )
答案
(1)√ (2)√ (3)√
4.三垂线定理及三垂线定理的逆定理
三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
微思考
三垂线定理及其逆定理有何区别与联系?
提示
联系:都是一面四线,三种垂直关系.
区别:①从条件或结论上看,三垂线定理是“线与射影垂直?线与斜线垂直”,而逆定理恰好相反;②从作用上看,三垂线定理是“共面直线垂直?异面直线垂直”,而逆定理恰好相反.
课堂篇
探究学习
探究一
求平面的法向量
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.AB=AP=1,AD=
,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.
解
因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,
所以AB,AD,AP两两垂直.
反思感悟通过此类例题的解答,在求平面的法向量时要注意:
(1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量.
(2)取特值:在求n的坐标时,可令x,y,z中一个为特殊值得另两个值,得到平面的一个法向量.
(3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.
延伸探究本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
变式训练1已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3),试求出平面ABC的一个法向量.
解
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z).
∵A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3),
探究二
利用空间向量证明平行问题
例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明
(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),
令z2=2,得y2=-1,所以n2=(0,-1,2).
因为n1=n2,即n1∥n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思感悟
证明线面、面面平行问题的方法
(1)用向量法证明线面平行:①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内,如例2(1)中,FC1?平面ADE一定不能漏掉.
(2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.当然要注意当法向量坐标中有0时,要使用n1=λn2这一形式.
变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=
AD=1,问在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.
解
存在点E使CE∥平面PAB.以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,
∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),
∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0.
∴y=1,代入①得z=
,∴E是PD的中点,
∴当点E为PD中点时,CE∥平面PAB.
探究三
证明线面垂直问题
例3如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.
求证:AB1⊥平面A1BD.
证明
如图所示,取BC的中点O,连接AO.
因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO?平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1,以O为坐标原点,OB,OO1,OA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,
又因为BA1∩BD=B,所以AB1⊥平面A1BD.
反思感悟1.用坐标法证明线面垂直的常用方法:
方法一:基向量法
(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量.
(4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.
方法二:坐标法
(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)求出平面的法向量.
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
2.对于容易建系的几何载体要尽量用坐标法处理有关垂直问题,如果只用基向量法解决涉及的线性运算和数量积运算比较复杂.而建系后只需一切交给坐标即可.
延伸探究本例中增加条件,E,F分别是BC,BB1的中点,求证:EF⊥平面ADE.
即EF⊥EA,EF⊥ED,
又EA∩ED=E,EA,ED?平面ADE,
∴EF⊥平面ADE.
变式训练3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:EF⊥平面B1AC.
证明
方法一 设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2).
即EF⊥AB1,EF⊥AC.
又AB1∩AC=A,AB1?平面B1AC,AC?平面B1AC,
∴EF⊥平面B1AC.
同理,EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1,AB1?平面B1AC,B1C?平面B1AC,
∴EF⊥平面B1AC.
探究四
证明面面垂直问题
例4如图,在四棱锥E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°,
求证:平面ADE⊥平面ABE.
证明
取BE的中点O,连接OC,又AB⊥平面BCE,所以以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示).
又AB⊥平面BCE,OC?平面BCE,
所以AB⊥OC.
因为BE⊥OC,AB∩BE=B,AB,BE?平面ABE,
所以OC⊥平面ABE.
要点笔记证明面面垂直的两种方法
(1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.
(2)向量法:证明两个平面的法向量互相垂直.本例就是用的向量法,关键是明确两个平面的法向量.
变式训练4在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.
(1)求证:平面AED⊥平面A1FD1;
(2)在直线AE上求一点M,使得A1M⊥平面AED.
(1)证明
以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),
同理,平面A1FD1的一个法向量为n2=(0,2,1).
∴n1·n2=(0,1,-2)·(0,2,1)=0,∴n1⊥n2,
∴平面AED⊥平面A1FD1.
探究五
三垂线定理及其逆定理
例5如图,空间四边形ABCD中,点A在平面BCD内的射影
O1是△BCD的垂心,求证:点B在平面ACD内的射影O2必是△ACD的垂心.
分析应用三垂线定理一定要分清斜线与射影,并注意第三条垂线要与射影在同一平面内.
证明
连接DO1,BO1,AO2,CO2.
∵O1是△BCD的垂心,∴DO1⊥BC.
又AO1⊥平面BCD,∴BC⊥AD(三垂线定理).
∵BC是平面ACD的斜线,BO2⊥平面ACD,CO2是BC在平面ACD内的射影,
∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理).
同理,AO2⊥CD.∴O2是△ACD的垂心.
反思感悟1.三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直,在应用时要清楚以下问题:
(1)从条件上看,三垂线定理的条件是“和射影垂直”;其逆定理的条件是“和斜线垂直”.显然本例中三垂线定理和三垂线定理的逆定理都充分利用了.
(2)从功能上看,三垂线定理用于解决已知共面垂直,证明异面垂直的问题;逆定理正好相反.解决垂心问题需要两次垂直的证明,都能用上定理和其逆定理的框架结构.
2.三垂线定理及其逆定理应用中的三个环节
用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的关键在于构造三垂线定理的基本图形,创设应用定理的环境.构造三垂线定理基本图形时要抓住下面三个环节:(1)确定投影面;(2)作出垂线;(3)确定射影.
变式训练5如图,BC是Rt△ABC的斜边,过点A作△ABC所在平面α的垂线AP,连接PB,PC,过点A作AD⊥BC于点D,连接PD,那么图中的直角三角形共有( )
A.4个
B.6个
C.7个
D.8个
答案
D
解析
∵AP⊥平面α,
∴PD在平面α内的射影为AD,
∵AD⊥BC,
由三垂线定理可得,PD⊥BC,
∴△ABC,△ABD,△ACD,△PBD,△PCD,△PAB,△PAD,△PAC均为直角三角形,共8个.故选D.
变式训练6如图,已知∠BAC在平面α内,点P在α外,PE⊥AB,PF⊥AC,PO⊥α,垂足分别是E,F,O,PE=PF.
求证:∠BAO=∠CAO.
证明
连接PA,OE,OF.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,PO⊥α,
∴AB⊥OE,AC⊥OF(三垂线定理的逆定理),
∵PE=PF,PA=PA,∴Rt△PAE≌Rt△PAF.
∴AE=AF.又AO=AO,∴Rt△AOE≌Rt△AOF.
∴∠BAO=∠CAO.
素养形成
平行或垂直证明中的探索类问题
一、平行证明中的探索类问题
案例1如图所示,在正方体AC1中,O为底面ABCD中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO.
【规范答题】
解
如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.
设正方体棱长为1,
即AP∥BQ,又AP∩OP=P,BQ∩BD1=B,
则有平面PAO∥平面D1BQ,
∴当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
归纳提升(1)求点的坐标:可设出相应点的坐标,根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线,进而建立与所求点的坐标有关的等式.
(2)由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形式,通过应用推理的方式与方法,能较好地培养学生的合乎逻辑的思维品质.
二、垂直证明中的探索类问题
案例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.
【规范答题】
解
如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,D(0,0,0),P(0,1,a),A1(1,0,1),B1(1,1,1),
设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
∴x1=(a-1)z1,y1=0.
令z1=1,得x1=a-1,
∴n1=(a-1,0,1).
设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
令y2=1,得x2=-2,z2=-1,∴n2=(-2,1,-1).
∵平面A1B1P⊥平面C1DE,
∴n1·n2=0,即-2(a-1)-1=0,得a=
.
∴当P为CC1的中点时,平面A1B1P⊥平面C1DE.
归纳提升立体几何中探索性、存在性问题的思维层次较高,分析时应特别注意.本例由题意设出探求点的坐标,利用两平面垂直时法向量的位置关系及严密的逻辑推理,从而得出点P的坐标.
当堂检测
1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则( )
A.l∥α
B.l⊥α
C.l?α
D.l与α斜交
答案
B
解析
∵n=-2a,∴a∥n,即l⊥α.
2.已知直线l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为(1,
,2),若直线l∥α,则m的值为( )
A.-4
B.-6
C.-8
D.8
答案
C
3.若平面α,β的法向量分别为a=(2,-1,0),b=(-1,-2,0),则α与β的位置关系是( )
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.无法确定
答案
B
解析
a·b=-2+2+0=0,∴a⊥b,∴α⊥β.
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的度数( )
A.逐渐变大
B.逐渐变小
C.不变
D.先变大再变小
答案
C
解析
由题意可得,AC⊥BC.∵PA⊥平面ABC,
由三垂线定理的逆定理可得,BC⊥PC.
∴∠PCB=90°,即∠PCB的度数保持不变.故选C.
答案
①②③
6.如图所示,在空间图形P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,CD∥AB,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,且PB=4PM,∠PBC=30°,求证:CM∥平面PAD.
证明
建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,
∵∠PBC=30°,PC=2,
7.在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,
∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC.
∵∠BCD=90°,∴CD⊥BC.
又AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.
又AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.
本
课
结
束(共44张PPT)
1.2.3 直线与平面的夹角
第一章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念.(数学抽象)
2.理解最小角定理及公式cos
θ
=cos
θ1cos
θ2,并能利用这一公式解决相关问题.(逻辑推理、数学运算)
3.会利用空间向量求直线与平面所成的角问题.(数学运算)
课前篇
自主预习
激趣诱思
迈克尔·杰克逊出生于印第安纳州加里市,被称为“流行音乐之王”.迈克尔·杰克逊除了他擅长的歌曲,还有他那漂亮的太空步,尤其像谜一样存在的招牌动作45度倾斜舞步,据说迈克尔杰克逊早在1993年就申请了专利,专利名称“摆脱地心引力的幻想”.同学们,45度到底指的是哪个角呢?
知识点拨
1.直线与平面所成的角
微判断
(1)直线与平面所成的角就是该直线与平面内的直线所成的角.( )
(2)若直线与平面相交,则该直线与平面所成角的范围为(0,
).( )
答案
(1)× (2)×
微思考
直线与平面的夹角的取值范围是什么?斜线与平面的夹角的取值范围是什么?
2.最小角定理
(1)线线角、线面角的关系式
如图,设OA是平面α的一条斜线段,O为斜足,B为A在平面α内的射影,OM是平面α内的一条射线.θ是OA与OM所成的角,θ1是OA与OB所成的角,θ2是OB与OM所成的角,则有cos
θ=cos
θ1cos
θ2.
(2)最小角定理
平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.
微练习
已知平面α内的角∠APB=60°,射线PC与PA,PB所成角均为135°,则PC与平面α所成角的余弦值是( )
答案
B
解析
设PC与平面α所成的角为θ,由最小角定理知cos
45°=cos
θcos
30°,
微思考
将公式cos
θ=cos
θ1cos
θ2中角的余弦值换成正弦值是否成立?
提示
不成立.只有在特定的条件下能相等.也只能是数值上的相等,不具有等式的一般性结论.
3.用空间向量求直线与平面的夹角
如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,设直线l与平面α所成角的大小为θ,则有
(2)cos
θ=sin,sin
θ=|cos|.
微判断
直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角.
( )
答案
×
课堂篇
探究学习
探究一
用定义法求直线与平面所成的角
例1在正四面体ABCD中,E为棱AD的中点,连接CE,求CE和平面BCD所成角的正弦值.
分析在求解斜线和平面所成的角时,确定斜线在平面内的射影的位置是一个既基本又重要的问题.
解
如图,过A,E分别作AO⊥平面BCD,EG⊥平面BCD,O,G为垂足.则AO∥GE,AO=2GE.
连接GC,则∠ECG为EC和平面BCD所成的角.
因为AB=AC=AD,
所以OB=OC=OD.
因为△BCD是正三角形,所以O为△BCD的中心.
连接DO并延长交BC于F,则F为BC的中点.
令正四面体ABCD的棱长为1,
反思感悟1.利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小.其基本步骤可归纳为“一作,二证,三计算”.
2.找射影的两种方法:(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上;(2)利用已知垂直关系得出线面垂直,确定射影.
3.本例中找出点E在平面BCD中的射影是解决问题的核心,对于几何体中缺少棱长等数据信息,可根据几何体的特征进行假设,这样处理不影响角度问题.
探究二
向量法求直线与平面所成的角
例2如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,
AB=
,BC=1,AD=AA1=3.
(1)证明:AC⊥B1D;
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
要点笔记通过此类例题不仅要熟悉求直线与平面夹角的一般流程,更重要的是注意对所给几何体的结构分析、合理建系是问题的关键,如果求夹角还要结合线面角的范围.
变式训练1如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)证明:AB⊥A1C;
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
(1)证明
取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.
因为CA=CB,所以OC⊥AB.
由于AB=AA1,∠BAA1=60°,
故△AA1B为等边三角形,
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.
又A1C?平面OA1C,故AB⊥A1C.
(2)解
由(1)知OC⊥AB,OA1⊥AB.
又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,
所以OC⊥平面AA1B1B,
故OA,OA1,OC两两垂直,以O为坐标原点,
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
探究三
最小角定理的应用
例3如图,正四面体ABCD,CD在平面α内,点E是线段AC的中点,在该四面体绕CD旋转的过程中,直线BE与平面α所成的角θ不可能是( )
答案
D
反思感悟1.最小角定理是立体几何的重要定理之一,指与平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于该直线与平面内其他直线的夹角.
2.本例中先明确直线BE与CD所成角的余弦值是突破口,再利用最小角定理即可做出判断.
变式训练2PA、PB、PC是由P点出发的三条射线,两两夹角均为60°,则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( )
答案
C
解析
设所求角为θ,根据最小角定理及公式可得
素养形成
直线与平面所成角中的探索类问题
(1)证明:PN⊥AM;
(2)当λ取何值时,直线PN与平面ABC所成的角θ最大?并求该最大角的正切值.
【规范答题】
(1)证明
如图,以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则
归纳提升(1)此类问题属于逆向思维问题,解决思路也是建立合适的空间直角坐标系,将相关点坐标明确或设出,然后根据空间角的计算公式表达出含参数的方程或函数.
(2)解决此类问题还要注意题目中各动点的限制范围.
当堂检测
1.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos=-
,则l与α所成的角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
答案
A
解析
设l与α所成的角为θ且θ∈[0,90°],则
sin
θ=|cos|=
.∴θ=30°.
2.AB⊥平面α于点B,BC为AC在α内的射影,CD在α内,若∠ACD=60°,∠BCD=45°,则AC和平面α所成的角为( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
答案
C
解析
设AC和平面α所成的角为θ,则cos
60°=cos
θcos
45°,故cos
θ=
,所以θ=45°.
答案
D
解析
以O为原点,射线OA,OB,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,
4.等腰直角△ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α成30°角,则斜边上的中线CM与平面α所成的角为 .?
答案
45°
5.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
,求CS与平面ABCD所成的角的正弦值.
本
课
结
束(共45张PPT)
1.2.4 二面角
第一章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.掌握二面角的概念.(数学抽象)
2.理解二面角的平面角的含义.
(直观想象、逻辑推理)
3.会用向量法解决二面角的计算问题.(数学运算)
课前篇
自主预习
激趣诱思
地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面的交角(二面角的平面角)为23°26'.黄道面与天球相交的大圆称为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,
称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30°
便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、
双子座等等,这便是星座的由来.
知识点拨
1.二面角及其度量
微思考
两个平面相交时,它们所成角的取值范围是什么?
提示
(0°,90°]
微练习
(1)如图,AB是圆的直径,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P-BC-A的平面角为( )
A.∠PAC B.∠CPA
C.∠PCA
D.∠CAB
答案
C
解析
∵C是圆上一点(不同于A,B),AB是圆的直径,
∴AC⊥BC,又PA⊥BC,AC∩PA=A,即BC⊥平面PAC,而PC?平面PAC,∴BC⊥PC,又平面ABC∩平面PBC=BC,PC∩AC=C,∴由二面角的定义知∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.故选C.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA与平面BCDA所形成的平面角大小为 .?
答案
45°
2.用空间向量求二面角的大小
(1)如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则有θ=或θ=π-,特别地,sin
θ=sin.
(2)设二面角α-l-β为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2,有|cos
θ|=|cos|
=
成立.
名师点析利用公式cos=
(n1,n2分别为两平面的法向量)进行求解,注意与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断.
如图②④中就是二面角α-l-β的平面角的补角;如图①③中就是二面角α-l-β的平面角.
微判断
(1)二面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角.( )
(2)若二面角两个半平面的法向量的夹角为120°,则该二面角的大小等于60°或120°.( )
答案
(1)× (2)√
微练习
(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的角的余弦值为( )
答案
B
解析
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设棱长为1,则
(2)如图,正三角形ACB与正三角形ACD所在平面互相垂直,则二面角B-CD-A的余弦值是( )
答案
D
解析
如图所示,取AC中点E,连接BE,DE,在正三角形ACB与正三角形ACD中,BE⊥AC,DE⊥AC,因为平面ACB⊥平面ACD,平面ACB∩平面ACD=AC,
课堂篇
探究学习
探究一
二面角的平面角问题
例1如图所示,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值.
分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.
解
∵PC⊥平面ABC,
∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于点D,据面面垂直性质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于点E,连接BE,据三垂线定理,则BE⊥PA,从而∠BED是二面角B-PA-C的平面角.设PC=a,依题意知△ABC是边长为a的正三角形,
∵PC=CA=a,∠PCA=90°,∴∠PAC=45°,
反思感悟1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法来求解.
2.二面角的定义求法主要有:
(1)由定义作出二面角的平面角;
(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;
(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角.
变式训练1
如图,已知二面角α-a-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β,求∠APB的大小.
解
设平面PAOB∩α=OA,平面PAOB∩β=OB.∵PA⊥α,a?α,
∴PA⊥a.同理PB⊥a.∴a⊥平面PAOB.
又∵OA?平面PAOB,∴a⊥OA.同理a⊥OB.
∴∠AOB是二面角α-a-β的平面角.
在四边形PAOB中,∠AOB=120°,
∠PAO=∠PBO=90°,所以∠APB=60°.
探究二
利用空间向量求二面角
例2如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,
A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明:O1O⊥底面ABCD;
(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.
(1)证明
因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD,因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD.
(2)解
因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD,又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.
如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
设棱长为2,因为∠CBA=60°,
所以O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2),平面CB1D的一个法向量为n=(0,1,0),
设平面OC1B1的法向量为m=(x,y,z),
反思感悟利用向量方法求二面角的大小时,多采用求法向量的方法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角是锐二面角还是钝二面角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.
延伸探究如果本例条件不变,求二面角B-A1C-D的余弦值.
变式训练2如图所示,在几何体S-ABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,
AD=DC=2,BC=1,又SD=2,∠SDC=120°,求平面SAD与平面SAB所成角的余弦值.
解
如图,过点D作DC的垂线交SC于E,以D为原点,以DC,DE,DA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.∵∠SDC=120°,∴∠SDE=30°,又SD=2,
素养形成
用逆向思维解决二面角问题
案例如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,A1A=6,且A1A⊥底面ABCD,点P,Q分别在棱DD1,BC上.
(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;
【规范答题】
(1)证明
由题设知,AA1,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0≤m≤6.
归纳提升此类问题属于结论探索类问题.解决此类问题要注意分析题目的整体结构,在此基础上建立空间直角坐标系,引入参数,将所求问题先转化为一个含参数的方程问题,参数确定后其他问题就迎刃而解.
当堂检测
1.已知平面α内有一个以AB为直径的圆,PA⊥α,点C在圆周上(异于点A,B),点D,E分别是点A在PC,PB上的射影,则( )
A.∠ADE是二面角A-PC-B的平面角
B.∠AED是二面角A-PB-C的平面角
C.∠DAE是二面角B-PA-C的平面角
D.∠ACB是二面角A-PC-B的平面角
答案
B
答案
C
解析
由于二面角的范围是[0,π],而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向,因此二面角α-l-β的大小为
,故选C.
3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为( )
A.45°
B.135°
C.45°或135°
D.90°
答案
C
4.如图所示,点A,B,C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上,
=(0,0,2),平面ABC的一个法向量为n=(2,1,2),设二面角C-AB-O的大小为θ,则cos
θ= .?
5.在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
,求平面SCD与平面SAB所成角的余弦值.
解
以A为原点建立空间直角坐标系如图.
本
课
结
束(共49张PPT)
1.2.5 空间中的距离
第一章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
核心素养
思维脉络
1.理解图形与图形之间的距离的概念.(数学抽象)
2.理解并掌握两点之间、点到直线、点到平面、相互平行的直线与平面、平面与平面之间的距离的概念及它们之间的相互转化,会用法向量求距离.(直观想象、数学运算)
课前篇
自主预习
激趣诱思
在生活中可以看到很多道路上都有限高杆.主要的作用就是为了防止过高的车辆通过,以保障车辆和路上的设备设施的安全.比如限高路段内有不能移动的重要电缆、管道,或者涵洞,或者附近有高速路桥、铁路桥等.图中所示,限高3.1米,同学们,你知道3.1
m指的哪段距离,数学中的距离是如何定义的呢?
知识点拨
1.空间中两点之间的距离
微练习
若已知点A(1,1,1),B(-3,-3,-3),则线段AB的长为( )
答案
A
2.点到直线的距离
n0是直线l的单位方向向量,A∈l,则点P到直线l的距离
微判断
直线l外一点A到直线l的距离就是在直线l上任取一点B,点A与点B之间线段的长度.( )
答案
×
3.点到平面的距离
一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离
微判断
平面α外一点A到平面α的距离,就是点A与平面内一点B所成向量
的长度.( )
答案
×
微练习
已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为( )
答案
D
4.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
(1)如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,则直线l与平面α之间的距离为
(2)如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α与平面β内的点,则平面α与平面β之间的距离为
名师点析解决立体几何问题的三种方法
1.综合方法:以逻辑推理作为工具解决问题.
2.向量方法:利用向量的概念及其运算解决问题.
3.坐标方法:建立直角坐标系,利用坐标表示几何对象或向量,通过运算解决几何问题.
微判断
(1)直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离.( )
(2)若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离.( )
答案
(1)√ (2)√
微练习
已知平面α∥平面β,直线l?α,α与β之间的距离为d,有下列四个命题:
①β内有且仅有一条直线与l的距离为d;②β
内所有的直线与l的距离都等于d;③β内有无数条直线与l的距离为d;④β内所有直线与α的距离都等于d.
其中真命题是( )
A.①
B.②
C.①④
D.③④
答案
D
解析
在直线l上任取一点O,过O作OA⊥β于A,在平面β内,过点A且与l不平行的所有直线与l的距离都是d,否则不一定是d,所以①②错误,故选D.
课堂篇
探究学习
探究一
求两点间的距离
例1已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿对角线AC折叠,使平面ABC与平面ADC垂直,求点B,D之间的距离.
分析本题既可利用向量模求解,也可建立坐标系利用距离公式求解.
解法一过点D和点B分别作DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,
则由已知条件可知AC=5,
解法二过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F,过点E作FB的平行线EP,以E为坐标原点,EP,EC,ED所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图.
要点笔记用向量法求两点间距离的方法主要是坐标法和基向量法,设
延伸探究若将例1中条件“使平面ABC与平面ADC垂直”变为“使平面ABC与平面ADC重叠”,则结论又如何?
解
当改变条件后,就变为了平面几何问题,如图所示,BD=EF,又由例1中结
变式训练1如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是( )
答案
C
解析
方法一:建立如图所示直角坐标系,
方法二:设AC中点为G,连接GE,GF,在Rt△FGE中,
|EF|2=|FG|2+|GE|2=4+1=5,
探究二
求点到直线的距离
例2如图,在空间直角坐标系中,有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,求点B到直线A'C的距离.
解
因为AB=1,BC=2,
AA'=3,
所以A'(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0).
反思感悟求点到直线的距离在特定的几何结构中还可以直接根据定义用平面几何知识解决或用体积法解决,但这两类解法技巧性强.用向量法就避免了这一构造技巧,但要注意在选取方向向量时要用上几何体中的已知点,然后用向量计算公式解决.
变式训练2已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,求点A到直线EF的距离.
解
连接AF,以D点为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,
则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),
探究三
点到平面的距离
例3如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离;
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
解
(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),
要点笔记用向量法求点到面的距离关键还是建系,其次是平面法向量的求解.
变式训练3如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.
(1)求证:AB1⊥A1D;
(2)求点C到平面A1BD的距离.
(1)证明
如图,取BC的中点O,连接AO.
∵△ABC为等边三角形,
∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1.
素养形成
思想方法——向量法求解线面距问题
案例已知边长为4的正三角形ABC,E,F分别为BC和AC的中点.PA=2,且PA⊥平面ABC,设Q是CE的中点.
(1)求证:AE∥平面PFQ;
(2)求AE与平面PFQ间的距离.
【规范答题】
(1)证明
如图所示,以A为坐标原点,平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴,AC所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
∵AP=2,AB=BC=AC=4,又E,F分别是BC,AC的中点,
(2)解
由(1)知,AE∥平面PFQ,
∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离.
设平面PFQ的法向量为n=(x,y,z),
归纳提升1.本题(1)通过向量运算证明线面平行,(2)中利用线面距转化为点面距,选择向量运算来解.合理选择运算方法,设计运算程序,有利于提升学生的数学运算素养.
2.此类问题综合体现了用向量解决距离问题的便捷性.虽然有些计算较复杂,但思路很简捷,省去了很多辅助线的构造.
当堂检测
答案
D
2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是( )
答案
D
解析
分别以PA,PB,PC所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)
3.已知直线l经过点A(2,3,1),且向量n=(1,0,-1)所在直线与l垂直,则点P(4,3,2)到l的距离为 .?
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,则点A到平面EFG的距离为 .?
解析
建系如图,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0),
设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,
点A到平面EFG的距离为d,
本
课
结
束